數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下問(wèn)題情境的實(shí)驗(yàn)研究
——從“將軍飲馬”說(shuō)開去

☉山東省高青縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王彩霞

數(shù)學(xué)中的“問(wèn)題情境”，是一種以激發(fā)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)為價(jià)值取向的數(shù)據(jù)材料和情境信息，是從事數(shù)學(xué)活動(dòng)、產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件.核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念不僅關(guān)注知識(shí)本身，還關(guān)注知識(shí)的文化背景和學(xué)生的應(yīng)用遷移能力.在這種要求下，教師要善于設(shè)置問(wèn)題情境，從生活實(shí)際入手，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，提高學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用和思考能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到有效提升.下面筆者以“將軍飲馬”為問(wèn)題情境，結(jié)合求線段和的最小值的教學(xué)，談?wù)勅绾螐膯?wèn)題情境出發(fā)，由問(wèn)題情境展開，讓問(wèn)題情境貫穿始終，一個(gè)背景，一氣呵成，一根主線，一以貫之，直抵教學(xué)的全部目標(biāo).

一、創(chuàng)設(shè)情境

著名的“將軍飲馬”問(wèn)題：如圖1，有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到河邊飲馬，則將軍怎樣走才能使總路程最短？

圖1

二、建立模型

我們把河岸看成一條直線，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：如圖2，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，在直線l上確定一點(diǎn)C，使CA+CB的值最小.聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的線段公理思考這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題怎樣解決.

如果A、B兩點(diǎn)在直線l的兩旁，就可以直接利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.怎樣把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的兩旁呢？利用軸對(duì)稱的知識(shí)，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)C.連接BC.線段AC、BC就是將軍走的最短路線.這樣兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)在直線異側(cè)的問(wèn)題.為什么說(shuō)這個(gè)點(diǎn)C就使CA+CB的值最小呢？

為了證明這個(gè)問(wèn)題，我們不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′.

由直線l是線段BB′的對(duì)稱軸，得CB＝CB′，C′B＝C′B′.

則AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′.

在△AC′B′中，AB′＜AC′＋C′B′，則AC＋CB＜AC′＋C′B.

即AC＋CB最小.

所以AC、BC就是將軍行走的路線，這時(shí)所走路程最短.

由此可見，求線段和的最小值的方法就是，找到兩點(diǎn)一線模型，然后通過(guò)軸對(duì)稱把在直線同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè)，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，使問(wèn)題迎刃而解.這就是“兩定一動(dòng)型”的最值問(wèn)題.

三、拓展模型

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)作為基本的理念之一.兩點(diǎn)一線模型還可以進(jìn)行以下拓展，幫助我們解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

1.一定兩動(dòng)型

如圖3，將軍騎馬從軍營(yíng)A出發(fā)，先騎馬去草地OX邊吃草，再牽馬去河邊OY處飲水，最后回到軍營(yíng)，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？

解析：如圖3，利用軸對(duì)稱的知識(shí)把點(diǎn)A轉(zhuǎn)化到直線OX、OY的兩側(cè)，類比兩點(diǎn)一線模型用線段公理就可以解決了.圖中PA+PQ+QA就是將軍所走的最短路線.

變式：如圖4，將軍騎馬從軍營(yíng)A出發(fā)，先騎馬去草地OM邊吃草，再牽馬去河邊ON外飲水，最后將馬送入河邊上的馬廄C，試確定馬廄C的位置，使將軍行走的路程最短.

解析：該問(wèn)題即為：在∠MON的內(nèi)部有一點(diǎn)A，在OM上找一點(diǎn)B，在ON上找一點(diǎn)C，使得AB＋BC最短.先“化折為直”，作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后解決如何使A′C最短的問(wèn)題，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定射線ON外一點(diǎn)A′到ON的距離的最小值.顯然，可根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)，確定馬廄C的位置.

兩題的理論依據(jù)是不同的，前者利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)求解的，而后者則依據(jù)垂線段最短.

2.兩定兩動(dòng)型

（1）兩線相交

如圖5，A為馬廄，B為帳篷，將軍要從馬廄牽出馬，先到草地邊的某一處牧馬，再到河邊飲水，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定出最短路線.

解析：作出點(diǎn)A關(guān)于草地的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于河的的對(duì)稱點(diǎn)B′，類比兩點(diǎn)一線模型用線段公理求解.如圖5所示，AC—CD—DB即為最短路線.

