閱讀中突破，反思中創(chuàng)新
——以“分式方程的應(yīng)用”的教學(xué)為例談數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)

☉廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院 林日福

學(xué)生日常學(xué)習(xí)應(yīng)用題時，常由于數(shù)學(xué)閱讀能力較弱影響他們對問題的準確理解，對生活理解的欠缺影響他們將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化進程，代數(shù)式運用能力不足影響他們順利建模，等等，都讓他們對應(yīng)用題的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒.本文以北師大版教材八年級下冊數(shù)學(xué)“分式方程”一節(jié)中“分式方程的應(yīng)用”一課的教學(xué)為例，探討應(yīng)用題的教學(xué).

一、教學(xué)簡錄

環(huán)節(jié)1：溫故知新，了解模型

題1：小同每小時打2400字，打x小時可以打______個字.

題2：小同打一篇4800字的文章需要x小時，那么他每小時可以打______個字.

題3：小同每小時打x字，打一篇4800字的文章需要______小時.

題4：小同打一篇文章需要2小時，那么他每小時完成這篇文章的______.

簡評：給出一組現(xiàn)實生活問題，教師通過追問幫助學(xué)生理解工作總量、工作時間及工作效率等概念的含義，并在解決問題過程中理解三者之間的數(shù)量關(guān)系，為后面的順利建模搭好支架.

環(huán)節(jié)2：探索新知，建立模型

例題：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術(shù)，實際每天比原計劃多修10m，結(jié)果原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等.求原計劃每天修建管道多少米.

師：這是一個什么樣的問題？

生1：應(yīng)用題.

師：如何解決這樣的問題？

生2：先審題，找出題中的已知、未知、需要求什么，以及等量關(guān)系，再列方程并解答.

師：此題已知什么？求什么？等量關(guān)系是什么？你是怎樣理解的？

生3：已知“實際每天比原計劃多修10m，原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”，求原計劃每天修建管道多少米.等量關(guān)系有：（1）實際每天修建管道的長度=原計劃每天修建管道的長度+10m；（2）原計劃修建400m管道所用的時間=實際修建500m管道所用的時間.

生4：“實際每天比原計劃多修10m”指的是工作效率之間的關(guān)系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”指的是工作時間之間的關(guān)系.

師：題中哪些語言反映了這兩個等量關(guān)系呢？

生5：“實際每天比原計劃多修10m”反映了第一個等量關(guān)系，“原計劃修建400m管道與實際修建500m管道所用的時間相等”反映了第二個等量關(guān)系.

師：接著該怎么解決此題？

生6：設(shè)原計劃每天修建管道x m，這樣實際每天修建管道（x+10）m，再分別表示出原計劃修建400m管道的時間及實際修建500m管道的時間.分別為由等量關(guān)系（2）得方程

生6：用原計劃的工作總量（400m）除以原計劃的工作效率（x m）就是原計劃修建400m管道所用的時間，用實際的工作總量（500m）除以實際的工作效率（（x+10）m）就是實際修建500m管道所用的時間

圖1

師：你對他的解答過程有什么看法？

生8：列出來的是分式方程，解分式方程要檢驗，他沒有檢驗.

師：是的，此題還欠缺檢驗這一步驟.由剛才的分析知此題有兩個等量關(guān)系，他根據(jù)等量關(guān)系（2）列出方程，那么根據(jù)等量關(guān)系（1）也可以列出方程嗎？

生9：設(shè)原計劃修建400m管道需x天，那么原計劃的工作效率是天，實際的工作效率是/天，由等量關(guān)系（1）得方程

師：對前面幾種解法，你們有些什么想和大家一起分享的？

生10：求解應(yīng)用題時首先得審題，找出題中的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程.如果有多個等量關(guān)系，可選擇其中一個等量關(guān)系列出方程.解出方程后還需要檢驗.

師：非常好，理清題中各量及量與量之間的關(guān)系，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.因此，審題非常重要，解題前要細心閱讀問題，準確把握題意.當(dāng)題中的量比較多時，我們還可以借用表格幫助梳理.

設(shè)原計劃每天修建管道x m.

