簡單線性規(guī)劃問題的常見類型和解法

江蘇省啟東市折桂中學(xué)(226200) 胡周華

簡單線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)教學(xué)必修內(nèi)容之一,基本思想是在一定的約束條件下,通過數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值,線性規(guī)劃問題已成為近幾年高考的熱點問題.

考試大綱中要求：了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并加以解決.等級要求A級.

類型一 二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的有關(guān)問題

1 判斷二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域是在直線的哪一側(cè)的方法：

(1)特殊點檢驗法

②當(dāng)C=0時,取不在直線上的點(x0,0)或(0,y0)使不等式成立時就含此點的平面區(qū)域;不成立時,就是其另一側(cè)區(qū)域．

(2)標(biāo)準(zhǔn)式快速判斷法.

將二元一次不等式Ax+By+C≥0化為y≥kx+b或y≤kx+b和x≥b或x≤b.

①y≥kx+b表示的平面區(qū)域在直線y=kx+b的上方;

②y≤kx+b表示的平面區(qū)域在直線y=kx+b的下方;

③x≥b表示的平面區(qū)域在直線x=b的右方;

④x≤b表示的平面區(qū)域在直線x=b的左方.

例1畫出二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域.

圖1

解不等式x＜3表示直線x=3左方的平面區(qū)域,不等式2y≥x表示直線x-2y=0及其左上方的平面區(qū)域,不等式3x+2y≥6表示直線3x+2y-6=0及其右上方的平面區(qū)域,不等式3y＜x+9表示直線x-3y+9=0右下方的平面區(qū)域.綜上,可得不等式所表示的平面區(qū)域如圖1陰影部分所示.

例2(2016年高考浙江卷理科)在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則|AB|=()

圖2

解如圖2,△PQR是可行域,區(qū)域內(nèi)的點在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成了線段R′Q′,即AB,而R′Q′=RQ,由得Q(-1,1),由得R(2,-2),|AB|=|QR|=.故選C.

點評本題考查線性規(guī)劃．先根據(jù)不等式組畫出可行域,再根據(jù)題目中的定義確定|AB|的值．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證,防止出現(xiàn)錯誤．

2 求二元一次不等式組所表示平面區(qū)域的面積

先要畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積.利用圖形的形狀,直觀地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征,挖掘其隱含條件,尋找解題的捷徑．

例3求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積．

解可行域為圖3中陰影部分及其邊界．由圖形知BC=10,△ABC的邊BC上的高為5,所以S△ABC=．

圖3

圖4

例4(2013年高考北京卷文科)已知點A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由所有滿足的點P組成,則D的面積為___.

解,設(shè)P(x,y),由,得

點評本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算、線性規(guī)劃等知識;同時又考查了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思想,綜合能力要求較高,體現(xiàn)近幾年來,線性規(guī)劃問題的考查逐漸從簡單向綜合型方向轉(zhuǎn)變的趨勢.

3 求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解

求區(qū)域內(nèi)正整數(shù)解的方法如下：先要畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后根據(jù)區(qū)域的范圍,簡單的問題可直觀分析,確定區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解;復(fù)雜的問題可列表統(tǒng)計,再確定滿足條件的整數(shù)解.的整點的個數(shù).

例5在直角坐標(biāo)系中,求滿足不等式組

解不等式組所表示的平面區(qū)域為圖5中陰影部分及其邊界．即△OAB,其中A(6,2),B(2,6).所以x∈[0,6],y∈[0,6].目標(biāo)函數(shù)P(x,y),其中x,y∈N,滿足條件的整點列表如下：

圖5

所以所求整點的個數(shù)為21.

類型二 利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值問題

1 利用圖解法解線性規(guī)劃問題的一般步驟：

(1)寫出可行解的不等式組,畫出可行域;

(2)建立目標(biāo)函數(shù),作出目標(biāo)函數(shù)的等值線;

(3)在可行域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)等值線,確定最優(yōu)解．簡稱一畫、二移、三求．

例6(2017高考北京文數(shù)第4題)若x,y滿足則x+2y的最大值為()

圖6

A.1 B.3 C.5 D.9z=x+2y表示斜率為的一組平行線,當(dāng)z=x+2y過點C(3,3)時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值zmax=3+2×3=9,故選D.

解如圖6,畫出可行域,

點評本題主要考查簡單的線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.若可行域為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域),則區(qū)域端點的值是目標(biāo)函數(shù)可能的最大值點或最小值點,求出直線交點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù),通過比較可求出最值.

2 常見目標(biāo)函數(shù)最值問題的求法

(1)求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最值,可轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：,通過一族平行直線與可行域有交點時,直線在y軸上截距的最值問題間接求出z的最值．(2)求目標(biāo)函數(shù)的最值,可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(x,y)與點(-a,-b)連線斜率的最值．

(3)求目標(biāo)函數(shù)z=(x+c)2+(y+d)2的最值,可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(x,y)與點(-c,-d)的距離的平方的最值．

例7(2016年高考江蘇卷)已知實數(shù)x,y滿足則x2+y2的取值范圍是___.