（2）兩線平行

如圖6，將軍從軍營(yíng)A出發(fā)去河邊l處飲馬，之后牽馬沿河岸散步200米，再回軍營(yíng)B，問(wèn)：從河邊何處開始散步，可使整個(gè)行程最短？

解析：軍營(yíng)A與軍營(yíng)B是兩個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)題即為：在直線l上找兩個(gè)點(diǎn)C、D，CD=200米，使得AC＋BD最短.若作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C和BD，會(huì)出現(xiàn)兩線段不共線的問(wèn)題，怎么辦？我們能不能把BD進(jìn)行相應(yīng)的平移，使得與A′C共線？

完全可以把BD沿著DC方向向左平移200米，問(wèn)題迎刃而解.如圖6，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，將點(diǎn)B向左平移CD的長(zhǎng)度到點(diǎn)B′（實(shí)際上為200米），連接A′B′，交直線l于點(diǎn)C，將點(diǎn)C向右平移CD的長(zhǎng)度到點(diǎn)D，則點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求.

變式1：如圖7，將軍每日騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的 望臺(tái)觀察敵情，已知河兩岸a、b平行，河流的寬度為30米，請(qǐng)問(wèn)：在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？

解析：這是著名的造橋選址問(wèn)題.如圖7，由于橋長(zhǎng)CD是一個(gè)定值，故我們不妨將橋CD平移轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)一線的模型.無(wú)論橋架在何處，橋CD是必經(jīng)路線，要使從A到B的折線最短，只需AC＋BD最短即可.于是作AA′⊥直線a，且使AA′的長(zhǎng)度等于河寬，連接A′B，交河岸b于點(diǎn)D，作DC⊥河岸a于點(diǎn)C，則建橋CD，可使得將軍每日的行程最短.

這個(gè)造橋選址問(wèn)題在教材中的原題是：“村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋，問(wèn)：橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？”實(shí)際上兩題是一樣的，何不對(duì)教材進(jìn)行重組與創(chuàng)新，使之處于一個(gè)情境之下？

變式2：如圖8，軍營(yíng)A與瞭望臺(tái)B之間隔著兩條河，假定兩條河互相平行并且河的兩岸筆直，現(xiàn)在要在每條河上垂直于河岸分別建一座橋.應(yīng)把橋建在什么位置，才能使將軍走的路程最短？

解析：如圖8所示，分別作AM垂直l1的河岸，BN垂直l2的河岸，且使AM的長(zhǎng)度等于河l1的寬度，BN的長(zhǎng)度等于河l2的寬度，連接MN，分別交兩條河一側(cè)于點(diǎn)C′、D，建橋CC′和DD′，連接AC、BD′，那么AC、CC′、C′D、DD′、D′B就是從軍營(yíng)A經(jīng)過(guò)這兩座橋到瞭望臺(tái)的路程，此時(shí)路程最短.

這里無(wú)論涉及沿河邊散步還是造橋選址問(wèn)題，都用到了一個(gè)平移的思想方法，有的是“水平平移”，有的是“垂直平移”，當(dāng)然還有“斜平移”，關(guān)鍵是抓住定長(zhǎng)線段提供的平移方向與平移距離，進(jìn)行相應(yīng)的平移之后，即可轉(zhuǎn)化為“兩定一動(dòng)型”常規(guī)最值問(wèn)題，然后結(jié)合“兩點(diǎn)之間，線段最短”的性質(zhì)求解.顯而易見，求線段和的最小值的教學(xué)，建立兩點(diǎn)一線模型，可使問(wèn)題得以解決.以“將軍飲馬”為問(wèn)題情境，不是可以實(shí)現(xiàn)“從問(wèn)題情境出發(fā)，由問(wèn)題情境展開，讓問(wèn)題情境貫穿始終”的效果嗎？反思一下，相比以“將軍飲馬”為主線，而用平面圖形（比如：正方形、圓中求線段和的最小值）、立體圖形、平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)或打臺(tái)球等材料背景烘托，用一個(gè)背景，一氣呵成，一根主線，一以貫之，直抵教學(xué)的全部目標(biāo)，不是更有深意嗎？相比將比較零散、看似不關(guān)聯(lián)的幾個(gè)材料進(jìn)行不同的變式，用一個(gè)材料更能很好地體現(xiàn)它們密切相關(guān)，是一個(gè)模型的不同側(cè)面，從而找到它們的異同點(diǎn)，不人為割裂，從而回歸自然.結(jié)合以上兩點(diǎn)一線模型的建構(gòu)過(guò)程，把用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟概括如下，供大家參考.

圖9