1.3 HER-2、EGR-1的免疫組織化學(xué)染色結(jié)果判定 HER-2的陽性結(jié)果主要定位于細胞膜或者細胞漿內(nèi)，其陽性反應(yīng)表現(xiàn)棕黃色。根據(jù)細胞核或者細胞漿染色的深淺以及染色的范圍來進行判定，結(jié)果判定如下：⑴按照陽性細胞百分數(shù)：陰性則0分，陽性細胞≤5%計1分，6%-50%記2分，50%-75%計3分，＞75%則4分。⑵按照切片染色強弱來評分：棕褐色表現(xiàn)3分，棕黃色表現(xiàn)2分，淡黃色表現(xiàn)計1分，無色記錄0分。免疫組化陽性分4個等級 （計算方法：⑴⑵）：0-2分表現(xiàn)為-（陰），3-4分為+，5-8分為++，9-12分為+++。

請大家填寫表1.

表1

師：你有些什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：如表2：

生12：如表3：

表2

表3

師：請和大家說說你的想法及思維過程.

生12：我先填出表格的第一行和第二行左邊的第一個空格，由等量關(guān)系（2）得實際工作時間也是天，填出表格右下角的空格，由工作效率得實際工作效率為m/天），便可填出剩下的空格，再由等量關(guān)系（1）可列方程

師：太妙了，你們知道妙在什么地方嗎？

生13：列出的方程是整式方程而不是分式方程，解這個方程比較容易，且不用對方程的解進行檢驗.

簡評：解答問題得先知道這是一個什么樣的問題，分析之后試著“干干看”，接著看“干得怎么樣”，最后反思“有什么收獲”，這是一個完整的解決問題的過程.教師引導(dǎo)學(xué)生反思思維過程，感悟解題收獲，既可幫助那些仍不太理解的學(xué)生理解，又能激發(fā)新思考，引發(fā)新發(fā)現(xiàn).在這個過程中，他們收獲了新知識，學(xué)會了數(shù)學(xué)思考，感悟了問題中所蘊含的模型思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.

環(huán)節(jié)3：學(xué)以致用，掌握模型

題1：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結(jié)果比原計劃提前6天完成任務(wù).求原計劃每天修建管道多少米.

題2：某市政工程隊準備修建一條長1200m的污水處理管道，在修建完400m后，為了能趕在汛期前完成，采用了新技術(shù)，工效比原來提升了25%，結(jié)果共用26天完成任務(wù).求原計劃多少天完成此項任務(wù).

題3：某市政工程隊準備修建一條污水處理管道，為了能趕在汛期前完成，實際工作效率比原來提升了25%，結(jié)果比原計劃提前6天完成任務(wù).求原計劃需多少天才能完成此項任務(wù).

簡評：題1變化了例1的工作效率的表述方式及工作時間的關(guān)系；題2在題1的基礎(chǔ)上變化了工作時間的關(guān)系及完成整項工作的方式；題3沒有給出工作總量，需要學(xué)生用抽象的數(shù)字“1”來表示；題4為自編題，不同學(xué)生可能編寫出不同背景的問題.4道題形成層層遞進的問題組，突出建立模型這個教學(xué)重點，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

二、教學(xué)思考

1.在數(shù)學(xué)閱讀中學(xué)會數(shù)學(xué)思考

解決問題首先要審題，通過審題來獲取問題中的數(shù)學(xué)信息，理解每個信息的數(shù)學(xué)含義，這是解答應(yīng)用題的第一步，也是成功解題的基礎(chǔ).展示出問題后，教師營造安靜的課堂環(huán)境，與學(xué)生一起專注于默讀問題.讀題的過程中，指導(dǎo)學(xué)生勾畫出問題中的一些關(guān)鍵詞、句，必要時還讓學(xué)生重讀，邊讀邊進行一些自問自答式的思維活動.如：這是一個什么樣的問題呢？都有些什么已知量與未知量呢？題中的這個量表示的是什么呢？這些量之間滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題中還給出了什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？這個問題和以往做過的什么問題有聯(lián)系呢？等等，都能有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的習(xí)慣與能力，促進他們在閱讀中進行數(shù)學(xué)思考.

隨著學(xué)生認知水平、閱讀能力的發(fā)展，審題活動就應(yīng)逐漸由學(xué)生自主獨立完成.這樣，學(xué)生在閱讀的過程中才會真正挖掘問題中的數(shù)學(xué)信息，思考問題的數(shù)學(xué)含義，切身體會問題所蘊含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)探索.但據(jù)筆者日常課堂觀察發(fā)現(xiàn)，不少教師在教學(xué)應(yīng)用題時，把應(yīng)由學(xué)生審題的事給包辦了.這種僅展示閱讀及思維結(jié)果的教學(xué)，只能讓學(xué)生感到問題的神秘、老師的神奇，卻無助于學(xué)生獨立解決問題能力的培養(yǎng).

