基于代理模型的麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)技術(shù)研究

丁存?zhèn)? 李周復(fù), 張 雪, 周國成

(中國航空工業(yè)空氣動(dòng)力研究院, 哈爾濱 150001)

0 引 言

麥克風(fēng)相位陣列測量技術(shù)的應(yīng)用[1-5]，使得聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)υ囼?yàn)?zāi)Ｐ偷闹饕肼曉催M(jìn)行定位，獲取聲源強(qiáng)度、頻率等豐富的聲學(xué)特性信息，成為當(dāng)前飛行器聲學(xué)試驗(yàn)研究中不可或缺的測量手段。

麥克風(fēng)相位陣列測量性能主要通過陣列分辨率(Resolution)和最大旁瓣水平(Maximum Sidelobe Level, MSL)進(jìn)行衡量。陣列分辨率和最大旁瓣水平會(huì)隨著目標(biāo)聲源頻率的改變而發(fā)生明顯變化。同一期聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)中模型構(gòu)型、來流風(fēng)速等試驗(yàn)狀態(tài)的不同，可能導(dǎo)致主要聲源位置、尺寸和噪聲頻率的顯著改變，對(duì)麥克風(fēng)陣列分辨率和最大旁瓣水平的需求也隨之變化，從而超出了原有陣列的最佳適用范圍，導(dǎo)致某些狀態(tài)下測量結(jié)果的精準(zhǔn)度受到影響。為了實(shí)現(xiàn)最佳測量效果，麥克風(fēng)相位陣列也應(yīng)針對(duì)聲源特性的變化而實(shí)時(shí)改進(jìn)，但是，這一改進(jìn)過程必須滿足風(fēng)洞試驗(yàn)對(duì)現(xiàn)場操作的高效率要求。目前聲學(xué)試驗(yàn)中普遍采用格柵式快速插拔陣列支架，能夠支持麥克風(fēng)陣列的快速拆裝，因此，需要解決的問題是：根據(jù)試驗(yàn)狀態(tài)對(duì)陣列分辨率和最大旁瓣水平的需求，如何在較短的時(shí)間內(nèi)完成麥克風(fēng)相位陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)方面，國內(nèi)外研究人員研究了陣列尺寸和麥克風(fēng)布置方式等因素對(duì)陣列分辨率和最大旁瓣水平的影響，并且將粒子群算法、模擬退火法等優(yōu)化設(shè)計(jì)方法引入了麥克風(fēng)陣列設(shè)計(jì)中[4,6-13]。但是以上研究方法并未考慮陣列設(shè)計(jì)的耗時(shí)問題。盡管陣列設(shè)計(jì)中通常采用計(jì)算量較小的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行陣列性能分析，但是當(dāng)聲源定位面內(nèi)掃描點(diǎn)數(shù)較多，優(yōu)化搜索空間較大時(shí)，計(jì)算量將會(huì)顯著增加，完成整個(gè)陣列優(yōu)化工作可能需要耗時(shí)數(shù)小時(shí)至數(shù)十個(gè)小時(shí)不等。這種計(jì)算耗時(shí)無法滿足風(fēng)洞試驗(yàn)過程中及時(shí)改進(jìn)麥克風(fēng)陣列的應(yīng)用需求，必須研究更加高效的麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)方法。

基于Kriging模型的優(yōu)化方法很好地解決了計(jì)算量與計(jì)算精度的問題，顯著提升了優(yōu)化效率，已經(jīng)在飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)領(lǐng)域得到了大量的應(yīng)用[14-21]。文獻(xiàn)[14]開展了旋翼槳尖氣動(dòng)與噪聲綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，其中旋翼的氣動(dòng)性能和噪聲特性需要應(yīng)用非定常流場求解方法進(jìn)行計(jì)算，單點(diǎn)計(jì)算耗時(shí)較高。如優(yōu)化過程中全部采用非定常方法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)計(jì)算，則其計(jì)算量將急劇增加，無法滿足工程應(yīng)用需求。文章采用Kriging模型代替復(fù)雜費(fèi)時(shí)的非定常計(jì)算，采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，有效解決了計(jì)算耗時(shí)問題，建立了一種工程實(shí)用的旋翼槳尖優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。此外，為了解決計(jì)算量過大的問題，文獻(xiàn)[15]應(yīng)用Kriging模型進(jìn)行了機(jī)翼氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)剛度耦合優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[16]將Kriging模型應(yīng)用于高升力翼型的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。可見，Kriging模型的應(yīng)用是提升優(yōu)化效率的有效方法。

