用“問題提出”測(cè)量學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就

謝圣英　何煜煊

【摘 要】“問題提出”受到研究者越來越多的關(guān)注，問題提出能力與問題解決能力密切相關(guān)。通過學(xué)生進(jìn)行問題提出來測(cè)量和評(píng)價(jià)他們的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有一定的研究基礎(chǔ)和可行性。教師可以通過學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題來了解他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解及掌握情況，可以把它作為一種有益的補(bǔ)充，融入日常的測(cè)評(píng)中。

【關(guān)鍵詞】問題提出；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；學(xué)業(yè)測(cè)量

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2018）67-0016-05

【作者簡(jiǎn)介】1.謝圣英，湖南師范大學(xué)（長(zhǎng)沙，410081）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，博士；2.何煜煊，廣東省珠海市橫琴新區(qū)第一中學(xué)（廣東珠海，519031）教師，二級(jí)教師。

近年來，“問題提出”越來越受到研究者的關(guān)注，其研究成果也不斷地推動(dòng)教師將問題提出活動(dòng)更多地運(yùn)用到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。[1]目前，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就幾乎全是通過讓學(xué)生解決問題（俗稱解題）來測(cè)量的。但是，研究者們發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題解決成功與否和他們問題提出能力是聯(lián)系在一起的[2]-[4]，讓學(xué)生提出問題甚至可以提供更多的關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有用信息。[5]當(dāng)然，需要指出的是，我們這里的“問題提出”是指“學(xué)生能夠根據(jù)給定的問題情境提出問題，而對(duì)提問者是否能解答此題不做特別的要求”。

一、問題提出能力與問題解決能力密切相關(guān)

基爾帕特里克認(rèn)為問題提出者所提問題的質(zhì)量，在一定程度上可以表征其相應(yīng)的問題解決能力，并對(duì)此做了理論性論證[6]。另外一些研究者則開展了一系列實(shí)證研究來探究問題提出能力與問題解決能力之間的關(guān)系。如伊勒頓（Ellerton）發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)水平高的學(xué)生所提出的問題相對(duì)水平低的學(xué)生，運(yùn)算更為復(fù)雜，涉及的數(shù)系更廣泛，解答步驟更多；同時(shí)，他還發(fā)現(xiàn)高水平的學(xué)生在提出問題和解決問題兩個(gè)方面都優(yōu)于低水平的學(xué)生。[7]類似地，西爾弗和蔡金法他們發(fā)現(xiàn)初中生在問題解決上表現(xiàn)較為出色的學(xué)生能夠提出更多、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。[4]

如果說上述發(fā)現(xiàn)僅是針對(duì)某一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的學(xué)生，那么蔡金法和斯蒂芬則在他們的研究中加入了跨文化元素。[8]他們選取了98名美國(guó)六年級(jí)學(xué)生和155名中國(guó)六年級(jí)學(xué)生，設(shè)置了3套情境相同的問題提出和問題解決測(cè)試任務(wù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)中美學(xué)生都能夠提出多種多樣的問題，美國(guó)學(xué)生比中國(guó)學(xué)生能夠提出更多的拓展型問題。與美國(guó)學(xué)生相比，中國(guó)學(xué)生的問題解決和問題提出之間聯(lián)系更密切。此外，蔡金法等還從另一個(gè)視角研究了問題提出和問題解決的相關(guān)性，即通過測(cè)試問題提出能力來考察不同課程對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響；研究者也設(shè)置了兩套數(shù)學(xué)情境相同的問題提出和問題解決測(cè)試任務(wù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)不同版本課程的學(xué)生，答題正確率越高，越能夠提出有效的問題，反之亦是。[3]

以上這些研究表明，不同國(guó)家和地區(qū)、不同數(shù)學(xué)課程下的學(xué)習(xí)者，他們的數(shù)學(xué)問題提出能力與問題解決能力之間都存在著密切的聯(lián)系。通過測(cè)量學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力來考察他們的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就具有一定的科學(xué)研究基礎(chǔ)。

二、用問題提出測(cè)量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就的優(yōu)勢(shì)