2.在解決問題中學(xué)會數(shù)學(xué)表達

學(xué)生能否正確運用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，建立數(shù)學(xué)模型，關(guān)鍵在于學(xué)生是否真正從數(shù)學(xué)上理解了這些從生活中抽象出來的概念，以及這些概念之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.

（1）讓數(shù)學(xué)回歸生活.

數(shù)學(xué)來源于生活，同時是對現(xiàn)實世界的高度抽象，將抽象的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活建立聯(lián)系，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)應(yīng)用題中各個量的含義，以及量與量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系的重要方法.而生活經(jīng)驗的欠缺，給他們的數(shù)學(xué)理解增加了不少困難.因此，教學(xué)中常需要讓數(shù)學(xué)回歸生活，通過創(chuàng)設(shè)一些與之相關(guān)的現(xiàn)實生活情景，讓學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗，舉出例子來解釋概念的含義，可使抽象的數(shù)學(xué)概念生活化、直觀化、具體化，有助于學(xué)生正確建立模型.

（2）為理解提供支架.

教學(xué)實踐表明，對于已學(xué)習(xí)過的概念，通過運用概念解決具體問題也有助于他們對概念的回憶與認知加工，幫助學(xué)生加深對概念的理解.例如本課的“工作總量”“工作效率”等概念，學(xué)生在小學(xué)已學(xué)習(xí)過，但對它們的數(shù)學(xué)含義，不少學(xué)生仍是模糊的.如對“環(huán)節(jié)1”中的題3，剛開始時有部分學(xué)生錯誤認為表示的是工作效率.本環(huán)節(jié)教學(xué)結(jié)束后，我們通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已對“工作總量、工作效率、工作時間”等概念有了更清晰的認識，有效地減輕了他們后續(xù)學(xué)習(xí)的認知負擔(dān).

（3）在追問中促進理解.

研究發(fā)現(xiàn)，教師通過追問等提問方式，能幫助學(xué)生更好地理解概念，把握概念包含的數(shù)學(xué)關(guān)系，并運用數(shù)學(xué)符號表達出來，進而正確建立數(shù)學(xué)模型.這對于學(xué)習(xí)困難的學(xué)生來說，教學(xué)效果更為明顯.如本課里，教師在學(xué)生審題、思考后提出：這是一個什么樣的問題？此題已知什么？要求什么？等量關(guān)系是什么？你是怎樣理解的……分別是怎么得到的……在追問中，學(xué)生逐漸認清問題的類型、解決問題的目標(biāo)、每一個概念的含義，以及題中的數(shù)量關(guān)系，等等，降低了學(xué)生建立方程、解答問題的難度.更為重要的是，教師的追問，還展示出了較為完整的探索及思維過程，有助于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與問題解決能力.

（4）在運用中學(xué)會表達.

學(xué)生的數(shù)學(xué)表達是學(xué)生的而不是老師的，因而學(xué)生的數(shù)學(xué)表達必須在學(xué)生運用知識解決問題中培養(yǎng).“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得，需要學(xué)生參與做數(shù)學(xué)的活動.［1］”在學(xué)生已能較好地理解問題中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系后，運用數(shù)學(xué)符號表達出這些概念及數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，這是一個抽象概括及符號化的過程，需要學(xué)生的親身參與，努力嘗試，切身感受.當(dāng)然，強調(diào)由學(xué)生獨立嘗試進行數(shù)學(xué)表達，并不是要否認教師的教學(xué)示范與教學(xué)指導(dǎo)作用.相反，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達能力上，教師應(yīng)該也必須適時、適度發(fā)揮應(yīng)有的示范作用，當(dāng)學(xué)生表達出現(xiàn)困難時要適時、適度提供支持，以幫助學(xué)生逐漸學(xué)會數(shù)學(xué)表達.

3.在歸納感悟中學(xué)會數(shù)學(xué)評價

日常教學(xué)中，不少教師在給出問題解決過程后便馬上進入練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，卻忽視引導(dǎo)學(xué)生對解題的思維過程進行反思、感悟與評價，這大大降低了問題解決的教學(xué)價值.

（1）在評價中培養(yǎng)嚴謹思維的意識.

