特殊條件下矩陣特征值判定問題的討論

摘 要：本文針對學(xué)生在《高等代數(shù)》課程學(xué)習(xí)過程中遇到的一類問題，即利用矩陣多項(xiàng)式為零去判定矩陣的特征值和特征值的重?cái)?shù)問題。首先利用已有的一些定理給出了特殊情形下的一個(gè)結(jié)論，然后利用三個(gè)逐漸增加條件的例子說明在判定過程中需要我們合理結(jié)合題目給出的每一個(gè)條件利用所學(xué)知識進(jìn)行解決。

關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；矩陣

在《高等代數(shù)》課程的教學(xué)過程中，遇到了很多利用矩陣多項(xiàng)式為零的條件去推斷矩陣特征值的問題，看上去類似的題目確有不同的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)常無法分辨多項(xiàng)式的若干根中哪些是矩陣的特征值哪些不是，以及在確定了特征值之后如何確定其重?cái)?shù)。本文將針對這一問題給出自己的一些想法。首先我們給出一些已有的結(jié)論。

定理1 設(shè)A是n階方陣，λ是A的特征值，α是A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，f（x）是一個(gè)多項(xiàng)式，則f（λ）是f（A）的特征值。

定理2 相似矩陣具有相同的特征值多項(xiàng)式。

定理3 實(shí)對稱矩陣的k重特征值恰好有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

由定理1可得下面推論：

推論 設(shè)A是n階方陣，λ是A的特征值，α是A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，f（x）是一個(gè)多項(xiàng)式，若f（A）=O，則f（λ）=0。

由上述推論得到下面非常重要的結(jié)論：

結(jié)論1 對于n階方陣A而言，如果f（A）=O，那么A的所有特征值一定是多項(xiàng)式f（x）的根。

此結(jié)論告訴我們矩陣的特征值一定為多項(xiàng)式的根，但沒有告訴我們哪些根是矩陣的特征值，而這一點(diǎn)正是令很多同學(xué)困惑的地方。針對這類問題我們利用具體例子來解釋。

例1 設(shè)方陣A滿足A2=A，證明A的特征值只能是1或0。

分析 這道題目的答案是結(jié)論的直接結(jié)果，但無法確定A的具體特征值是1還是0。

例2 若矩陣A滿足A2=O，則A的特征值為0。

分析 由于方程x2=0只有唯一的實(shí)根0，而A的特征值一定是該方程的根，所以得到A的特征值為0。

由例2結(jié)合結(jié)論1，可以得到下面的結(jié)論：

結(jié)論2 對于滿足f（A）=O的n階方陣A而言，如果多項(xiàng)式f（x）有唯一的根，則此根必為矩陣的唯一特征值。

結(jié)論2解決了一種簡單情況，也就是當(dāng)f（A）=O，多項(xiàng)式f（x）有唯一根的情況。但絕大多數(shù)的題目都比例2要復(fù)雜。下面我們再看其他一些情況。

例3 設(shè)A為3階非零矩陣，且滿足A2=A，證明：1一定為A的特征值。

解 由結(jié)論1可得，A的特征值為0或1。變形A2=A，得A（A-E）=O。由于R（A）+R（A-E）≤3，且A為非零矩陣，即R（A）≥1，于是R（A-E）≤2，從而|A-E|=0，得1一定為A的特征值。而0是否為A的特征值無法確定。

例4 設(shè)A是3階實(shí)矩陣，且R（A）=2，若A2=A，證明：0和1均為A的特征值，并判定其重?cái)?shù)。

解 由結(jié)論1可得，A的特征值為0或1。由已知條件R（A）=2，再結(jié)合例3解題過程得|A|=0，且R（A-E）≤1，也即|A-E|=0，從而得到0和1均為A的特征值，且為A的所有特征值。由于A為3階方陣，所以0和1中有一個(gè)特征值為二重特征值。下面我們來確定哪個(gè)特征值為二重特征值。如果R（A-E）=0，則A=E，與R（A）=2矛盾，因此R（A-E）=1。這說明矩陣A對應(yīng)于特征值1有兩個(gè)無關(guān)的特征向量，從而A可以對角化。由定理2得1為A的二重特征值。

例5 設(shè)A是3階實(shí)對稱矩陣，R（A）=2，若A2=A，證明：0和1均為A的特征值，并判定其重?cái)?shù)。

解 由例4的證明過程得到0和1均為A的特征值，且為A的所有特征值。在判定哪個(gè)特征值為A的二重特征值時(shí)，可利用定理3得到1為二重特征值。

通過例1，3，4，5個(gè)例子的條件，我們可以看到題目給定條件越來越多，從判定結(jié)果來看，判定效果越來越好，所用知識越來越多。比較例1和例3，我們發(fā)現(xiàn)適當(dāng)增加條件會(huì)影響特征值的確定；比較例3和例4可以看出，特征矩陣的秩在確定具體特征值和特征值的重?cái)?shù)時(shí)會(huì)起到關(guān)鍵作用；比較例4和例5，我們看到實(shí)對稱矩陣相對于一般的實(shí)矩陣，在判定特征值的重?cái)?shù)時(shí)會(huì)比較方便，主要原因是實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)比較好。綜上，對于本文要討論的問題，沒有統(tǒng)一的格式去判定每道題目的答案，具體問題具體對待。對于學(xué)生而言，如果想清晰利用f（A）=O來確定矩陣A的特征值及其重?cái)?shù)，就要結(jié)合題目給的具體條件逐條檢查是否可以縮小判定的范圍，而這些有一個(gè)基本要求就是具有比較扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對于所學(xué)的知識能夠靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉麗.高等代數(shù)[M].成都：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2014.

[2]蔣永泉.高等代數(shù)[M].鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)出版社，2013.

[3]白鳳蘭.高等代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

作者簡介：

劉紅麗，浙江省杭州市，浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院。