探討解未定式極限的方法

劉建峰，熊艷琴

（南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044）

1 引言

極限是貫穿數(shù)學(xué)分析始終的基本問題，數(shù)學(xué)分析中的包括連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分在內(nèi)的幾乎全部的基本概念都離不開極限.因此，極限運算是數(shù)學(xué)分析中十分重要的內(nèi)容，而未定式極限是極限運算中的一個重要類型.未定式極限問題的出現(xiàn)還要早于極限理論[1]，甚至還要早于微積分的出現(xiàn).早在16世紀(jì)就已經(jīng)有了關(guān)于未定式極限的問題出現(xiàn)，比如求解瞬時速度就是求解一個型未定式極限.事實上，微積分處理的問題中的一部分——求導(dǎo)問題，就是一類型未定式極限問題.可以說，解決型未定式極限問題是微積分誕生的一個誘因.

未定式極限問題，本質(zhì)上就是一類特殊的極限的四則運算問題.假設(shè)變量

則變量x與變量y之間的四則運算都可以直接使用實數(shù)的四則運算法則，先對變量取極限，這時極限值就是一個實數(shù)，對實數(shù)就可以使用實數(shù)的四則運算法則，即極限運算與四則運算可以進(jìn)行交換.但當(dāng)a=0或a=∞時，情況出現(xiàn)了變化.極限取值不能簡單確定，這也是未定式極限這一名稱的由來.

求解未定式極限的最常用的方法是洛必達(dá)法則[2,3]，洛必達(dá)法則可以解決絕大多數(shù)的比式型的未定式極限，洛必達(dá)法則的出現(xiàn)是解決未定式極限問題的歷史性的一刻.為了借用洛必達(dá)法則基本解決未定式極限問題，將其余非比式型的未定式極限轉(zhuǎn)化為比式型的未定式極限也就顯得十分必要了.

2 求解未定式極限的方法

方法一：約去0因式

定義1[1,2]若函數(shù)f(x)是由多個因式組成，函數(shù)u(x)滿足，且 f(x)=u(x)f1(x)，則稱 u(x)是 f(x)當(dāng) x→ω 時的一個0因式.若函數(shù)f1(x)同時滿，稱 u(x)是 f(x)當(dāng) x→ω時的全部0因式.

以v(x)=u(x)q(x)為例，則f(x)=u(x)f1(x),g(x)=v(x)g1(x)=u(x)q(x)g1(x)，從而

例1求極限

解原式

注：在運用約去0因式方法時，需要通過因式分解將分母的0因式分解出來，再與分子約分消去0因式.如果不能將分母的全部0因式約去，則約去0因式方法不能解決未定式極限問題.

方法二：等價無窮小替換

定義2[1,2]，則稱當(dāng)x→ω時u(x)是無窮小量.在此前提下，若，則稱當(dāng) x→ω 時 u(x)和 v(x)是等價無窮小量，記為u(x)～v(x)(x→ω).

定理 1[1]若 u(x)～f(x)(x→ω).，則有：

下面通過一個例子來說明如何運用等價替換方法求解未定式極限.

例2求極限

解首先

則有

可以看到，在解題的最后一步運用到了約去0因式方法，等價無窮小替換與約去0因式一般是相伴出現(xiàn)的.

注：等價無窮小替換一般不單獨用來處理不定式極限，而是結(jié)合其他方法，通過等價替換將函數(shù)的結(jié)構(gòu)變得簡單同時，需要注意的是，在乘除運算中可以使用等價無窮小替換，但在加減運算中使用替換可能會導(dǎo)致錯誤.比如，我們來看下面一個例子.

例3求極限

解可以看到分母是一個差式，如果直接進(jìn)行等價無窮小替換，則會得到如下結(jié)果

但實際上

方法三：洛必達(dá)法則

定理2[2,3]對于極限，當(dāng)函數(shù) f(x)和 g(x)在 U0(ω)上可導(dǎo)，且g'(x)≠0時.若此時有

例4求極限

解顯然，該極限是型未定式極限，運用洛必達(dá)法則，有

例5求極限

解顯然，該極限是型未定式極限，反復(fù)運用洛必達(dá)法則得到

方法四：泰勒公式

定理3[1,2,4]設(shè)函數(shù)f(x)在ω處有n階導(dǎo)數(shù)，則存在ω的一個鄰域 u(ω)，任意 x∈U(ω)，有

稱rn(x)為Peano余項，且滿足

前n+1項組成的多項式

稱為f(x)的n次Taylor多項式.

上述公式稱為f(x)在x=ω處的帶Peano余項的Taylor公式.

例6求極限

解將在x=0處展開

代入極限，得

例7求極限

解若對這個未定式極限直接運用泰勒公式，需要將函數(shù)與sin2x在x=0處展開到5階，即將函數(shù)ln展開到5階，有

代入極限，得

這樣計算十分繁瑣，但若在運用泰勒公式之前先運用約去0因式與等價無窮小替換的方法，就可以大大簡化計算.

首先

則有

分子、分母同時約去0因式x，得到極限

可以發(fā)現(xiàn)，在運用了約去0因式與等價無窮小替換方法之后，原本較復(fù)雜的未定式極限化為了較易處理的極限，極限的求解過程在例6中已經(jīng)給出.

3 求解未定式極限方法之間的聯(lián)系

3.1 約去0因式與等價無窮小替換之間的聯(lián)系

約去0因式要求分母得0因式能夠和分子約分消去，但這一要求比較高，而等價無窮小替換能夠為約去0因式服務(wù)，使得分母得0因式被約去的概率大大提高.同時若在等價無窮小替換之后不進(jìn)行約去0因式，則等價無窮小替換的操作就沒有了意義，等價無窮小替換之后必然進(jìn)行約去0因式.這兩種方法往往相伴出現(xiàn).

3.2 等價無窮小替換與泰勒公式之間的聯(lián)系

等價無窮小替換，本質(zhì)上就是略去尾式后的在x=0處的泰勒公式.參考等價無窮小替換

sinx在x=0處的泰勒公式為

令兩端 x→0，略去 o(x)，得

即sinx的等價無窮小替換

3.3 洛必達(dá)法則與泰勒公式之間的聯(lián)系

將函數(shù)f(x)和g(x)在x=ω處進(jìn)行泰勒展開，得

兩端令x→ω，得

故

當(dāng) g'(ω)≠0 時，且函數(shù) f'(x)和 g'(x)在 U(ω)上連續(xù)，則有

即運用一次洛必達(dá)法則.

當(dāng) g"(ω)≠0 時，且函數(shù) f"(x)和 g"(x)在 U(ω)上連續(xù)，則有

即反復(fù)運用兩次洛必達(dá)法則.

此后反復(fù)以上步驟，可發(fā)現(xiàn)泰勒公式是洛必達(dá)法則的核心，是洛必達(dá)法則的本質(zhì)，在運用上相比與洛必達(dá)法則較為復(fù)雜，但使用范圍更廣.