對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的理性思考與建議

寧連華　蔡甜甜

【摘 要】縱觀義務(wù)教育及普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的若干次修訂，學(xué)生從數(shù)學(xué)角度“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”的能力越發(fā)受到重視。發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，?？赏ㄟ^(guò)類比、變式、反思等方式進(jìn)行。結(jié)合學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐，就其中存在的問(wèn)題提出幾點(diǎn)思考與建議：將發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生提出高質(zhì)量的好問(wèn)題，積極創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，營(yíng)造鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑提問(wèn)的和諧氛圍，提高教師自身提出和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；提出問(wèn)題；學(xué)生；方式；思考與建議

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2018）67-0021-04

【作者簡(jiǎn)介】1.寧連華，南京師范大學(xué)（南京，210097）數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院課程與教學(xué)研究所教授，博士生導(dǎo)師；2.蔡甜甜，南京師范大學(xué)（南京，210097）教師教育學(xué)院研究生。

20世紀(jì)80年代初，全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)（NCTM）掀起一場(chǎng)以“問(wèn)題解決”為核心的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)。到20世紀(jì)80年代末，隨著對(duì)“問(wèn)題解決”的不斷反思，“問(wèn)題提出”教學(xué)研究開(kāi)始走進(jìn)課堂，成為數(shù)學(xué)教育界普遍關(guān)注的研究話題。[1]近年來(lái)，隨著新課程改革向縱深推進(jìn)，學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”能力的培養(yǎng)越發(fā)受到關(guān)注，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在課程目標(biāo)中就明確指出，“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”。[2]

然而，目前在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力方面仍未取得重大突破。鑒于此，有必要在已有研究基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的內(nèi)涵、方式等進(jìn)行理性分析與反思，以期讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題成為教學(xué)的常態(tài)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與創(chuàng)新思維能力。

一、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的要義分析

1.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的內(nèi)涵。

20世紀(jì)90年代以來(lái)，教師和研究者從“問(wèn)題意識(shí)”的視角對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問(wèn)題提出”進(jìn)行了研究，關(guān)注對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力的培養(yǎng)。所謂“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，是指經(jīng)過(guò)多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面看來(lái)沒(méi)有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量與空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系和矛盾提煉出來(lái)。所謂“提出問(wèn)題”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以“問(wèn)題”的形態(tài)表述出來(lái)。[3]

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題常被同時(shí)提及，但其實(shí)二者之間仍有細(xì)微的差別。數(shù)學(xué)教學(xué)中的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，側(cè)重用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，指在現(xiàn)實(shí)情境中觀察、分析，思考是否存在值得研究的有關(guān)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式的問(wèn)題，更強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題意識(shí)”；而提出問(wèn)題則側(cè)重用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，指在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題清晰地表達(dá)出來(lái)，明確的問(wèn)題表述是分析、解決問(wèn)題的必要條件。簡(jiǎn)言之，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題為提出問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，提出問(wèn)題是對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的完善。

2.學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的重要性。

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。[4]高校教師常反映大學(xué)生的模仿能力強(qiáng)，而創(chuàng)新思維能力弱，這也從側(cè)面反映了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力方面仍有所欠缺。不少學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，解題能力較強(qiáng)，但是卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，也不善于提出問(wèn)題。其實(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展是“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”與“分析和解決問(wèn)題”不斷交替的過(guò)程，解決問(wèn)題固然重要，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的作用亦不可忽視。如果只有解決問(wèn)題，缺少發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的環(huán)節(jié)，思維元就不能形成“群”狀結(jié)構(gòu)。[5]

從思維的創(chuàng)造性價(jià)值角度看，“發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題”和“分析、解決問(wèn)題”，與合情推理和演繹推理也有幾分相似。合情推理與演繹推理是推理的兩大常見(jiàn)形式，兩者相輔相成，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程。數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)定理之前，你先得猜這個(gè)定理的內(nèi)容……數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的?！盵6]在論證一個(gè)命題前需要由合情推理來(lái)提出猜想，正如在解決一個(gè)問(wèn)題前需要先發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中常需用到演繹推理，而合情推理則是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的重要來(lái)源。合情推理在創(chuàng)新方面有演繹推理難以替代的重要作用，同樣地，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和能力的重要環(huán)節(jié)。

二、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的常用方式

在有些學(xué)者看來(lái)，“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”甚至比“分析和解決問(wèn)題”更為重要，愛(ài)因斯坦就曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更有意義?！闭\(chéng)然，沒(méi)有數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出就不會(huì)有數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，也就沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以考慮通過(guò)類比、變式、反思等方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。

