《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中定理的聯(lián)系教學(xué)
——以獨立同分布的中心極限定理和樣本均值的抽樣分布定理為例

李 真

（廣東財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510320）

1 引言

凡是在一定條件下斷定隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的定理，在概率論中統(tǒng)稱為中心極限定理.中心極限定理是揭示產(chǎn)生正態(tài)分布的源泉，是應(yīng)用正態(tài)分布來解決各種實際問題的理論基礎(chǔ)[5].該部分是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程中的一個非常重要內(nèi)容，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識體系中起著承上啟下的作用[3].教學(xué)大綱要求學(xué)生理解獨立同分布的中心極限定理，并掌握該定理的應(yīng)用.

樣本均值的抽樣分布定理同樣是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的一個重要定理.它是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，奠定了抽樣推斷的基礎(chǔ).對樣本均值的抽樣分布定理的理解程度，決定了學(xué)生對整個抽樣推斷理論的理解程度[4].

然而，這兩個定理都非常抽象（尤其中心極限定理）.學(xué)生對定理的理解不到位，且不了解這兩個定理的聯(lián)系，大多數(shù)學(xué)生會以為結(jié)論多而煩，產(chǎn)生恐懼和抵觸心理，很難取得良好的學(xué)習(xí)效果.故本文探討?yīng)毩⑼植嫉闹行臉O限定理和樣本均值的抽樣分布定理的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)行類比教學(xué)[2].

2 獨立同分布的中心極限定理

2.1 定理內(nèi)容

定理1（萊維—林德伯格定理） 設(shè)X1,X2,…是獨立同分布隨機(jī)變量序列，且 E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ2，則對任給 x∈(-∞,+∞)，均有

其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù).

注：該定理又稱之為獨立同分布的中心極限定理.

2.2 定理的理解

定理1的條件明確要求隨機(jī)變量序列X1,X2,…要具備：獨立、同分布兩個條件，這正是該定理又稱為獨立同分布的中心極限定理的原因；同時，還需知道Xi的期望和方差，這兩個條件在定理的結(jié)論中要用到.除此之外，并不要求隨機(jī)變量序列滿足何種分布.

結(jié)合獨立性和同分布，

雖然定理1的結(jié)論涉及極限分布，但在實際中，應(yīng)用獨立同分布的中心極限定理解決具體問題時，只要n充分大，我們就可以用中心極限定理做近似計算.因此，可將（1）式記為：當(dāng)n充分大時，有

很多學(xué)生初學(xué)定理1，對該定理不甚理解.而它的記憶及應(yīng)用，恰是以理解為基礎(chǔ)的.這是學(xué)生學(xué)習(xí)獨立同分布的中心極限定理的難點，也是教學(xué)過程中教師應(yīng)講解的重點.

3 樣本均值的抽樣分布定理

3.1 定理內(nèi)容

定理2 設(shè)X1,X2,…Xn為來自均值為μ，方差為σ2的總體的一組樣本，則當(dāng)n充分大時，近似地有

3.2 定理的證明

分析：定理2中X1,X2,…Xn是一組樣本，具備有相互獨立，且與總體同分布的性質(zhì).因此，它是獨立同分布的隨機(jī)變量序列.定理2也告知了Xi的期望與方差，與定理1的條件唯一的區(qū)別是：定理2是有限個隨機(jī)變量，但在結(jié)論中提到了n充分大，與（2）式（見2.2）的前提是一致的.因此，可直接得到（2）式結(jié)論.再做進(jìn)一步討論.

證 因為X1,X2,…Xn是一組樣本，所以X1,X2,…Xn獨立、同分布，當(dāng)n充分大時，由獨立同分布的中心極限定理（定理1）知，

而此結(jié)論就是定理2的結(jié)論（3）式的標(biāo)準(zhǔn)化！

3.3 定理的意義

定理2說明，給定任意分布形態(tài)的總體（即使不知道總體的分布類型也無關(guān)緊要），其均值為μ，方差為σ2，從中抽出容量為n的樣本；只要樣本容量n足夠大，樣本均值的分布就近似服從均值為μ，方差為的正態(tài)分布.它指出了樣本均值與總體均值的關(guān)系，奠定了抽樣推斷的基礎(chǔ).學(xué)生如果不能較好地理解樣本均值的抽樣定理，就不能進(jìn)一步理解參數(shù)估計和假設(shè)檢驗這些統(tǒng)計推斷的原理.

4 兩個定理的聯(lián)系與區(qū)別

從3.2可以看出，樣本均值的抽樣分布定理（定理2）其實是獨立同分布的中心極限定理（定理1）的推論！這也說明，中心極限定理是數(shù)理統(tǒng)計中大樣本統(tǒng)計方法必不可少的理論基礎(chǔ)，體現(xiàn)了中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識體系中的承啟的作用.

但兩者的意義不同，在概率論與統(tǒng)計學(xué)中的地位也不盡相同.中心極限定理非常重要，而樣本均值的抽樣分布也有它的理論意義，是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)理論之一（詳見3.3）.

5 總結(jié)

把獨立同分布的中心極限定理和樣本均值的抽樣分布定理進(jìn)行聯(lián)系教學(xué)，旨在讓學(xué)生認(rèn)識到這兩個抽象定理的聯(lián)系與區(qū)別.一方面，讓學(xué)生更加明確這兩個定理的理論意義和應(yīng)用價值；另一方面，在解決實際問題時，可引導(dǎo)學(xué)生把這兩個定理視為同一個定理，減少結(jié)論的記憶量，消除學(xué)生對抽象定理的恐懼或抵觸心理，培養(yǎng)、提高學(xué)生應(yīng)用定理解決具體問題的能力.