著力發(fā)展學(xué)生幾何直觀想象素養(yǎng)的若干途徑

☉江蘇省無錫市蠡園中學(xué) 周進榮

☉江蘇省無錫市蠡園中學(xué) 周玲華

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》課程目標的集中體現(xiàn)，直觀想象是六個核心素養(yǎng)之一.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué).”借助幾何直觀進行思考，已經(jīng)成為一種很重要的研究策略，在整個教學(xué)過程中都發(fā)揮著重要的作用.學(xué)生的幾何直觀有先天的成分，但是高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，主要依賴于個體參與其中的幾何活動.課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，也是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地，本人結(jié)合課堂教學(xué)實踐，談?wù)劙l(fā)展學(xué)生的幾何直觀的幾個主要途徑，不當之處，懇請批評指正.

一、重視畫圖能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

德國哲學(xué)家康德曾說：“如果沒有感性，則對象不會被給予；如果沒有知性，則對象不能被思考.沒有內(nèi)容的思想是空洞的，沒有概念的直觀是盲目的.”人的認識是由感性到知性，由知性到理性的過程.感性以直觀提供對象，知性則以概念思考對象，兩者相輔相成，缺一不可.幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.因此在許多問題解決中，往往需畫圖在前，分析在后.

案例1：如果每兩個人之間要握一次手，則n個人共需握幾次手？

圖1

分析：本題中的“人”可以抽象為數(shù)學(xué)中的1個“點”，兩個人握一次“手”，可以轉(zhuǎn)化為“兩點之間連接的一條線段”，如圖1，第一個人A1要與余下的（n-1）個人（A2、A3、…、握手，需要握（n-1）次手，同樣，第二個人也要握（n-1）次手，…，n個人握n（n-1）次手，由于A1→A2與A2→A1重復(fù)計算，所以n個人共需握次手.

評注：解決數(shù)學(xué)問題有兩個基本視角——數(shù)和形，以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”解“形”.上述問題先把研究的“對象”抽象為“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形關(guān)系”，借助畫圖，使問題變得簡明.

案例2：（2017·自貢）如圖2，一次函數(shù)y1=k1x＋b和反比例函數(shù)相交于A、B兩點，其橫坐標分別為-2和1，若y1＞y2，則x的取值范圍為_______.

分析：y1是一次函數(shù)的值，y2是反比例函數(shù)的值，當y＞y時，此時不等式的解集求不出.于是換個12思考方向，從函數(shù)圖像的角度進行比較，如圖3，一次函數(shù)y1的圖像是直線，反比例函數(shù)y2的圖像是雙曲線，當y1＞y2時x的取值范圍，就是當直線高于雙曲線時對應(yīng)的自變量x的取值范圍，由于直線和雙曲線有交點A、B，以及反比例函數(shù)中自變量x≠0，于是過x軸上表示-2、0和1的三個點分別作x軸的垂線（分界線），整個平面被分成四個不同的區(qū)間，即：x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1和x＞1.觀察圖像：當x＜-2時（直線x=-2的左邊），直線高于雙曲線，符合y1＞y2；當-2＜x＜0時（直線x=-2和x=0之間），直線低于雙曲線，不符合y1＞y2；當0＜x＜1時（直線x=0和x=1之間），直線高于雙曲線，符合y1＞y2；當x＞1時（直線x=1的右邊），直線低于雙曲線，不符合y1＞y2.綜上所述，若y1＞y2，則x的取值范圍為x＜-2或0＜x＜1.

評注：幾何圖形也包括函數(shù)圖像.函數(shù)圖像，既有助于學(xué)生理解概念，建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)論（公式、定理、性質(zhì)），也架起方程、不等式通往函數(shù)的“橋梁”，得出不等式的解集.

教學(xué)啟示：直觀、想象的載體是圖形，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的基本對象，相對而言，形直觀而數(shù)抽象.正如華羅庚先生所言：“數(shù)”缺“形”時少直觀，“形”少“數(shù)”時難入微.在平時的教學(xué)中，要通過訓(xùn)練讓學(xué)生感受圖形的力量，經(jīng)常畫簡圖，看“圖”說話，借“圖”表達，借“圖”探究，有時借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件的動態(tài)演示，使得圖形更形象、更直觀，學(xué)生更容易弄清問題的本質(zhì)，而且可培養(yǎng)學(xué)生主動用圖的意識，培養(yǎng)敏銳的識圖能力.

