斯托克斯矢量和穆勒矩陣在偏振光中的應(yīng)用研究

何啟浩

（西南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，四川 成都 610041）

1941年物理學(xué)家瓊斯（R.C.Jones）提出了用一個(gè)2×1列矩陣來(lái)表述一任意完全偏振光的光矢量的兩個(gè)分量，該列矩陣也稱為瓊斯矢量.一光學(xué)元件（偏振器等）可用一個(gè)2×2矩陣（稱為瓊斯矩陣）來(lái)表述.用瓊斯矩陣來(lái)表述光波的任意偏振態(tài)及其變換與疊加，可以比較方便地計(jì)算得出任意完全偏振光通過(guò)不同組合的偏振光學(xué)器件后出射光的各種偏振態(tài)[1-5}.但是，對(duì)于自然光和部分偏振光卻不能用瓊斯矩陣（矢量）來(lái)表述，這樣瓊斯矢量和瓊斯矩陣的應(yīng)用受到一定的限制.物理學(xué)家斯托克斯（G.G.Stokes）提出了一束光波的強(qiáng)度和偏振態(tài)可用四個(gè)參量（稱為斯托克斯參量）來(lái)表述[6-7]，對(duì)于完全偏振光，自然光和部分偏振光都可以用斯托克斯參量（也稱斯托克斯矢量）來(lái)表述.物理學(xué)家穆勒（Mueller）提出可用一個(gè)4×4矩陣來(lái)表述一光學(xué)元件（偏振器等）[6-7]，該矩陣也稱為穆勒矩陣.

1 完全偏振光和自然光部分偏振光的斯托克斯矢量表示方法

物理學(xué)家斯托克斯提出一束光波的偏振態(tài)和強(qiáng)度可用4個(gè)參量來(lái)表述，這4個(gè)參量構(gòu)成一個(gè)四維矢量S（稱為斯托克斯矢量）[6-7]，

與瓊斯矢量不同，斯托克斯四個(gè)參量（矢量）都是光強(qiáng)的時(shí)間平均值，可以完全確定任意完全偏振光、自然光和部分偏振光.

1.1 完全偏振光的歸一化斯托克斯矢量

線偏振光[6-7]:水平方向[1 1 0 0]；垂直方向[1 －1 0 0]；±45°方向[1 0 ±1 0]； 一般 [1 cos2α sin2α 0].

圓偏振光[6-7]:右旋圓偏振光[1 0 0 1]；左旋圓偏振光[1 0 0 －1].

1.2 自然光和部分偏振光的歸一化斯托克斯矢量

自然光 [1 0 0 0][6-7].

部分偏振光:水平方向占優(yōu)[2 1 0 0]；垂直方向占優(yōu)[2 －1 0 0]；±45°方向占優(yōu)[2 0 ±1 0]；一般[2 cos2α sin2α 0].

瓊斯矢量是二維矢量，而斯托克斯矢量是四維矢量，在運(yùn)算方面雖然使用瓊斯矢量方便一些，但是瓊斯矢量?jī)H能表述完全偏振光:而任意完全偏振光，自然光和部分偏振光都能用斯托克斯矢量表述，這樣，使用斯托克斯矢量運(yùn)算更全面一些.這正是斯托克斯矢量表示方法的特點(diǎn).

2 偏振光學(xué)器件的穆勒矩陣表示方法

物理學(xué)家穆勒（Mueller）提出偏振光學(xué)器件可由

4×4矩陣M來(lái)表述，每一種偏振器對(duì)偏振光的變換特性都可用一個(gè)穆勒矩陣來(lái)表示.

2.1 線偏振器和1/4波片的穆勒矩陣[6-7]

2.2 圓偏振器的穆勒矩陣

3 斯托克斯矢量和穆勒矩陣的應(yīng)用實(shí)例

3.1 斯托克斯矢量的應(yīng)用

由于斯托克斯矢量可以表示為4X1的列矩陣或1X4的行矩陣，它在描述完全偏振光，自然光和部分偏振光比較方便.例如，部分偏振光可由自然光疊加某方向振動(dòng)占優(yōu)的線偏振光而合成.這樣，水平方向占優(yōu)的部分偏振光的斯托克斯矢量可由自然光和水平方向的線偏振光的斯托克斯矢量相疊加而合成（見（1）式）；45°方向占優(yōu)的部分偏振光的斯托克斯矢量可由自然光和45°方向線偏振光的斯托克斯矢量相疊加而合成（見（2）式）.垂直方向占優(yōu)的部分偏振光和一般的部分偏振光的斯托克斯矢量疊加方法與上述一樣（見 1.2）.