當(dāng)學(xué)生運用新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識解決問題時，數(shù)學(xué)表達常存在嚴謹性不足的問題.如剛學(xué)習(xí)幾何推理時，大部分學(xué)生都犯思路不清、邏輯關(guān)系不明、表達不嚴謹?shù)儒e誤.教學(xué)時，一方面需要教師教學(xué)示范，另一方面，更需要讓學(xué)生把問題充分暴露出來，再組織思考與評價，逐漸完善.本課里，生7展示的解答過程欠缺了“檢驗”這一步，評價時生8指了出來.我認為，這更能彰顯出培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“檢驗”的意識，以及培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自我監(jiān)控能力的教學(xué)價值.

（2）在評價中培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.［2］”學(xué)生解決問題后，他們已對問題有了較全面、深入的思考，此時教師再創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，組織學(xué)生對解題的思維過程進行反思、感悟、評價，常能激發(fā)出他們的創(chuàng)新思考，獲得新想法.本課里，在評價生7的解答過程后，教師提問：“根據(jù)等量關(guān)系（1）可以列出方程嗎？”之后，教師引入表格，讓學(xué)生運用表格梳理題中的已知量、未知量，以及各量之間的數(shù)量關(guān)系.此時學(xué)生自然而然地生疑：此題都已解答完了，老師怎么還提出這樣的問題呢？老師給出的表格又有什么用呢？激發(fā)了他們再次深入思考的興趣，進而產(chǎn)生了新發(fā)現(xiàn)，獲得了新解法.經(jīng)過這樣的過程，他們對列方程模型解應(yīng)用題的本質(zhì)，即用代數(shù)式從不同的角度表示出同一個量，這種“算兩次”的方法，有了更深刻的認識，有利于培養(yǎng)與發(fā)展他們的創(chuàng)新意識與能力.

4.在鞏固應(yīng)用中掌握模型

數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，其根本目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，感悟模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.這樣，讓學(xué)生將模型應(yīng)用于新的問題情境，實現(xiàn)對所學(xué)習(xí)模型的進一步抽象、概括性理解，這是應(yīng)用題教學(xué)的必備環(huán)節(jié).

（1）在變式練習(xí)中實現(xiàn)對模型的概括性理解.

“變式”是教師為實現(xiàn)學(xué)生能掌握模型、運用模型所采用的常見的教學(xué)策略.本課里，教師通過改變例題中的工作效率、工作時間或工作總量等已知條件，由易到難，由具體到抽象，達成了讓學(xué)生熟練運用分式方程的數(shù)學(xué)模型解決工程問題這個教學(xué)目標(biāo).

但數(shù)學(xué)教學(xué)要“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展［2］”.本課的變式，仍局限于問題情境的內(nèi)部，對問題情境中具體的量或數(shù)量關(guān)系做一些變化，沒能深入到該模型的本質(zhì)，這對于哪些學(xué)有余力的學(xué)生來說是不夠的.工程問題的數(shù)學(xué)模型是“A（工作總量）=B（工作效率）×C（工作時間）”，這也是很多其他生活實際問題的數(shù)學(xué)模型.如行程問題（路程=速度×?xí)r間）、商品銷售問題（總利潤=單件利潤×銷售量）、銀行利息問題（總利息=利率×期數(shù)），等等.這為我們對問題進行變式提供了更多的選擇、更廣闊的空間.教學(xué)中，如果能呈現(xiàn)一些數(shù)學(xué)模型相同而應(yīng)用背景不同的問題，必將有助于學(xué)生把握該模型的本質(zhì)，實現(xiàn)對模型的概括性理解.

（2）在自主編題中提升學(xué)生的概括水平.

組織學(xué)生根據(jù)所給的數(shù)學(xué)模型自主編題，可以提高學(xué)生對模型的概括水平.我們知道，要基于原模型進行自主編題，需要對模型有較為豐富的、全面的把握與認識，對原題的解法有較深的理解，同時對社會生活也有比較豐富的認識，等等.例如本課的練習(xí)題4，學(xué)生要能編題，他們首先要對數(shù)學(xué)模型“A=B×C”有較深刻的認識，至少，他們也應(yīng)能較好地把握模型“工作總量=工作效率×工作時間”中各量的具體含義及它們之間的關(guān)系.

當(dāng)然，或許學(xué)生的編題僅僅是對剛學(xué)習(xí)的例題做一些淺層次的變化.但在分享經(jīng)驗、教師的指導(dǎo)與鼓勵下，他們所編寫出的問題必將會越來越豐富，越來越有創(chuàng)意，越來越能反映出模型的本質(zhì).而這正是學(xué)生概括性理解模型的具體表現(xiàn)，也是應(yīng)用題教學(xué)所追求的教學(xué)價值之所在.