數(shù)學(xué)問題提出是一個(gè)特別有用的工具，可以用來了解那些解決常規(guī)問題快速而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)天才學(xué)生。因?yàn)橥ㄟ^研究他們提出問題的細(xì)節(jié)和風(fēng)格，可以更清晰地知曉學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和思考。[7]數(shù)學(xué)問題提出的難度和新奇程度是沒有限制的，沒有上限也沒有下限。同樣的情境下，數(shù)學(xué)天才學(xué)生能提出數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)薄弱的學(xué)生也能提出數(shù)學(xué)問題，這也正是數(shù)學(xué)問題提出的優(yōu)勢(shì)所在。通過它，我們能了解數(shù)學(xué)問題解決所不能了解到的學(xué)生思維狀況。

例如，科茨歐珀羅斯和科迪利用問題提出作為一種形成性評(píng)價(jià)來測(cè)量7年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)步情況。此外，問題提出給予學(xué)生一種繪制自己學(xué)習(xí)路徑的感覺。[5]學(xué)生提出的問題與他們即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容聯(lián)系起來，學(xué)生可以獲得更多的學(xué)習(xí)樂趣和動(dòng)力。

數(shù)學(xué)問題提出同樣可以用來考察學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，包括判斷數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和理解程度。有研究者讓學(xué)生完成3道問題提出任務(wù)以及50道改編自《美國(guó)國(guó)家教育進(jìn)展評(píng)估（NAEP）》的數(shù)學(xué)題目作為數(shù)學(xué)測(cè)試。他們發(fā)現(xiàn)上海和美國(guó)微積分先修的學(xué)生都沒有提出多少概率問題，因?yàn)檫@兩部分學(xué)生都還沒有學(xué)概率數(shù)學(xué)知識(shí)。上海組學(xué)生才學(xué)完數(shù)列，所以他們覺得第三個(gè)和數(shù)列相關(guān)的問題提出任務(wù)比較容易。這表明學(xué)生的數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)會(huì)影響到他們提出問題包含的數(shù)學(xué)思想的多樣性。如果沒有學(xué)過相關(guān)數(shù)學(xué)概念，學(xué)生通常就不能提出相關(guān)的問題。[9]提卡和荷西培索瓦曾用問題提出作為診斷工具來測(cè)量職前小學(xué)教師的“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容掌握情況，發(fā)現(xiàn)他們對(duì)“分?jǐn)?shù)”概念的理解有瑕疵，對(duì)一些容易引起混淆的地方處理不當(dāng)。[10]

三、用問題提出測(cè)量數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的案例

下面我們分享一個(gè)用問題提出來評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)業(yè)成就的具體案例——用問題提出測(cè)量課程對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響。[3]

1.任務(wù)設(shè)置。

該案例設(shè)計(jì)了兩項(xiàng)任務(wù)——方程組任務(wù)和圖表任務(wù)，每一項(xiàng)任務(wù)都包含問題提出和問題解決兩個(gè)部分。第一項(xiàng)方程組任務(wù)中，問題解決部分呈現(xiàn)了一個(gè)二元一次方程組，兩個(gè)方程式均為標(biāo)準(zhǔn)形式Ax+By=C，學(xué)生可以用任何方式來解答該方程組；問題提出部分要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)生活情境的問題，且該問題可以用上述給定的方程組來解答。

（1）解下列方程組。

x+y=85x+7y=50

答案：x= y=

（2）詳細(xì)寫出一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)生活情境的問題，要求該問題可用上述方程組解答。

第二項(xiàng)圖表任務(wù)中，問題解決部分呈現(xiàn)了一個(gè)帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系，并且坐標(biāo)系中有一條射線，要求學(xué)生基于所給的圖形寫出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式（限定條件：x≥0）；在問題提出部分，學(xué)生需要設(shè)計(jì)一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)生活情境的問題，且該問題可以用上述給定的圖形來表示。

根據(jù)右圖1回答問題。

（1）寫出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式（限定條件：x≥0）。

（2）詳細(xì)寫出一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)生活的情境，并且該情境可以用上圖表示。

2.數(shù)據(jù)編碼。

研究者將學(xué)生所提出的問題從5個(gè)維度來考察（見表1）：學(xué)生是否努力進(jìn)行問題提出，其所提問題的有效性，是否基于現(xiàn)實(shí)生活情境，是否反映線性關(guān)系，以及所提問題中符合所提供情境的條件個(gè)數(shù)（具體實(shí)例見表2）。在對(duì)問題解決任務(wù)進(jìn)行分析時(shí)，只關(guān)注于解答的正確與否。