3.2 穆勒矩陣的應(yīng)用

一束自然光先后通過(guò)一個(gè)透光軸為45°線偏振器和一個(gè)快軸在垂直方向的1/4波片，則:

為一強(qiáng)度減半的右旋圓偏振光；而

為右旋圓偏振器的穆勒矩陣（見2.2）.

一束水平方向占優(yōu)的部分偏振光相繼通過(guò)一個(gè)透光軸為水平方向的線偏振器、一個(gè)快軸沿45°方向的1/4波片和一個(gè)左旋圓偏振器，出射光為:即出射光為強(qiáng)度為3/4的左旋圓偏振光.

一束右旋圓偏光相繼通過(guò)一個(gè)透光軸為垂直方向的線偏振器；一個(gè)快軸與x軸夾—45°的1/4波片；一個(gè)透光軸與x軸夾—45°的線偏振器；一個(gè)90o的右旋圓延遲器[7]，出射光為:

強(qiáng)為1/4與x軸夾45°的線偏振光.

4 完全偏振光的斯托克斯矢量與瓊斯矢量的變換關(guān)系

設(shè)一個(gè)完全偏振光為:

它的斯托克斯矢量為:

它的瓊斯矢量可寫為:

其瓊斯矢量的共軛矢量為:

為了變換計(jì)算方便，引入四個(gè)矩陣（叫做夾心矩陣）[6]，

則，這四個(gè)斯托克斯參量與瓊斯矢量的關(guān)系可以表示為:

用下例來(lái)驗(yàn)證上面的變換關(guān)系式:

一束左旋圓偏振光，其瓊斯矢量[8-14]和其共軛矢量為:；則左旋圓偏振光的斯托克斯參量分別為:

5 結(jié)束語(yǔ)

光的各種偏振態(tài)使光增加了一個(gè)可被調(diào)控的自由度和信息.可以通過(guò)疊加兩個(gè)及以上適當(dāng)?shù)钠窆庖约斑m當(dāng)?shù)慕M合各種偏振光學(xué)器件與光路設(shè)計(jì)，可進(jìn)一步按設(shè)計(jì)的要求去改變光的偏振態(tài).因此，不同偏振光的疊加的計(jì)算，以及計(jì)算光通過(guò)不同的偏振光學(xué)器件后的偏振態(tài)是應(yīng)用中的一個(gè)重要的前題.瓊斯矢量是二維矢量，而斯托克斯矢量是四維矢量，在運(yùn)算方面使用瓊斯矢量便利一些.但是瓊斯矢量只能表述完全偏振光，而斯托克斯矢量對(duì)于完全偏振光、自然光和部分偏振光都能表述.使用斯托克斯矢量運(yùn)算更全面，這是斯托克斯矢量表示方法的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).對(duì)于計(jì)算自然光、部分偏振光和不同完全偏振光的疊加與變換時(shí)，以及計(jì)算自然光、部分偏振光和不同完全偏振光通過(guò)由不同偏振光學(xué)器件組成的復(fù)雜系統(tǒng)后出射光的偏振態(tài)時(shí)，筆者認(rèn)為可以先運(yùn)用斯托克斯矢量表示法計(jì)算，再運(yùn)用瓊斯矩陣（矢量）計(jì)算，這樣既可以處理自然光、部分偏振光和各種完全偏振光，又在計(jì)算方面便利一些.當(dāng)然，這涉及到斯托克斯矢量與瓊斯矢量的變換運(yùn)算，本文只討論了由瓊斯矢量變換到斯托克斯矢量的方法，而由斯托克斯矢量變換到瓊斯矢量的方法有待于進(jìn)一步的探討和研究.