凸顯“比較”的本質(zhì)，感受“標(biāo)準(zhǔn)”的價(jià)值

顧文立

一、問題的提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本單位，是構(gòu)成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，是數(shù)學(xué)思維發(fā)生和發(fā)展的前提。倍概念是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓好的重要一環(huán)。

二、什么是“倍”

（一）“倍”的定義

“倍”的概念實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，它建立在乘法概念的基礎(chǔ)上，在實(shí)際教學(xué)中是從“幾個(gè)幾”逐步抽象出來的數(shù)學(xué)概念，它為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等概念奠定重要基礎(chǔ)。倍的概念更多的應(yīng)用在解決問題方面，在解決有關(guān)倍、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比的實(shí)際問題時(shí)強(qiáng)調(diào)的是比較關(guān)系。比較的關(guān)鍵是確定標(biāo)準(zhǔn)，將標(biāo)準(zhǔn)量看做一個(gè)單位，通過確定比較量有幾個(gè)單位或者是幾分之幾個(gè)單位來確定兩者之間的倍比關(guān)系。在比較中“比較量”除以“標(biāo)準(zhǔn)量”等于“比率”，這是比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的基本數(shù)量關(guān)系，是最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。帶著這樣的思考我對(duì)人教版教材進(jìn)行了梳理。

（二）教材梳理

“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版義務(wù)教育教科書第五冊(cè)第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”中的一個(gè)內(nèi)容。新教材將原來分散在二年級(jí)上冊(cè)和下冊(cè)的關(guān)于“整數(shù)倍”的內(nèi)容在三上第五單元集中編排。由于“倍”概念非常抽象，這部分知識(shí)的后移，既能使得學(xué)生學(xué)習(xí)的難度降低，又不再受到所學(xué)乘、除法的限制，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)更具邏輯性。而且，對(duì)比人教版、蘇教版和師大版教材發(fā)現(xiàn)，不同版本的教材都是通過有層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)在比較中建立“幾倍”與“幾個(gè)幾”之間的聯(lián)系，經(jīng)歷“倍”概念模型的建立過程。新人教版教材中的素材也是通過兩個(gè)量的比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“一份”和“幾份”，同時(shí)明確“幾份”的產(chǎn)生是由“一份”決定的（以這“一份”為標(biāo)準(zhǔn)），“幾份”也就是幾倍，由此通過多次感知建立“倍”的概念和數(shù)學(xué)模型。這樣的編排有效地滲透了“類比”的思想方法，讓學(xué)生加深對(duì)“倍”的含義的理解。這一編排更符合學(xué)生由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

（三）“倍”的核心思想

“倍”概念實(shí)質(zhì)上是體現(xiàn)了兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，所以“比較”就是“倍”概念的核心思想。那么我們繼續(xù)追問，什么是比較呢？數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，包括量的大小比較、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的比較、數(shù)學(xué)性質(zhì)的比較等。在小學(xué)階段我們涉及到的主要是量的大小比較、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的比較。

比較關(guān)系從知識(shí)點(diǎn)的角度說可以分為這樣幾個(gè)層次：首先是定性的比較（如長(zhǎng)短、高矮）；這些比較簡(jiǎn)單。接下來是定量的比較，定量比較是學(xué)生建立了相等這個(gè)概念之后學(xué)習(xí)的；首先是一年級(jí)出現(xiàn)的相差關(guān)系；之后是二年級(jí)開始出現(xiàn)的倍比關(guān)系（倍）；再往后是高年級(jí)出現(xiàn)的比率關(guān)系（分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比）。

三、學(xué)生研究

通過前測(cè)可以看出，絕大多數(shù)同學(xué)能正確比較兩個(gè)量的相差關(guān)系，但很少有同學(xué)關(guān)注到倍數(shù)關(guān)系。雖然有些學(xué)生聽說過“倍”，但大多學(xué)生對(duì)倍概念不清楚，并且在概念理解中明顯存在原有認(rèn)知“相差關(guān)系”的負(fù)遷移。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”概念時(shí)確實(shí)有一定困難，其核心困難是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生質(zhì)的變化。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)

上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生加法結(jié)構(gòu)的建構(gòu)為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了最基本的知識(shí)準(zhǔn)備和心理發(fā)展準(zhǔn)備。前測(cè)可以看出在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是加法結(jié)構(gòu)，是數(shù)量的合并與多少的比較，未曾學(xué)習(xí)兩個(gè)量之間的比率關(guān)系，對(duì)兩個(gè)量或多個(gè)量之間的比率關(guān)系問題的真正理解需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起乘法，而“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)，是乘法結(jié)構(gòu)構(gòu)建的開始。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系。從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度質(zhì)的變化，“倍”的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會(huì)，乘法的初步認(rèn)識(shí)是從特殊的加法的角度學(xué)習(xí)的，還是合并與累加的過程，本質(zhì)上仍是加法結(jié)構(gòu)。

四、我的思考

學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”都要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難?！氨丁钡母拍畹慕?gòu)，不僅需要有“幾個(gè)幾”和“份”等前期經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，更需要在比較的背景下逐層建構(gòu)倍的概念，并且利用比較的方法，借助多種表征方式之間的轉(zhuǎn)換理解倍的概念，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解“倍”的本質(zhì)。

從問題解決角度看，在日常生活與數(shù)學(xué)中，與倍密切相關(guān)的問題主要有三類：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少？求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍？已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)。這是建構(gòu)形成乘法結(jié)構(gòu)的最基本的模型，如果對(duì)“倍”的理解不深刻，不全面，必然導(dǎo)致片面的理解“倍”概念。

“倍的認(rèn)識(shí)”作為單元起始課，應(yīng)讓學(xué)生在兩個(gè)量的比較中，體會(huì)以標(biāo)準(zhǔn)量為“單位”衡量比較量中有幾個(gè)“單位”的比較過程，逐步建構(gòu)倍的概念，并在解決問題中將其化歸到“幾個(gè)幾”的策略上，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維從相差關(guān)系到倍數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)向。

因此，倍的初步認(rèn)識(shí)必須創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)又能解釋倍的數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)，借助多種方式，讓學(xué)生在比較的過程中循序漸進(jìn)認(rèn)識(shí)“倍”的含義，構(gòu)建“倍”的模型，理解“倍”的本質(zhì)，并從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在豐富多樣的活動(dòng)中理解倍。

基于此，我想將倍的概念分為如下三層進(jìn)行建構(gòu)：

以上只是我對(duì)“倍概念”單元教學(xué)的一些思考，我們不圖課堂表面上的華麗，要的是孩子們真實(shí)學(xué)習(xí)力的提升。有了這些思考，課堂才能高效，才能切實(shí)減輕學(xué)生過重課業(yè)負(fù)擔(dān)。讓每一個(gè)課堂成為生命引領(lǐng)生命、智慧點(diǎn)燃智慧的過程。我堅(jiān)信，當(dāng)教學(xué)研究與綠色理念、與綠色課堂實(shí)踐并進(jìn)時(shí)，我的數(shù)學(xué)課堂將會(huì)煥發(fā)出無窮的活力！

參考文獻(xiàn)

[1]沈百軍.概念教學(xué)的基點(diǎn)與策略[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2012，8.

[2]張冬梅.從兒童學(xué)習(xí)心理角度分析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010，11.

[3]李立榮.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考[J].教材教法.

[4]彭永新.教學(xué)需要怎樣的深度[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2011，10.

[5]小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北師大出版社，2012，1.