為了最大限度提升麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)效率，本文借鑒飛行器氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的研究方法，創(chuàng)新性地將Kriging代理模型方法引入陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中。采用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行樣本點(diǎn)性能分析，建立Kriging模型，應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，形成了一種效率極高的麥克風(fēng)陣列設(shè)計(jì)方法。該方法可有效改善陣列對(duì)目標(biāo)聲源的測量性能，滿足聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)中針對(duì)特定聲源及時(shí)改進(jìn)麥克風(fēng)相位陣列的需求，有助于改善試驗(yàn)測量精準(zhǔn)度，提升試驗(yàn)效率。

1 基于代理模型的陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

1.1 陣列性能分析方法

陣列性能分析是通過給定模擬點(diǎn)聲源，計(jì)算陣列對(duì)該聲源激勵(lì)的波束形成響應(yīng)來評(píng)估陣列性能的一種技術(shù)手段。陣列設(shè)計(jì)過程中，進(jìn)行陣列性能量化分析時(shí)，波束形成響應(yīng)通常表示為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(Point Spread Function, PSF)[22]。采用基于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的計(jì)算方法分析陣列對(duì)模擬聲源的定位效果，是陣列設(shè)計(jì)過程中較為常用且可靠的性能分析方法，可以定量地評(píng)價(jià)麥克風(fēng)陣列定位性能。計(jì)算方法如下：

陣列測量位于yj處的單位聲源，獲得互譜矩陣(Cross Spectrum Matrix, CSM)：

(1)

(2)

則位于yj的單位聲源在掃描點(diǎn)k處的波束形成輸出可表示為：

(3)

上式為PSF的定義式，Wk為對(duì)應(yīng)麥克風(fēng)的權(quán)向量，是關(guān)于引導(dǎo)向量g的函數(shù)，取決于麥克風(fēng)陣列與掃描平面的位置、測量環(huán)境與聲源頻率。

采用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)完成全部掃描點(diǎn)上的波束形成輸出計(jì)算后，陣列性能分析結(jié)果通常以聲壓級(jí)云圖的形式給出，從中可以獲取陣列分辨率和最大旁瓣水平兩個(gè)主要性能參數(shù)。其中，陣列分辨率描述了陣列定位聲源和分辨臨近聲源的能力；陣列的最大旁瓣水平表明陣列放大目標(biāo)聲源、抑制背景噪聲的能力。

1.2 設(shè)計(jì)變量與約束條件

與其他陣列形式相比，多臂螺旋陣列能夠在較寬的頻率范圍內(nèi)保持良好的旁瓣抑制性能，因此在聲學(xué)試驗(yàn)中得到了廣泛應(yīng)用，本文主要針對(duì)這種陣列進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)舉例。已有的多臂螺旋陣列設(shè)計(jì)方法中，螺旋線上麥克風(fēng)的位置主要采用等弧長分布，或者等環(huán)形區(qū)域面積分布的方式確定[22]，無需進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，但是設(shè)計(jì)空間較為單一。本文將多臂螺旋陣列的螺旋線軌跡、麥克風(fēng)分布位置、旋臂數(shù)等信息進(jìn)行參數(shù)化，拓展了陣列設(shè)計(jì)空間，通過對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化，搜索得到性能優(yōu)良的陣列方案。多臂螺旋陣列設(shè)計(jì)參數(shù)包括：懸臂數(shù)目n，螺旋線系數(shù)a和k，麥克風(fēng)沿螺旋線分布參數(shù)q。

對(duì)數(shù)螺旋線可用極坐標(biāo)表示如下：

r=a·ekθ

(4)

其中，r為極徑，θ為極角，a、k為常系數(shù)。

當(dāng)系數(shù)a、k確定之后，螺旋線的軌跡即為確定值。麥克風(fēng)在螺旋線上的分布通過參數(shù)q進(jìn)行確定，具體方法如下：

相鄰兩麥克風(fēng)間螺旋線弧長成等比增長，比值為q。對(duì)于最大極徑為R的對(duì)數(shù)螺旋線，當(dāng)q=1時(shí)，螺旋線上麥克風(fēng)為均勻分布；q≠1時(shí)，第m個(gè)麥克風(fēng)的極坐標(biāo)為：

(5)

(6)

