如何讓數(shù)學(xué)概念“立體”起來？
——基于“立方根（第1課時）”（人教版）教學(xué)的思考

☉重慶市璧山中學(xué) 王 偉

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”然而，我們在概念教學(xué)時的現(xiàn)狀是，教師不清楚如何開展數(shù)學(xué)概念探究.最近，南京竹山中學(xué)黃秀旺老師蒞臨我校指導(dǎo)教學(xué)工作，執(zhí)教了“立方根（第1課時）”（人教版），并就概念教學(xué)與我們進(jìn)行了廣泛的交流，黃老師將“立方根”如履春風(fēng)吹來，課堂波瀾起伏，令人反思良久，回味無窮.筆者對該課概念探究途徑進(jìn)行了一些思考，以期對讀者有所啟迪.

一、教學(xué)實錄

1.回顧與反思

問題1：請你回顧學(xué)習(xí)“6.1平方根”的過程，思考以下問題：

（1）平方根的學(xué)習(xí)是基于一個什么現(xiàn)實問題而提出的？它引出的數(shù)學(xué)問題又是什么？

（2）平方根的學(xué)習(xí)包含哪些內(nèi)容？建議你畫圖表示，這樣更為清晰、明了.學(xué)生探究之后畫圖（如圖1）.

平方根的學(xué)習(xí) 新問題的學(xué)習(xí)

2.提出問題

問題2：要制作一種容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，這種包裝箱的棱長應(yīng)該是多少？如何列式？如何求出？

點評：老師并沒有急于提出立方根概念，而是首先把時間花費在了追溯平方根的學(xué)習(xí)途徑，在學(xué)生明確了平方根內(nèi)容之后，話鋒一轉(zhuǎn)，提出立方根的實際問題，學(xué)生按照這樣明晰的線路圖類比開展研究，拉大了概念的思維長度.

3.探究定義

（1）挖掘背景

在學(xué)生完成列式和得出答案之后.

師：在問題背景中，由x3=27，可得x=3，那么離開這樣的背景，你會得到什么答案？

生：剛剛提出的問題，實際上就是研究當(dāng)x3=a時，a是多少，即求a的立方根.

師：什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？

……

師：為什么你要命名為立方根呢？

生：因為x3=a，顧名思義，x叫作a的立方根.

（2）符號表達(dá)

生：因為平方得到一個正數(shù)，這樣的數(shù)有兩個，且互為相反數(shù)，所以平方根表示為，而立方得到一個正數(shù)，這樣的數(shù)有一個，所以立方根表示為

師：什么叫開立方？它與立方有何關(guān)系？

……

點評：從具體背景到數(shù)學(xué)，學(xué)生清晰地知道了立方根來自源于立方，并圍繞立方根和平方根的聯(lián)系和區(qū)別設(shè)計問題，拓展了立方根概念的寬度.

4.求一個數(shù)的立方根

例1 你能求下列各數(shù)的立方根嗎？

在學(xué)生做完練習(xí)后，老師展示了兩種不同的書寫方式（以8為例）.

生1：2.

師：求出的依據(jù)是什么？從過程到結(jié)果的解答應(yīng)該如何表述？

生2：由23=8，得8的立方根為

師：以上兩位同學(xué)哪位做得更好？為什么？

……

5.探究性質(zhì)

練習(xí)：（辨析題）課本第51頁，習(xí)題6.2第1題.

活動：探究一個數(shù)的立方根與它的相反數(shù)的立方根之間的關(guān)系.

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一個式子表示其中的規(guī)律嗎？

……

點評：從中可以看出執(zhí)教者的理念：不盲目追求單純的結(jié)果，而是暴露思維過程與展示結(jié)果并重.

6.概念運用

例2 求下列各式的值：

師：你能說出它們的意義嗎？例1與例2的區(qū)別在哪里？

生：一個是用文字表述立方根，另一個是用數(shù)學(xué)符號表述立方根.

例3 求下列各式中的x：

（1）x3+3=2；（2）（x-1）3=8.

師：你能找到這些方程的原型在哪里嗎？如何理解各式中x的意義？

……

點評：“求下列各式中的x”的語句表述，更貼近立方根的定義，使學(xué)生聯(lián)想到“已知x3=a，求x=”的解題思路，自覺回歸立方根的定義，前后呼應(yīng)，并將立方根的價值提升到了一個新的高度，渾然一體.

回顧本課，執(zhí)教者緊緊圍繞立方根概念教學(xué)是學(xué)生解題達(dá)成度高的根本原因，那么，如何開展概念教學(xué)呢？

二、本課給我們的啟迪

概念教學(xué)從什么角度開展探究，以真正發(fā)揮概念在解題中的作用？

1.在類比中聯(lián)想——拉大概念的思維長度

對于任何一個數(shù)學(xué)概念，我們都能找到以前學(xué)習(xí)的影子，這便是新概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教師要做有心人，努力為學(xué)生搭建思維的平臺，拉大概念的思維長度，增大學(xué)生的思維容量，進(jìn)行全方位類比學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生更清晰地學(xué)習(xí)，那么如何類比呢？

（1）類比學(xué)習(xí)內(nèi)容

心理學(xué)家馬爾慈說，人的意識就是一個“服務(wù)機制”——一個有目標(biāo)的電腦系統(tǒng).學(xué)生心目中追求的形象的清晰程度，就如同一個電腦程序的好壞，直接影響到這一系統(tǒng)運作的結(jié)果.由此可見，明確課堂學(xué)習(xí)任務(wù)，對學(xué)習(xí)者來說，可以提高主動參與的意識，而類比就是絕佳的思考途徑.