二、重視“基本圖形”的運用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

史寧中先生認為“直觀不是‘教’出來的，而是自己‘悟’出來的”，這就需要經(jīng)驗積累.課堂教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握三角形、四邊形、圓等重要的圖形，還要有意識地強化對一些“基本圖形”的運用，不斷運用這些“基本圖形”去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.初中常見的基本圖形有：“平行線＋角平分線=等腰三角形（如圖4）”“雙垂圖（如圖5）”“一線三等角（如圖6）”等.下面以“一線三等角”為例，談?wù)勅绾卫谩盎緢D形”，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.

一線三等角是一種特殊的相似關(guān)系，也是初中重要的幾何模型，如圖6，它指的是當某條直線或線段的同一側(cè)有依次排序的三個等角（∠C=∠BAD=∠E）時，首尾兩角所在的三角形相似，即△ABC △DAE，這種特殊的相似稱為“一線三等角”.

案例3：（2017·宿遷）如圖7，在△ABC中，AB=AC，點E在邊BC上移動（點E不與B、C重合），滿足∠DEF=∠B，且D、F分別在邊AB、AC上.

（1）求證：△BDE △CEF；

（2）當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分∠DFC.

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，再由∠DEF＋∠CEF=∠B＋∠BDE，即可判定∠CEF=∠BDE，根據(jù)相似三角形的判定可得△BDE △CEF.

評注：“一線三等角”是初中幾何的基本模型，通過相似的比例關(guān)系建立方程或函數(shù)表示數(shù)量之間的變化關(guān)系，解決相關(guān)問題，是初中數(shù)學(xué)常用的方法，非常奏效.

“一線三等角”中有一種特殊的情形是某條直線或線段的同一側(cè)依次排序的三個等角（∠C=∠ABE=∠D）都是90°，如圖8，這個圖形是八年級全等一章最常見的基本圖形，我們把這一基本圖形簡稱為“K字形”.

“K字形”是幾何計算和證明最常用的幾何圖形，也是勾股定理“總統(tǒng)證法”的幾何圖形，構(gòu)造“K字形”能夠幫助學(xué)生尋找解題思路.

案例4：（2017·咸寧）如圖9，在平面直角坐標系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖所示放置，直角頂點C的坐標為（1，0），頂點A的坐標為（0，2），頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上，現(xiàn)將直角三角板沿x軸的正方向平移，當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應(yīng)點C′的坐標為___________.

分析：由題意，如圖10，過點B作BD⊥x軸于點D，由“K字形”可得△ACO △CBD（AAS），于是有OC=BD，OA=CD.因為A（0，2），C（1，0），所以O(shè)D=3，BD=1，則點B的坐標為（3，1），所以過點B的反比例函數(shù)的解析式為y=平移三角板，當頂點A恰好落在該雙曲線上時，A′與A的縱坐標都是2，所以點A′的坐標為）.則點A向右平移的長度為，所以點C也向右平移了個單位長度，所以點C（1，0）的對應(yīng)點C′的坐標為）.

評注：在幾何教學(xué)中，要積極引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動想圖、作圖和用圖的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的識圖能力，并注意聯(lián)想幾何圖形的形象關(guān)系；學(xué)會 “看”出思路，“看”出簡潔，積極鼓勵構(gòu)造“基本圖形”，不斷積累方法和經(jīng)驗.

教學(xué)啟示：在教學(xué)過程中，要有意識地給學(xué)生強化常見的“基本圖形”.為了讓學(xué)生的頭腦中留住這些“基本圖形”，教學(xué)時應(yīng)該首先讓學(xué)生識記這些“基本圖形”，會說出它們的特點，并能熟練地畫出它們的形狀，講出各邊、角之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和直觀想象素養(yǎng).

三、重視圖形的變換，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

幾何變換既是學(xué)習(xí)的對象，也是認識數(shù)學(xué)的思想和方法.充分利用圖形的變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）去認識、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的重要途徑.

案例5：“平行四邊形的性質(zhì)”教學(xué)片段.

師：引出平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.圖11中的四邊形ABCD即為平行四邊形.

操作思考：

O是?ABCD的對角線AC的中點.用透明紙覆蓋在圖12上，描出?ABCD及其對角線AC，再用大頭針釘在點O處，將透明紙上的?ABCD旋轉(zhuǎn)180°.你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：點A與點C重合，點B與點D重合.

生2：?ABCD是中心對稱圖形，點O是對稱中心.