圖7

解畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖7),要求x2+y2的取值范圍,即求陰影區(qū)域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點O距離的平方,如圖7所示,過O作垂線垂直于2x+y-2,此時垂足N到原點O的距離最短,即陰影區(qū)域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點O的距離的平方最小,為;連接OM,如圖7所示,M(2,3)點到坐標(biāo)原點O的距離最長,所以到坐標(biāo)原點O的距離的平方最大,為22+32=13.所以x2+y2的取值范圍是.故答案為

點評本題主要考查線性規(guī)劃.線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線(一般不涉及虛線),其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或值域范圍.

類型三 含有字母的線性規(guī)劃問題

這類問題往往是在線性約束條件中或在目標(biāo)函數(shù)中含有待定的字母,一定要正確地作出平面區(qū)域圖形,依據(jù)圖形作出合理的分析與推理,對字母進(jìn)行必要的分類討論,分類解決.

例8若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部,求a的取值范圍．

圖8

解作出前三個不等式表示的平面區(qū)域如圖8陰影部分所示,即可行域是△OAB內(nèi)部及邊界.其中．直線l:x+y=0過O,1過過B,當(dāng)直線x+y=a在l1,l2之間或l3右上方時,滿足題意,當(dāng)x+y=a位于l2,l3之間時,區(qū)域為四邊形,因此0＜a≤1或.

點評本例0＜a≤1容易得出,但極易忽視的情況,這是思維的片面性引發(fā)的錯誤．

例9(2013年高考浙江卷理科)設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實數(shù)k=___.

圖9

解不等式組表示的平面區(qū)域如圖9陰影部分所示,即△ABC內(nèi)部及邊界.其中A(2,0),B(0,2),C(4,4)．由z=kx+y,得z是直線l:y=-kx+z在y軸上的截距.作l0:kx+y=0,把l0向右上方平移,(1)當(dāng)時,l過點B(0,2),z有最大值,不滿足條件.(2)當(dāng)時,l過點C(4,4),z有最大值zmax=k×4+4=4k+4,由4k+4=12,得k=2．綜上所述k=2.所以答案為2.

類型四 有關(guān)線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題

例10(2012年江西理)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表

__________年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝__每噸售價___黃瓜4噸________1.2萬元_____0.55萬元_____________韭菜6噸_______0.9萬元_____0.3萬元_

為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()

A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

分析本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應(yīng)用,同時考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實踐能力.

圖10

解設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.線性約束條件為即作出不等式組表示的可行域如圖10陰影部分所示,其中A(45,0),B(30,20),C(0,50).平移直線z=x+0.9y,可知當(dāng)直線z=x+0.9y經(jīng)過點B(30,20),即x=30,y=20時,z取得最大值,且zmax=48(萬元),故選B.

點評解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為：

(1)審題—仔細(xì)閱讀,明確有哪些限制條件,目標(biāo)函數(shù)是什么?

(2)轉(zhuǎn)化—設(shè)元,寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題.

(3)求解—解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題．關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系;

求解過程：

①作圖：畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l.

②平移：將l平行移動,以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置．

③求值：解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo),再代入目標(biāo)函數(shù),求出目標(biāo)函數(shù)的最值．

(4)作答—就應(yīng)用題提出的問題作出回答．

類型五 線性規(guī)劃綜合問題

有些問題從表面看不是線性規(guī)劃問題,但通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化使之成為線性規(guī)劃問題.

例11(2012年高考江蘇卷)已知正數(shù)a,b,c滿足：5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則的取值范圍是___.

圖11

解

所以題目轉(zhuǎn)化為：已知x,y滿足求y的取值范圍.

作出(x,y)所在平面區(qū)域(如圖11的陰影部分所示),易知C(2,7),直線y=4x-1、y=5x-3分別與x軸交于A,B,其中,所以.令,由,得x=1,所以y在上遞減,在[1,2]上遞增,所以.將(1,e)代入(1)成立,所以y≥e.所以e≤y≤7,即的取值范圍是[e,7].

例12(2015高考浙江卷)若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是___.

圖12

解x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部,易得直線6-x-3y=0與圓相離,故|6-x-3y|=6-x-3y,當(dāng)2x+y-2≥0時,|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,如圖12所示,可行域為小的弓形內(nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4,則可知當(dāng)時,z=3;min當(dāng)2x+y-2＜0時,|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y,可行域為大的弓形內(nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y,同理可知當(dāng)時,z=3.綜上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y|min的最小值是3.

例13實系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個實根,一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求的取值范圍．

分析可將看作點(a,b)和(1,2)連線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可順利使問題得到解決．

圖13

解方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)的幾何意義是函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),因此可得不等式組即在直角坐標(biāo)系內(nèi),作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖13),并解出點A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0)．而的幾何意義是點P(a,b)和點D(1,2)連線的斜率．因為,如圖13,,所以.