圓錐曲線一類定值問題的探究*

廣東省深圳市龍城高級中學(518172) 郭朋貴 李 丹

2018年深圳市高考模擬試題命題比賽數(shù)學科復賽試題第3題如下：下面提供的是2017全國高考卷(新課標1理科)第20題題目：

(1)求C的方程;

(2)設直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明：l過定點.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)在雙曲線中也有與之相關結論.請編擬一道在雙曲線中關于定值問題的試題,編擬的試題應同時滿足以下三個要求：

(1)試題至少要有兩小問,第(1)問是求軌跡方程問題,且求得的軌跡方程為雙曲線(2)已知條件中需給出點P和點Q的坐標,直線l是過定點Q的動直線,A、B是直線l與雙曲線C的兩交點;(3)證明結論是直線PA與PB的斜率之和為定值(定值不能為0).

筆者參加了此次比賽,在尋找相應定點定值時遇到了困難,相關的點到底在哪里呢?定值是多少呢?筆者賽后進行了認真探索,得到如下結論：

結論4、結論5稍顯復雜,且與結論6略有不同.事實上,它們是和諧統(tǒng)一的.即過定點P(0,t)(t/=0)的直線l與圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)相交于A、B兩點,則在圓錐曲線上存在點Q(m,n),使得直線QA與QB的斜率之和為定值.