對(duì)2017年全國I卷理科第15題的思考*

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(350108) 蘇藝偉

試題(2017年全國I卷理科第15題)已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A.以A為圓心,b為半徑作圓A.圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為___.

試題分析本題已知圓與雙曲線的一條漸近線相交,求雙曲線的離心率,屬于圓錐曲線中常見的求離心率問題.試題表面看上去背景平和,熟悉,易于入手,實(shí)際上內(nèi)涵豐富,別有洞天,值得一探.

初步解析由于a＞b＞0,故漸近線的斜率小于1,圓(x-a)2+y2=b2與漸近線的交點(diǎn)M,N位于第一象限,如圖1所示.顯然△A√MN是邊長為b的正三角形,且點(diǎn)A到邊MN的距離為.由于點(diǎn)A(a,0)到直線的距離,所以,解得.

圖1

試題思考

(1)條件出現(xiàn)了a＞b＞0,∠MAN=60°(顯然這是一個(gè)銳角),這兩者有一定的聯(lián)系嗎?如果換成a＜b,則∠MAN還會(huì)是銳角嗎?

(2)圓A與漸近線一定會(huì)相交嗎?交點(diǎn)M,N的坐標(biāo)如何求?

(3)圖1準(zhǔn)確嗎?本題還有別的解法嗎?可以進(jìn)行變式嗎?

帶著這些問題,筆者進(jìn)行了探究.

試題探究(1)

圓A與漸近線一定會(huì)相交嗎?交點(diǎn)M,N的坐標(biāo)如何求?

分析(1)由得

由于

所以圓A與漸近線一定會(huì)相交.由求根公式有,即.即N(a,b),

結(jié)論(1)由于N(a,b),故AN垂直于x軸,因此圖1不夠準(zhǔn)確.由于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,所以當(dāng)a＞b時(shí),對(duì)應(yīng)圖形為圖2,此時(shí)M,N同在第一象限,∠MAN為銳角;當(dāng)a=b時(shí),對(duì)應(yīng)圖形為圖3,此時(shí)M與O重合,∠MAN為直角;當(dāng)a＜b時(shí),對(duì)應(yīng)圖形為圖4,此時(shí)N在第一象限,M在第三象限,∠MAN為鈍角.

圖3

圖4

試題探究(2)

∠MAN的大小與離心率存在什么樣的關(guān)系?

分析(2)由于A(a,0),故

所以

因此

結(jié)論(2)雙曲線的離心率與∠MAN的大小滿足以下關(guān)系：

試題探究(3)共線,其系數(shù)如何?

分析由于,故

結(jié)論(3),其系數(shù)剛好是cos∠MAN.如果∠MAN為銳角,則系數(shù)為正,如圖2;如果∠MAN為鈍角,則系數(shù)為負(fù),如圖4.

試題探究(4)MN的長度如何求?

分析由余弦定理

結(jié)論(4)對(duì)于圖2,圖3,圖4所示的情況,MN的長度都滿足關(guān)系式.

優(yōu)化解法

通過上述探究,不難發(fā)現(xiàn)本道高考試題對(duì)應(yīng)的圖形應(yīng)為圖2.因此初步解析中的解法雖然沒錯(cuò),但是沒有弄清楚AN與x軸的關(guān)系.實(shí)際上,對(duì)本題而言,AN⊥x軸,且M為ON中點(diǎn).至此,可以得到如下優(yōu)化解法.

優(yōu)化解法1：由圖2可知,AN⊥x軸,且三角形MAN為邊長為b的正三角形,故∠ONA=60°,∠NOA=60°.故有,即.

優(yōu)化解法2：根據(jù)結(jié)論(2),雙曲線的離心率與∠MAN的大小滿足以下關(guān)系：.因此e2=,即.

試題變式

變式1已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A.以A為圓心,b為半徑作圓A.圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若,則C的離心率為____.

解析根據(jù)結(jié)論(2),有,即.

變式2已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A.以A為圓心,b為半徑作圓A.圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MN=b,則C的離心率為____.

解析根據(jù)結(jié)論(4),有則解得.

變式3已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A.以A為圓心,b為半徑作圓A.圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若,則C的離心率為____.

解析根據(jù)結(jié)論(3),有,則,再根據(jù)結(jié)論(2),有,即.

教學(xué)啟示對(duì)于本道高考試題,很多學(xué)生甚至老師并沒有想到AN⊥x軸,根據(jù)圖1雖然得出了正確的答案但其實(shí)思維是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?另外很多師生以為此題是常規(guī)的求離心率試題,得到答案后就視而不見,缺乏反思,沒有深入去思考試題背后隱含的大智慧,沒有挖掘出離心率與∠MAN的深層關(guān)系,這不能不說是一種遺憾.由此可見,高考試題即便是小題,也是命題者千辛萬苦命制而成,不管是從知識(shí)層面還是從能力層面都能很好地考查學(xué)生的素養(yǎng),區(qū)分不同程度的考生.作為一線教師不能停留在簡單的會(huì)做了就不去深究的膚淺行為,而是應(yīng)該深層次去思考隱藏在試題背后一些值得挖掘閃光點(diǎn),我想這才是命題者的初衷吧.也只有深入探究高考試題背后隱含的思維智慧,才能更好地指導(dǎo)高考復(fù)習(xí),取得成效.