其中，j為單條懸臂上麥克風(fēng)數(shù)量，由整個(gè)陣列可用的麥克風(fēng)總數(shù)和懸臂條數(shù)決定。

對(duì)于有n條旋臂的螺旋陣列，將陣列面板按2π/n弧度等分為n份，并通過麥克風(fēng)坐標(biāo)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)復(fù)制得到整個(gè)陣列坐標(biāo)。

試驗(yàn)環(huán)境、設(shè)備以及試驗(yàn)對(duì)象等因素決定了麥克風(fēng)陣列設(shè)計(jì)需要考慮的約束條件。試驗(yàn)場地的空間限制和聲源定位范圍約束了陣列最大直徑；試驗(yàn)中可供使用的麥克風(fēng)總數(shù)量決定了陣列單元數(shù)；麥克風(fēng)尺寸和安裝方式?jīng)Q定了兩麥克風(fēng)最小間距。因此，優(yōu)化過程中的約束條件包括：陣列直徑、麥克風(fēng)數(shù)量、麥克風(fēng)最小間距。

1.3 基于Kriging模型的遺傳算法

遺傳算法不僅具有全局性優(yōu)化的特點(diǎn)，而且具有良好的魯棒性、可靠性和移植性，在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛。但是遺傳算法通常需要的種群規(guī)模龐大，容易導(dǎo)致計(jì)算量過大。本文采用基于Kriging模型的遺傳算法開展陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)。Kriging模型在保證陣列性能預(yù)測精度的同時(shí)，極大地提升了優(yōu)化效率，同時(shí)使遺傳算法的種群規(guī)模不再受到計(jì)算量的限制，有效拓展了優(yōu)化搜索空間。

Kriging代理模型是一種插值模型，由一個(gè)參數(shù)模型和一個(gè)非參數(shù)隨機(jī)過程構(gòu)成，通過選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法計(jì)算得到模型參數(shù)最優(yōu)值，進(jìn)而建立Kriging模型[18-19]。圖1給出了基于代理模型的陣列優(yōu)化方法流程圖。其基本思想為：

(1) 采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成設(shè)計(jì)空間內(nèi)的樣本點(diǎn)；

(2) 通過陣列性能分析程序計(jì)算樣本點(diǎn)的響應(yīng)值；

(3) 由樣本信息及其響應(yīng)值構(gòu)建代理模型；

(4) 采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，種群適應(yīng)度計(jì)算由代理模型完成；

(5) 按照選定的加點(diǎn)方法，搜索性能更優(yōu)的樣本點(diǎn)；

(6) 采用陣列性能分析程序?qū)ψ顑?yōu)樣本點(diǎn)進(jìn)行分析；

(7) 判斷是否達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)，若是，則輸出結(jié)果，停止優(yōu)化；若否，則對(duì)原樣本集進(jìn)行更新，以建立更加精確的代理模型，返回步驟(3)，重復(fù)優(yōu)化過程直至滿足停止條件。

圖1 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法流程圖

2 麥克風(fēng)陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)算例

針對(duì)分辨率和最大旁瓣水平兩個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行陣列優(yōu)化，以驗(yàn)證該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性。當(dāng)分辨率為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，設(shè)置滿足試驗(yàn)測量要求的最大旁瓣水平下限指標(biāo)作為約束條件；以最大旁瓣水平為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，則給定分辨率指標(biāo)作為約束。

2.1 多臂螺旋陣列分辨率優(yōu)化

針對(duì)1m直徑量級(jí)63通道多臂螺旋陣列進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化問題總結(jié)如下：

設(shè)計(jì)狀態(tài)：2kHz單極子模擬聲源，定位區(qū)域1m×1m；

目標(biāo)函數(shù)：分辨率最小，最大旁瓣水平≤-14dB；

設(shè)計(jì)變量：懸臂數(shù)目n，螺旋線系數(shù)a，k，分布參數(shù)q；

設(shè)計(jì)約束：陣列直徑D=1m，麥克風(fēng)最小間距dmin≥0.02m，麥克風(fēng)總數(shù)Nm=63。

共調(diào)用60次陣列性能分析程序進(jìn)行樣本點(diǎn)計(jì)算，建立了代理模型。表1給出了Kriging代理模型的預(yù)測結(jié)果與數(shù)值模擬分析結(jié)果對(duì)比，代理模型預(yù)測誤差小于1%，預(yù)測精度完全滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)需求。遺傳算法優(yōu)化過程中，以代理模型進(jìn)行種群適應(yīng)度計(jì)算，種群規(guī)模為200，交叉概率0.8，變異概率0.05，共進(jìn)行了100代遺傳優(yōu)化。優(yōu)化程序采用單核運(yùn)行，整個(gè)優(yōu)化過程耗時(shí)約10min，獲得了性能較優(yōu)異的陣列方案?？梢?，Kriging代理模型的應(yīng)用顯著減少了計(jì)算時(shí)間，極大地拓展了優(yōu)化搜索的范圍。