1.類比。

類比是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的思想方法，也是提出猜想、進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的重要途徑。很多數(shù)學(xué)內(nèi)容之間都存在著相似的屬性，可通過(guò)類比的方法來(lái)提出猜想。不同維度間可以進(jìn)行類比，如立體幾何的學(xué)習(xí)可以類比平面幾何，從低維向高維進(jìn)行推廣；“式”與“數(shù)”之間也可進(jìn)行類比，如對(duì)分式的研究可以類比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對(duì)象與已經(jīng)學(xué)過(guò)的內(nèi)容之間是否存在相似性、能否進(jìn)行類比，預(yù)測(cè)將從哪些方面研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象，在此過(guò)程中往往就能發(fā)現(xiàn)和提出新的問(wèn)題。

2.變式。

變式訓(xùn)練是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的常見(jiàn)活動(dòng)，也是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的途徑之一。解決一個(gè)問(wèn)題之后，嘗試改變問(wèn)題的條件或結(jié)論，對(duì)結(jié)論進(jìn)行一般化的推廣，或者反過(guò)來(lái)思考命題的逆命題是否成立等，這樣的變式都將提出新的問(wèn)題。美國(guó)學(xué)者布朗與沃爾特提出了基于給定的數(shù)學(xué)問(wèn)題而提出問(wèn)題的“what-if-not”策略，即考慮：如果不是這樣的話，那又可能是什么？也被稱為“否定假設(shè)法”。[7]這也是進(jìn)行變式的一種思路。教師指導(dǎo)學(xué)生在已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題基礎(chǔ)上，提出變化的或拓展的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的一種可行方式。

3.反思。

教材所呈現(xiàn)的例題、習(xí)題多數(shù)都是典型問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行積極的反思。正所謂溫故知新，反思有時(shí)也是創(chuàng)新的來(lái)源。數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，可以帶著學(xué)生進(jìn)行解題反思，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納、拓展與發(fā)現(xiàn)，在反思中學(xué)會(huì)創(chuàng)新，從多角度對(duì)已解決的問(wèn)題進(jìn)行發(fā)散思考，這也是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題的一種方式。問(wèn)題解決后的回顧與反思，不僅可以提高解決問(wèn)題的能力，還可為后續(xù)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題做準(zhǔn)備。

三、思考與建議

基于上述對(duì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的內(nèi)涵、重要性及常用方式的分析，結(jié)合當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的現(xiàn)狀，就教學(xué)實(shí)踐中存在的問(wèn)題提出一些思考與建議。

1.將發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。

不少數(shù)學(xué)教師都嘗試通過(guò)開(kāi)展探究性活動(dòng)、合作學(xué)習(xí)等方式，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。例如，數(shù)學(xué)教師常會(huì)創(chuàng)設(shè)情境，并以問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，以此引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的過(guò)程中，教師適當(dāng)進(jìn)行啟發(fā)性提示，為學(xué)生搭建腳手架，這是值得提倡的。然而，如果教師的提問(wèn)指向性太明顯，或者提示得過(guò)細(xì)，就會(huì)限制學(xué)生的思維，或許從表面上看學(xué)生也按照教師的要求“提出”了問(wèn)題，但這并不是真正的學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題應(yīng)有的形態(tài)。也有的教師雖然鼓勵(lì)學(xué)生自主地從情境中發(fā)現(xiàn)、提出想要研究的問(wèn)題，也給了學(xué)生充分表達(dá)自己想法的空間，但卻未給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)姆答?，并沒(méi)有認(rèn)真思考學(xué)生提出的問(wèn)題，仍然按照教學(xué)設(shè)計(jì)中預(yù)設(shè)的問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)。這種情況下，所謂的學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題只是流于形式，恐怕難以取得預(yù)期的教學(xué)效果。

為切實(shí)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)留給學(xué)生充分的時(shí)間、空間去思考，鼓勵(lì)學(xué)生提出自己感興趣、想研究的問(wèn)題，并且充分利用學(xué)生提出的問(wèn)題資源，引導(dǎo)學(xué)生積極探索，發(fā)揮學(xué)生主體性，將發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。

2.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的好問(wèn)題。

希爾伯特曾說(shuō)“數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的靈魂”。問(wèn)題的提出是獲取新數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題作為創(chuàng)新的第一步具有重要價(jià)值，這是不爭(zhēng)的事實(shí)。然而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生有時(shí)會(huì)提出非數(shù)學(xué)的、無(wú)價(jià)值的不太理想的問(wèn)題，甚至是不構(gòu)成問(wèn)題的表述。試想若提出的問(wèn)題本身就不恰當(dāng)，在不合理題設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的問(wèn)題解決、得到的結(jié)論，也就都失去了意義。因此，學(xué)生不僅要能發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，更要能發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的好問(wèn)題，問(wèn)題的明確性、現(xiàn)實(shí)性、數(shù)學(xué)性等都是值得關(guān)注的重要指標(biāo)。學(xué)生所提出的問(wèn)題應(yīng)有一定思維含量與研究?jī)r(jià)值，但又不能太過(guò)深?yuàn)W。太容易了，沒(méi)有探究的基礎(chǔ)；太困難了，探究就無(wú)法進(jìn)行。[8]