師：誰來證明一下？

生3：如圖13，將平行四邊形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)180°，因為O是AC的中點，所以點A與點C重合，點C與點A重合.因為AB∥CD，可知∠1=∠2，所以AB落在射線CD上.因為AD∥BC，可知∠3=∠4，所以CB落在射線AD上.因為兩條直線相交只有一個交點，所以點B（AB和CB的交點）與點D（CD和AD的交點）重合.連接BD，因為點B與點D關(guān)于點O對稱，所以BD經(jīng)過點O，且被點O平分.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點O是它的對稱中心.

師：從證實?ABCD是中心對稱圖形的過程中，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有哪些性質(zhì)？

生4：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.

……

評注：平行四邊形性質(zhì)的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點，也是難點.上述平行四邊形性質(zhì)的得出，一改傳統(tǒng)用全等的方法，而是從圖形的旋轉(zhuǎn)角度，讓圖形動起來，去認識、理解、記憶平行四邊形的性質(zhì)，生動、形象展現(xiàn)問題的本質(zhì)，促進了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力.

教學(xué)啟示：教學(xué)中讓學(xué)生用運動變化的思想分析問題是一種核心的數(shù)學(xué)思維能力，同時這是數(shù)學(xué)幾何直觀的重要表現(xiàn).案例5的教學(xué)，一方面，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)問題怎樣由靜止發(fā)展為運動的演變過程，另一方面，學(xué)生能通過畫圖呈現(xiàn)出圖形的整個運動變化過程，對增強學(xué)生借助圖形發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析解決問題的能力具有重要意義，是培養(yǎng)幾何直觀的重要載體.

四、重視數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：“利用直角坐標系，不僅能夠推導(dǎo)出幾何圖形的代數(shù)表達式，還能夠利用幾何圖形來研究代數(shù)問題，這是幫助學(xué)生建立幾何直觀的有效途徑.”代數(shù)研究的對象是“數(shù)”，幾何研究的對象是“形”.其實，“數(shù)”與“形”可以視為同一問題的不同角度的表現(xiàn).有時以“形”給出，要讀懂其隱含“數(shù)”的信息；有時以“數(shù)”呈現(xiàn)，要挖掘其“形”的意義，把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體、直觀的幾何問題，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)解決問題.

案例6：在平面直角坐標系中，點P的坐標為（0，2），點M的坐標為）（其中m為實數(shù)），當PM的長最小時，m的值為__________.

分析：本題中點M的坐標以代數(shù)符號表示，含兩個變量，許多學(xué)生不知所措.這就需要挖掘代數(shù)符號的幾何意義.根據(jù)題意，如圖14，點P（0，2）是一個定點，而點M的坐標為-3），它是一個動點，由點M的橫坐標和縱坐標的關(guān)系，可知點M在直線-3上運動.根據(jù)垂線段最短可知，如圖14，當PM⊥AB時，PM的長最小.于是，如圖15，過點M作MH⊥AO，垂足為H.

由題意知A（-4，0）、B（0，-3），則AB=5.

評注：數(shù)學(xué)家黎曼說：“每一個數(shù)學(xué)公式背后都有一個反映其本質(zhì)的幾何模型.”其實，許多代數(shù)問題的背后都有一個幾何模型，有的模型是隱性的，不易發(fā)現(xiàn)，需要借助想象、借一雙慧眼，挖掘其幾何意義，構(gòu)建直觀模型，使復(fù)雜問題簡單化，從而有效突破難點.這道難題的解答能如此簡潔、流暢，是源于“洞察”出代數(shù)問題的幾何背景，從幾何視角揭示出問題的本質(zhì)：抓住動點-3）的運動軌跡是一條直線3，再根據(jù)“點線之間，垂線段最短”這一性質(zhì)解決問題.

教學(xué)啟示：案例6構(gòu)建了“圖形與坐標”的模型.當然，由解決問題的需要，還可能構(gòu)建其他幾何直觀模型，如圓、雙曲線、拋物線等.這些問題都是通過數(shù)的特征，構(gòu)建幾何模型，使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化.然而，“軌跡”思想和隱性信息的發(fā)掘是不少學(xué)生的軟肋，需引起師生的重視.

新課標指出，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形直觀和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力.當然，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)還有很長的路，但隨著各地新課標的實施，教育工作者會越來越重視學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).今后的中、高考也會加大核心素養(yǎng)的考查力度，勢必會倒逼數(shù)學(xué)教師立足課堂主陣地，潛心研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的落實.任務(wù)是艱巨的，但前途是光明的，值得我們?yōu)橹龀霾恍傅呐?