表1 Kriging模型預(yù)測誤差Table 1 Prediction error of Kriging model

取每個(gè)設(shè)計(jì)變量上、下限的平均值為初始陣列，作為設(shè)計(jì)參考，優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量取值如表2所示。優(yōu)化前后陣列單元分布情況如圖2所示，可見優(yōu)化后陣列從中心向邊緣方向，單條螺旋線上麥克風(fēng)間距逐漸減小，陣列單元的分布有向陣列邊緣移動(dòng)的趨勢。圖3給出了2kHz模擬聲源下陣列響應(yīng)云圖，可見優(yōu)化陣列的分辨率有明顯改善。

表2 分辨率優(yōu)化陣列設(shè)計(jì)變量Table 2 Design variables of resolution optimized array

(a) 初始陣列

(b) 分辨率優(yōu)化陣列

Fig.2Schematicofinitialarrayandresolutionoptimizedmulti-armspiralmicrophonearray

與全尺寸飛機(jī)相比，航空聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)中的試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯ǔＪ墙?jīng)過大幅縮比的，主要噪聲的頻率被相應(yīng)放大。因此，本文主要進(jìn)行1～6kHz頻率范圍內(nèi)麥克風(fēng)陣列測量性能分析，能夠滿足航空聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)的大部分測量需求。表3給出了優(yōu)化后陣列與初始陣列性能對(duì)比數(shù)據(jù)，在1～6kHz頻率范圍內(nèi)，優(yōu)化陣列的分辨率均優(yōu)于初始陣列，以設(shè)計(jì)點(diǎn)2kHz頻率性能為例，優(yōu)化陣列分辨率從0.187m改善為0.164m，旁瓣聲壓級(jí)(SPL)略有升高，但最大旁瓣水平(MSL)滿足-14dB的約束要求。

(a) 初始陣列結(jié)果

(b) 分辨率優(yōu)化陣列結(jié)果

Fig.3Responsesofinitialarrayandresolutionoptimizedmicrophonearray

表3 初始陣列與分辨率優(yōu)化麥克風(fēng)陣列性能Table 3 Performance of initial array and resolution optimized microphone array

2.2 多臂螺旋陣列最大旁瓣水平優(yōu)化

麥克風(fēng)陣列最大旁瓣水平優(yōu)化算例的設(shè)計(jì)狀態(tài)、設(shè)計(jì)變量、設(shè)計(jì)約束等均保持不變，目標(biāo)函數(shù)變化為：最大旁瓣水平降低、分辨率≤0.2m。

優(yōu)化后陣列單元分布如圖4所示，可見優(yōu)化后陣列單元向中心區(qū)域集中。圖5給出了2kHz模擬聲源下的陣列響應(yīng)云圖，可見優(yōu)化陣列的最大旁瓣水平有明顯改善。表4給出了優(yōu)化后陣列與初始陣列性能對(duì)比數(shù)據(jù)，可以看出在1～6kHz頻率范圍內(nèi)，優(yōu)化陣列的最大旁瓣水平明顯優(yōu)于初始陣列，以設(shè)計(jì)點(diǎn)2kHz頻率下性能為例，優(yōu)化陣列最大旁瓣水平有5dB的改善，分辨率滿足0.2m的優(yōu)化約束條件。

圖4 最大旁瓣水平優(yōu)化陣列示意圖

圖5 最大旁瓣水平優(yōu)化陣列響應(yīng)圖

初始陣列優(yōu)化陣列頻率/kHz最大旁瓣水平/dB分辨率/m最大旁瓣水平/dB分辨率/m1-17.4120.388-20.5370.4122-16.8820.187-21.9220.1983-15.5350.123-19.3460.1294-15.2520.089-16.1050.0945-14.7710.070-15.6980.0746-14.1880.057-14.0090.061