例如，本課類比平方根學(xué)習(xí)的線路圖，探究立方根就按照平方根問題、定義、符號表達(dá)、求一個數(shù)的立方根、性質(zhì)和應(yīng)用等主線，通過類比，學(xué)生就明白自己該做什么，怎么做，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)意識.

（2）類比研究方法

除了在內(nèi)容上的類比，還可以在研究方法上類比，例如就研究背景而言，平方根的研究背景是正方形的面積，類比想到立方根的研究背景就是正方體，并在此基礎(chǔ)上逐步開展類比探究，在潛移默化中有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的正遷移.

在初中數(shù)學(xué)中，有很多這樣的類比學(xué)習(xí)內(nèi)容，例如，學(xué)習(xí)實數(shù)可類比有理數(shù)的研究途徑，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)可類比一次函數(shù)的研究途徑，學(xué)習(xí)一元一次不等式可類比一元一次方程的探究途徑……這樣的教學(xué)設(shè)計在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多.

2.在對比中發(fā)展——拓展概念的思維寬度

新概念學(xué)習(xí)一定與以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容有所不同，這需要在對比中找出不同，這樣才能真正區(qū)分概念，從而拓寬概念的思維寬度.

在本課中，教師為了講清“立方根概念”的內(nèi)涵，尤其是對概念的三個追問甚是精妙，堪稱神來之筆.追問1：在問題背景中，由x3=27，可得x=3，那么離開這樣的背景，你會得到什么答案？這樣的追問是從立方到開立方的對比，使學(xué)生對開立方的本質(zhì)有了初步理解.追問2：為什么你要命名為立方根呢？這樣的追問，實質(zhì)上就是追問立方根的本源在哪里，為例1求下列各數(shù)的立方根奠定了堅實的基礎(chǔ).追問3：平方根表示為為什么立方根表示為為什么在前面不加上“±”呢？這一追問道出了平方根與立方根的區(qū)別，回歸到平方與立方的區(qū)別上來，為以下的例題與概念聯(lián)系做了很好的鋪墊.

在類比中獲得靈感，在對比中才有創(chuàng)新.同樣，在一些新授章節(jié)中，需要我們找出以前學(xué)習(xí)中的蹤影，進(jìn)行對比學(xué)習(xí).例如，學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系時，提出：數(shù)軸上用數(shù)表示點有什么缺陷？學(xué)生就會想到數(shù)軸之外的點如何用數(shù)學(xué)表示位置，從而碰撞出思維的火花，從而意識到以前學(xué)習(xí)的不足，需要繼續(xù)努力.提 出：對于數(shù)軸，我們研究了什么？提出平面直角坐標(biāo)系的研究方法和途徑，并比較其異同之處，這樣學(xué)生在明晰的線路中就能砥礪前行，真正把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生.

3.在應(yīng)用中升華——提升概念的思維高度

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，掌握概念的目的是為了應(yīng)用.根據(jù)概念推導(dǎo)出一系列的定理、公式、性質(zhì)、法則，是概念應(yīng)用的一個重要方面，嚴(yán)密的推理論證過程就是對學(xué)生運用概念進(jìn)行思維訓(xùn)練的過程.同時概念本身在解題中也有著廣泛的應(yīng)用，許多問題利用概念的定義來解往往顯得格外巧妙簡捷，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性，讓學(xué)生感悟概念的價值，提升學(xué)生對概念的認(rèn)識高度.

例如，本課中追問：（例1）求出的依據(jù)是什么？從過程到結(jié)果的解答應(yīng)該如何表述？我們可以看到，傳達(dá)給學(xué)生的思想是如何圍繞立方根概念解答問題.追問：（例1）你能說出數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同嗎？則對新知識和舊知識進(jìn)行對比，進(jìn)一步凸顯教學(xué)重點，突破難點，有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo).追問：（例2）你能說出它們的意義嗎？例1與例2的區(qū)別在哪里？則是對概念不同表達(dá)形式的理解，激發(fā)學(xué)生對立方根文字表述與數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)化的理解.追問：（例3）你能找到這些方程的原型在哪里嗎？如何理解各式中x的意義？則回歸立方根概念，追本溯源，前后呼應(yīng)，過渡自然，突出了概念的統(tǒng)領(lǐng)地位，真正實現(xiàn)解題能力的培養(yǎng).

三、結(jié)束語

學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時，會出現(xiàn)兩種情緒：一種是實現(xiàn)正遷移，覺得學(xué)習(xí)的知識可以解決未知的問題，表現(xiàn)出學(xué)習(xí)的主動性；另一種就負(fù)遷移，感到怎么學(xué)那么多知識，產(chǎn)生畏難情緒.為此，我們教師應(yīng)在充分研究學(xué)生及教材的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)有效情境，在新概念的形成探究中，通過與舊知識的類比拉伸學(xué)生思維的長度，在不斷追問對比中拓展學(xué)生思維念的寬度，在概念的應(yīng)用中提升學(xué)生思維的高度，真正地讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中讓思維“立體”起來，從而把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)落到實處