表2 問題提出中符合所提供情境的條件個(gè)數(shù)的具體實(shí)例

此案例通過測(cè)量被試學(xué)生的問題提出能力來考察他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在問題提出上有出色表現(xiàn)的學(xué)生同樣具有較強(qiáng)的問題解決能力。而另一方面，從學(xué)生的問題提出能力在一定程度上可以反映他們的知識(shí)技能的掌握程度。

方程組任務(wù)考察了學(xué)生對(duì)方程式中變量概念的理解；學(xué)生需要理解當(dāng)方程式中的變量取值發(fā)生改變時(shí)，因變量取值會(huì)跟著有所變化，這即自變量與因變量之間的一種函數(shù)關(guān)系。此外，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)理解每個(gè)方程中變量的單位之間的關(guān)系。在圖表任務(wù)中，學(xué)生的程序性和概念性知識(shí)得以考察。要求學(xué)生找到圖形的方程，然后提出一個(gè)可以由這個(gè)圖形表示，有現(xiàn)實(shí)生活背景的問題。具體來說，它測(cè)量了學(xué)生對(duì)線性方程和圖象兩者之間關(guān)系的理解；學(xué)生如何在所提的問題中展現(xiàn)出當(dāng)一條直線指向右上方時(shí)，越往右，則數(shù)值越大；還有學(xué)生如何理解y軸上的截距在現(xiàn)實(shí)生活中的含義，如何理解成比例、線性非成比例以及非線性三者在現(xiàn)實(shí)生活中的含義；在x與y之間的函數(shù)關(guān)系上，要求學(xué)生懂得x與y并非簡(jiǎn)單地作為占位符使用，它們之間在數(shù)量上具體地聯(lián)系在一起。總之，通過圖表任務(wù)，學(xué)生對(duì)函數(shù)中變量的理解得以充分的考察。

本案例中，美國(guó)11年級(jí)學(xué)生問題提出任務(wù)的回答情況如表3，表中數(shù)據(jù)是各種特征下學(xué)生人數(shù)的百分比。圖表任務(wù)中，大約三分之二的學(xué)生嘗試提出問題，而方程組任務(wù)中，只有大約三分之一的學(xué)生嘗試提出問題。兩個(gè)任務(wù)都只有小部分學(xué)生提出了有效問題。提出至少符合一個(gè)條件的問題的學(xué)生不足20%。研究者發(fā)現(xiàn)那些能夠提出基于生活情境的問題，能在圖表任務(wù)中提出反映線性關(guān)系問題的學(xué)生，通常也在問題解決中表現(xiàn)優(yōu)異。整體上看，學(xué)生提出問題的水平不高，也與他們問題提出的經(jīng)驗(yàn)不足有關(guān)。[10]這是研究者使用本案例中的任務(wù)，選取美國(guó)學(xué)生作為樣本測(cè)量出的結(jié)果。如果對(duì)中國(guó)學(xué)生進(jìn)行類似的問題提出測(cè)量，情況是否類似呢？我們期待一線教師可以結(jié)合不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行問題提出的任務(wù)設(shè)計(jì)，做一些相關(guān)的問題提出的測(cè)量研究和開發(fā)。

四、反思與展望

用問題提出測(cè)量學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就擁有很多優(yōu)勢(shì)，為何在中國(guó)還幾乎沒有實(shí)踐過，即便在國(guó)外，也大多只用于評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力？問題提出目前之所以沒能成為一種較為通用的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就評(píng)價(jià)方式，的確是由于它還有一些困難亟待克服。其中一個(gè)主要困難在于它的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)較難統(tǒng)一。問題提出不同于問題解決的測(cè)量，后者只需要對(duì)問題解答的過程和結(jié)果正確與否給予判斷，而對(duì)問題提出的測(cè)量需要對(duì)所提的問題進(jìn)行質(zhì)性分析。迄今為止，我們?nèi)詻]有一套得到大家普遍公認(rèn)的客觀評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。有學(xué)者強(qiáng)調(diào)需要為學(xué)生制定審美標(biāo)準(zhǔn)（aesthetic criteria）來判斷所提問題的數(shù)學(xué)質(zhì)量。開發(fā)這樣的標(biāo)準(zhǔn)和傾向并運(yùn)用它們，這是問題提出可以測(cè)量學(xué)習(xí)成果的經(jīng)驗(yàn)先決條件之一。[11]