以上陣列優(yōu)化算例表明：本文發(fā)展的麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)方法能夠根據(jù)試驗(yàn)具體需求，優(yōu)化設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的陣列方案，且優(yōu)化效率極高，滿足聲學(xué)試驗(yàn)過程中隨時(shí)改進(jìn)麥克風(fēng)陣列的特殊需求。對(duì)最大旁瓣水平進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，陣列單元沿螺旋線分布有向陣列中心聚集的趨勢，同時(shí)分辨率會(huì)略變差。相反，對(duì)陣列分辨率進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，陣列單元沿螺旋線分布有向陣列邊緣移動(dòng)的趨勢，最大旁瓣水平則會(huì)略變差?？梢?，最大旁瓣水平和分辨率這兩個(gè)性能指標(biāo)在一定條件下是此消彼長的關(guān)系，無法同時(shí)優(yōu)化到最優(yōu)值。陣列設(shè)計(jì)工作需要考慮聲學(xué)試驗(yàn)的聲源強(qiáng)度、特征尺寸等具體因素，在一個(gè)指標(biāo)滿足基本約束的情況下，盡量提升最重要的核心指標(biāo)。作為約束的指標(biāo)可能會(huì)有所下降，但仍滿足基本需求，而核心指標(biāo)的大幅提升則能夠明顯改善試驗(yàn)測量結(jié)果的精準(zhǔn)度。

2.3 矩形陣列設(shè)計(jì)

該陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有較強(qiáng)的可拓展性，只需針對(duì)參數(shù)化部分進(jìn)行修改，即可應(yīng)用于其他形式的陣列設(shè)計(jì)。針對(duì)81通道的1m邊長矩形陣列，將陣列單元的橫、縱坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)參數(shù)。以陣列單元在平面內(nèi)的均勻分布作為初始方案，通過對(duì)陣元分布趨勢的優(yōu)化，提升陣列最大旁瓣水平。圖6給出了優(yōu)化前后矩形陣列單元分布示意圖。

(a) 初始矩形陣列

(b) 優(yōu)化矩形陣列

Fig.6ComparisonofinitialarrayandMSLoptimizedrectangularmicrophonearray

圖7給出了2kHz模擬聲源下陣列響應(yīng)云圖，可見旁瓣水平有明顯改善。表5給出了1～6kHz頻率下陣列性能對(duì)比數(shù)據(jù)，優(yōu)化陣列的最大旁瓣水平改善顯著，分辨率略變差。其中，聲源頻率為2kHz時(shí)，優(yōu)化后矩形陣列最大旁瓣水平改善了4.2dB，提升約35.85%；分辨率下降約5.62%。整體而言，陣列性能有明顯提升。

(a) 初始矩形陣列結(jié)果

(b) 優(yōu)化矩形陣列結(jié)果

Fig.7ResponsesofinitialarrayandMSLoptimizedrectangularmicrophonearrayresponses

表5 初始陣列與優(yōu)化矩形麥克風(fēng)陣列性能Table 5 Performance of initial array and optimized rectangular microphone array

3 結(jié) 論

將基于Kriging代理模型的遺傳算法引入麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)研究中，形成了高效率麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)方法，得到研究結(jié)論如下：

(1) 陣列優(yōu)化結(jié)果表明：該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以根據(jù)試驗(yàn)研究的具體需求進(jìn)行麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)，有效提升麥克風(fēng)相位陣列的分辨率或最大旁瓣水平性能，是一種可靠實(shí)用的麥克風(fēng)相位陣列設(shè)計(jì)方法。

(2) Kriging代理模型的引入使得陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)過程耗時(shí)極短，可以滿足聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)中隨時(shí)針對(duì)聲源特點(diǎn)而改進(jìn)麥克風(fēng)相位陣列的特殊應(yīng)用需求，有利于改善聲學(xué)風(fēng)洞試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度，顯著提升試驗(yàn)效率。

(3) 麥克風(fēng)相位陣列的兩個(gè)主要性能參數(shù)(分辨率和最大旁瓣水平)通常無法同時(shí)達(dá)到極值，陣列設(shè)計(jì)時(shí)需要根據(jù)試驗(yàn)測量的實(shí)際需求，搜尋陣列性能的最佳平衡點(diǎn)。

(4) 該陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有較強(qiáng)的可拓展性，針對(duì)參數(shù)化部分進(jìn)行修改后，即可應(yīng)用于其他類型陣列的設(shè)計(jì)工作。