已有研究從不同角度探索了促進(jìn)高質(zhì)量問(wèn)題提出的策略，如探索問(wèn)題情境的機(jī)會(huì)以及解決類似問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生提出高質(zhì)量的問(wèn)題，運(yùn)用證明、逆向思考、特殊化、一般化和推廣等“基本數(shù)學(xué)過(guò)程”由已知問(wèn)題提出新的問(wèn)題等。[9]此外，教師對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題的態(tài)度與處理方式，也會(huì)影響學(xué)生提問(wèn)的水平。數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時(shí)對(duì)學(xué)生問(wèn)題進(jìn)行分析、篩選，給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)姆答?，幫助學(xué)生理解何為高質(zhì)量的好問(wèn)題，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。

3.積極創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境。

問(wèn)題源于情境，歷史上諸多教育家都提倡過(guò)問(wèn)題情境教學(xué)。最早可追溯到蘇格拉底的問(wèn)題教學(xué)法或談話法；杜威也曾提倡過(guò)問(wèn)題教學(xué)，其核心就是問(wèn)題情境；布魯納提出的發(fā)現(xiàn)法也主張創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，就是呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪思維，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚醒強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。[10]創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫秤兄趯W(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的重要策略。

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，不僅要有利于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，也要關(guān)注情境的現(xiàn)實(shí)性與數(shù)學(xué)性。教師在創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活相關(guān)的問(wèn)題情境時(shí)，必須注意情境的真實(shí)性，不能出現(xiàn)常識(shí)性錯(cuò)誤，不可違背事實(shí)。從實(shí)際情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常需進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化與假設(shè)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷這一提出問(wèn)題的重要環(huán)節(jié)，而不是將已經(jīng)簡(jiǎn)化得不符合現(xiàn)實(shí)的情境直接展現(xiàn)給學(xué)生，否則反而會(huì)影響學(xué)生探究的積極性。

4.營(yíng)造和諧氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑提問(wèn)。

縱觀中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，會(huì)發(fā)現(xiàn)小學(xué)生常常很積極地回答教師提出的問(wèn)題，并且很渴望有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的想法。而隨著年齡增長(zhǎng)，中學(xué)生尤其是高中生，似乎不太愿意在課堂上舉手發(fā)言，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的頻率也有所降低。學(xué)生不愿提問(wèn)、提不出問(wèn)題，其實(shí)與教師的教學(xué)方式和課堂氛圍有很大關(guān)系。美國(guó)心理學(xué)家羅杰斯曾指出，一個(gè)人的創(chuàng)造力只有在感覺(jué)到“心理安全”和“心理自由”的條件下，才能獲得最優(yōu)表現(xiàn)和發(fā)展。所以，教師應(yīng)該營(yíng)造和諧安全的課堂氛圍，給予學(xué)生自由的思考空間，讓學(xué)生在融洽的師生關(guān)系中，敢于、樂(lè)于表達(dá)自己的想法，提出感興趣的問(wèn)題，創(chuàng)造性地發(fā)揮潛能。

有些學(xué)生會(huì)認(rèn)為提出問(wèn)題是教師的事，教師提的、書(shū)上給的就一定是好問(wèn)題，這些錯(cuò)誤觀念都會(huì)阻礙學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。為破除“唯書(shū)”“唯師”的思維定勢(shì)，教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生思考、質(zhì)疑，多給學(xué)生提問(wèn)的機(jī)會(huì)。即使有時(shí)學(xué)生提出的問(wèn)題可能不太理想，但學(xué)生提問(wèn)的行為還是值得鼓勵(lì)的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更有價(jià)值的問(wèn)題，而不是直接回避或否定學(xué)生的問(wèn)題，否則會(huì)打擊學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的積極性與自信心。

5.教師自身提出和解決問(wèn)題的能力也有待提高。

“要給學(xué)生一杯水，教師得有一桶水?！睘榱伺囵B(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，教師也應(yīng)注重提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、問(wèn)題意識(shí)與創(chuàng)新思維能力，這樣才能給予學(xué)生更有效的幫助。模仿是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種重要方式，這同樣也適用于對(duì)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。教師可以向?qū)W生示范發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的思維過(guò)程，讓學(xué)生在模仿中反思與創(chuàng)新，逐漸學(xué)會(huì)如何發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題。教師提高自身提出和解決問(wèn)題的能力，也有助于更準(zhǔn)確地判斷學(xué)生的困難所在，更科學(xué)合理地應(yīng)對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題。

從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題始終是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。本文對(duì)如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題進(jìn)行了理性思考，希望數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中更加重視培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，進(jìn)行更有效的數(shù)學(xué)教學(xué)。

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