對一道高考三角試題的探究

寧夏彭陽縣第三中學(xué)(756599) 王伯龍

題目(2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)第13題)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于D,且BD=1,則4a+c的最小值為___.

這是一道考查解三角形與最值的綜合題,試題涉及到三角形中定角及定角的平分線,邊長之間關(guān)系的最值問題.試題設(shè)置新穎、寓意深刻、情境熟悉、情態(tài)鮮活、解法多樣,采用“以能力立意”的命題思想,注重新舊知識(shí)的交匯,著力考查知識(shí)和技能的應(yīng)用能力和遷移潛質(zhì),是一道值得研究的好題.

1.試題的解法研究

著名數(shù)學(xué)家、教育家G·波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”單墫先生也說過：“學(xué)數(shù)學(xué)的目的,不是別的,就是為了學(xué)會(huì)解題.”因此,用什么方法能順利解答問題是最務(wù)實(shí)的,是數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力的體現(xiàn).上等方法簡潔明快,手到“病”除,而中、下等方法耗時(shí)費(fèi)力,甚至陷入誤區(qū).武向義先生說：“教數(shù)學(xué)要交給學(xué)生‘大巧’,要教學(xué)生‘運(yùn)用之妙,存乎一心’,以不變應(yīng)萬變.”可見,不同的方法展現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思維水平.這正是體現(xiàn)高考試題的選拔功能.

解法1(面積法)因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△BCD,所以,即.于是9,當(dāng)且僅當(dāng),即c=2a時(shí)取等號(hào),故4a+c的最小值為9.

解法2(向量法)因?yàn)锽D是∠ABC的平分線,所以可設(shè),兩邊分別與自身作數(shù)量積并化簡整理得,以下同法1,故當(dāng)c=2a時(shí),4a+c的最小值為9.

圖1

解法3(坐標(biāo)法)如圖1,以B為原點(diǎn),BD所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,易得D(1,0)、,由于A、D、C三點(diǎn)共線,因而有,即,化簡得ac=a+c,以下同法1,故當(dāng)c=2a時(shí),4a+c的最小值為9.

解法4(張角定理法)由張角定理得

以下同法1,故當(dāng)c=2a時(shí),4a+c的最小值為9.

注張角定理：△ABC中,D為AC邊上一點(diǎn),連接BD,則.

評析本題求4a+c的最小值的關(guān)鍵是通過題目的已知條件,利用不同的思維方法找到a、c之間的關(guān)系,然后利用基本不等式求解.

由解法4,我們可以體會(huì)到這道高考試題是以張角定理為背景來命制的,而考題只是特殊情形下的一道試題,我們可將試題一般化進(jìn)行推廣.

2.試題的推廣

結(jié)論1在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,∠ABC=θ,∠ABC的平分線交AC于D,且BD=t,則λa+μc(λ＞0,μ＞0)的最小值為.

證明 由張角定理得,

所以

顯然,當(dāng)λ=4,μ=1,t=1,θ=120°時(shí),便是考題的結(jié)論.

3.試題的變式推廣

正如數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“沒有一道題是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分的探討與研究,總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),總能改進(jìn)這個(gè)解答,而且在任何情況下,我們都能提高自己對這個(gè)解答的理解水平.”他打比方說：“在你找到第一個(gè)蘑菇(或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn))后,要環(huán)顧四周,因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的.”通過試題的變式可以挖掘試題的內(nèi)涵,體現(xiàn)試題的教學(xué)價(jià)值.數(shù)學(xué)的魅力在于“變”,有“變”才有“用”,有“變”才有“活”.

在考題的條件下,∠ABC的對邊AC也在變化,那么,AC是否也有最小值呢?經(jīng)過嘗試探究我們便有如下的結(jié)論.

結(jié)論2在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,∠ABC=θ,∠ABC的平分線交AC于D,且BD=t,則.

證明由張角定理得

取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=c.又由余弦定理得AC2=a2+c2-2accosθ,結(jié)合不等式得

取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=c.由式①得,

如果將∠ABC的平分線換成中線、高線,是否也有類似的結(jié)論呢?經(jīng)過嘗試探究我們便有如下的結(jié)論.

結(jié)論3在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,∠ABC=θ,D為AC邊上的中點(diǎn),且BD=m,則當(dāng);當(dāng)θ=90°時(shí),|AC|=2m;當(dāng) 90°＜θ＜180°時(shí),.

證明當(dāng)θ=90°時(shí),由直角三角形的性質(zhì)易得時(shí),由中線向量得兩邊分別與自身作數(shù)量積并整理得

又由余弦定理得②-①得

當(dāng)然,我們也可將定線(中線、角平分線、高線)換成定周長、定面積等進(jìn)行研究,限于篇幅,本文不再贅述,有興趣的讀者自行研究.

4.結(jié)束語

高考試題是命題專家集體智慧的結(jié)晶,是知識(shí)與能力的拓展,方法與思維的提升,隨著新課程改革向縱深方向發(fā)展,研究的逐步深入,高中數(shù)學(xué)高考試題不斷推陳出新,給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了一波又一波的沖擊.面對新的挑戰(zhàn),作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師應(yīng)主動(dòng)涉水,潛心研究,這樣才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴,有的放矢,才能確保對學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng),條理清楚,思路流暢.