另一個(gè)原因在于，用問題提出測(cè)量學(xué)生的學(xué)業(yè)成就的設(shè)計(jì)較為專業(yè)和復(fù)雜。首先要設(shè)計(jì)一系列的任務(wù)情境，其中要包含讓提問者進(jìn)行問題提出所需的素材，這些任務(wù)情境必須涵蓋所要測(cè)量的目標(biāo)和數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容體系。然后再加上評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)，包括編碼分析。只有完成了這兩項(xiàng)任務(wù)，才能對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的測(cè)量和評(píng)價(jià)。多數(shù)已有的編碼都偏向質(zhì)性化方法。譬如，前文所提供的案例中，對(duì)被試學(xué)生所提出的問題編碼時(shí)，研究者首先將問題按照數(shù)學(xué)問題與非數(shù)學(xué)（不相關(guān)）問題進(jìn)行分類，主要從提出的問題是否與所給定的情境相符的視角出發(fā)展開分析，這就是更偏于質(zhì)性研究的方法。此外，大多數(shù)研究者為了深入了解問題提出者的思維過程，會(huì)在研究中采用訪談法。由于訪談法相對(duì)更費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且對(duì)使用者的要求也比較高，所以，如果要將問題提出作為一種評(píng)價(jià)方式，廣泛地運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，我們還需要克服一些困難。比如，進(jìn)一步簡(jiǎn)化問題的編碼，教師也需進(jìn)一步提升自己的實(shí)際操作能力。

總之，用問題提出能力來測(cè)量學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就是可行的。研究者和教師可以通過學(xué)生所提出的數(shù)學(xué)問題來了解他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解及掌握情況。現(xiàn)階段，雖然與問題提出有關(guān)的研究多數(shù)立足于研究者的角度，其中的任務(wù)設(shè)置與數(shù)據(jù)編碼較多也僅局限于研究領(lǐng)域，但問題提出仍不失為一線教師可以借鑒的一種有效的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就評(píng)價(jià)方式。教師可以用問題提出考察學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的情況，把它作為一種有益的補(bǔ)充，融入日常的測(cè)評(píng)中。作為一線教師，需要思考如何讓學(xué)生積極地參與到問題提出的活動(dòng)中，作為引領(lǐng)者的教師如何設(shè)計(jì)此類活動(dòng)，相應(yīng)的課堂應(yīng)該是怎樣，以及應(yīng)該制定怎樣的標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)價(jià)學(xué)生的問題提出能力。這些也是今后問題提出相關(guān)研究需要進(jìn)一步關(guān)注和解決的重要論題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]LEUNG S K S. Teachers implementing mathematical problem posing in the classroom： challenges and strategies[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[2]CAI J， HWANG S. Generalized and generative thinking in U.S. And Chinese students mathematical problem solving and problem posing[J]. Journal of Mathematical Behavior， 2002（04）.

[3]CAI J， MOYER J C， WANG N， HWANG S， NIE B， GARBER T. Mathematical problem posing as a measure of curricular effect on students learning[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[4]SILVER E A， CAI J. An analysis of arithmetic problem posing by middle school students[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1996（05）.

[5]KOTSOPOULOS D， CORDY M. Investigating imagination as a cognitive space for learning mathematics[J]. Educational Studies in Mathematics， 2009（03）.

[6]KILPATRICK J. Formulating the problem： Where do good problems come from？ In SCHOENFELD A H （Ed.）， Cognitive Science and Mathematics Education[M]. Hillsdale， NJ： Lawrence Erlbaum Associates，1987.

[7]ELLERTON N F. Childrens made up mathematics problems： A new perspective on talented mathematicians[J]. Educational Studies in Mathematics， 1986（03）.

[8]CAI J， HWANG S. Generalized and generative thinking in U. S. And Chinese students mathematical problem solving and problem posing[J]. Journal of Mathematical Behavior， 2002（04）.

[9]VAN HARPEN X Y ， PRESMEG N C. An investigation of relationships between students mathematical problem-posing abilities and their mathematical content knowledge[J]. Education Studies in Mathematics， 2013（01）.

[10]TICH M， HOPESOV A. Developing teachers subject didactic competence through problem posing[J]. Educational Studies in Mathematics， 2013（01）.

[11]CRESPO S， SINCLAIR N. What makes a problem mathematically interesting？：Inviting prospective teachers to pose better problems[J]. Journal of Mathematics Teacher Education， 2008（05）.