一道2017年初賽橢圓試題的探究與思考*

北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

1、試題

題目(2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆初賽)已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的上下兩個端點分別為A,B.以A為圓心,橢圓長半軸長為半徑的圓與橢圓交于C,D兩點,CD的中點的縱坐標(biāo)為.

(I)求橢圓的方程;

(II)直線l過橢圓的右焦點F且不垂直于x軸,l與橢圓交于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,問直線MN′是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過定點,求出這個定點;否則,說明理由.

試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,考查了學(xué)生運算求解以及分析問題與解決問題的能力.試題(II)問解法靈活,內(nèi)涵豐富,是一道具有研究性學(xué)習(xí)價值的好題.

2、解法探究

解得c=1,所以,所以橢圓的方程為.

(II)思路1以M,N為研究對象,先設(shè)出它們的坐標(biāo)以及直線l的方程,然后結(jié)合已知條件表示出直線MN′的方程,令y=0,接下來通過消元并借助韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

解法1設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則N′(x2,-y2).因為F(1,0),所以設(shè)l的方程為x=ty+1,與橢圓的方程聯(lián)立,得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以

直線MN′的方程為,令y=0,得

將①代入上式,得x=4,所以直線MN′經(jīng)過定點(4,0).

思路2以M,N′為研究對象,先設(shè)出它們的坐標(biāo)以及直線MN′的方程,然后與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立,利用M,F,N三點共線得到坐標(biāo)之間的關(guān)系,接下來通過消元并借助韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

解法2設(shè)M(x1,y1),N′(x2,y2),則N(x2,-y2).設(shè)直線MN′的方程為x=ty+m,與橢圓的方程聯(lián)立,得,

因為M,F,N三點共線,所以,即,所以

將②代入上式,得

解得m=4,所以直線MN′經(jīng)過定點(4,0).

思路3由于橢圓經(jīng)過坐標(biāo)伸縮變換可以變?yōu)閳A,而圓有著很多幾何性質(zhì),因此借助圓利用平面幾何知識進(jìn)行解決,可以避免繁瑣的代數(shù)運算,使解題過程得到簡化.

解法3在伸縮變換下,橢圓變成了單位圓分別為O′,M′,N′,N′′,F′,則.

圖1

如圖1,連接O′M′,O′N′,O′N′′,F′N′′, 設(shè)直線M′N′′與x′軸交于點P,因為弦N′N′′⊥x′軸,所以x′軸是N′N′′的中垂線,所以∠O′N′F′=∠O′N′′F′.

因為O′N′=O′M′,所以∠O′N′F′=∠O′M′F′,即∠O′N′′F′=∠O′M′F′, 故O′,F′,M′,N′′四點共圓,所以∠O′F′N′′=∠O′M′N′′. 因為O′M′=O′N′′,所以∠O′M′N′′=∠O′N′′M′,即∠O′F′N′′=∠O′N′′M′,所以△O′F′N′′～△O′N′′P,即,故|O′F′|·|O′P|=|O′N′′|2=1. 因為,所以|O′P|=2,即直線M′N′′與x′軸交于定點 (2,0),故直線MN′經(jīng)過定點(4,0).

3、思考

把本題一般化,得到

結(jié)論已知橢圓,與x軸不垂直的直線l過定點(c,0)(其中),且與橢圓交于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,則直線MN′經(jīng)過定點.

在研究命題時,我們通常還要關(guān)注它的逆命題,那么這個結(jié)論的逆命題成立嗎?對于這個問題,筆者進(jìn)行了探究,發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的.

逆命題已知橢圓,與x軸不垂直的直線l交橢圓于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,且直線MN′經(jīng)過定點,則直線l過定點(c,0).

證明設(shè),則N(x2,-y2).設(shè)直線MN′的方程為與橢圓的方程聯(lián)立,得,所以

直線MN的方程為,令y=0,得

將③代入上式,得x=c,所以直線MN經(jīng)過定點(c,0).

由此,得到了下面的命題.

命題1已知橢圓,與x軸不垂直的直線l交橢圓于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,則直線l過定點(c,0)(其中)的充要條件是直線MN′經(jīng)過定點.

由焦點進(jìn)一步聯(lián)想類焦點,可得命題2.

命題2已知橢圓,與x軸不垂直的直線l交橢圓于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,則直線l過定點(m,0)(其中)的充要條件是直線MN′經(jīng)過定點.

證明(必要性)設(shè),則N′(x2,-y2).設(shè)l的方程為x=ty+m,與橢圓的方程聯(lián)立,得

所以

直線MN′的方程為,令y=0,得

(充分性)設(shè)M(x1,y1),N′(x2,y2),則N(x2,-y2).設(shè)直線MN′的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立,得

所以

直線MN的方程為,令y=0,得

將⑤代入,得x=m,所以直線l經(jīng)過定點(m,0).

由橢圓類比雙曲線、拋物線,可得另外兩個命題.

命題3已知雙曲線,與x軸不垂直的直線l交雙曲線于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,則直線l過定點(m,0)(其中)的充要條件是直線MN′經(jīng)過定點.

命題4已知拋物線y2=2px(p＞0),與x軸不垂直的直線l交拋物線于M,N兩點,設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N′,則直線l過定點(m,0)(其中)的充要條件是直線MN′經(jīng)過定點(-m,0).

以上通過一道初賽試題探究了圓錐曲線一類定點性質(zhì),在解題過程中,要透過現(xiàn)象看本質(zhì),挖掘題目內(nèi)涵,嘗試從不同角度探究與拓展,總結(jié)規(guī)律,從而提高學(xué)習(xí)效率.