關(guān)于向量組線性相關(guān)性的教學(xué)

繆應(yīng)鐵

摘 要 現(xiàn)階段，向量組線性之間的相關(guān)性問題屬于線性代數(shù)教學(xué)期間的關(guān)鍵性內(nèi)容，直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性，該內(nèi)容的基礎(chǔ)概念相對抽象，而且其中的相關(guān)定理也非常難理解，學(xué)生需要花費(fèi)大量時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)與掌握。所以，長時(shí)間以來，逐漸成為線性代數(shù)教學(xué)過程中的難點(diǎn)問題。從某種程度上講，借助對向量組線性相關(guān)性所具有的基本定義與相關(guān)判斷方法實(shí)施正確解讀與形象描述，能夠順利建立起向量組線性相關(guān)性以及線性方程組與矩陣相互間的內(nèi)在關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，更好地幫助學(xué)生對向量組線性相關(guān)性內(nèi)容的學(xué)習(xí)，深刻理解其內(nèi)涵，掌握相對簡便的求解方法。

關(guān)鍵詞 線性表出 線性相關(guān) 線性無關(guān) 線性方程組

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)必修課程的專業(yè)基礎(chǔ)課程，能夠在一定程度上有效鍛煉學(xué)生自身的抽象能力以及邏輯思維能力，與此同時(shí)，對學(xué)生創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力培養(yǎng)有著非常強(qiáng)的指導(dǎo)作用，學(xué)好高等代數(shù)意義重大。此外，高等代數(shù)課程不僅具有相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝R體系，而且還有著較強(qiáng)的邏輯推理，其中的大量概念是對具體對象相互間共性的抽象化。向量組的線性相關(guān)性知識是本課程的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，它貫穿于線性代數(shù)課程的始終。向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的判定這個(gè)課題，實(shí)質(zhì)上，它與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的多項(xiàng)環(huán)節(jié)都息息相關(guān)，比如，它與行列式以及矩陣等都有著緊密聯(lián)系，但是向量線性相關(guān)以及線性無關(guān)兩者的最終判別卻是非常難理解的，也是學(xué)生理解學(xué)習(xí)的難點(diǎn)內(nèi)容。

1 向量組線性相關(guān)性與線性表示的概念

定義1對n維向量組如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，km，使得

k1 +k2 +…+km =0， （1）

則稱向量組線性相關(guān)，否則稱它們線性無關(guān)。

定義2 對n維向量%[與向量組如果存在實(shí)數(shù)k1，k2，…，km，使得

%[= k1 +k2 +…+km （2）

則稱單個(gè)向量%[可由向量組線性表出。

實(shí)質(zhì)上，向量組線性相關(guān)所具有的充分必要條件是向量組當(dāng)中必須要有一個(gè)向量可以由其他部分線性表出，其中需要注意的是“存在性”，也就是說，只需要存在就行。在實(shí)際教學(xué)期間，若學(xué)生依然難以理解不同定義見的關(guān)系，則我們可以將其用一個(gè)相對簡單化的語言進(jìn)行詳細(xì)表述，這種情況下，學(xué)生會(huì)更容易接受這種概念，進(jìn)而熟練掌握學(xué)習(xí)方法。

要證明向量組線性相關(guān)，就需要找到一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，使它們的線性組合等于0，而對于證明向量組線性無關(guān)，不可能對所有不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，驗(yàn)證（1）式不成立，從而說明只有全為零k1，k2，…，km，使（1）式成立，在介紹線性方程組時(shí)指出其解與向量組的線性相關(guān)性與線性表示之間的緊密關(guān)系。同樣地，在介紹向量組和矩陣的秩時(shí)應(yīng)指出其重要用途之一就是用來進(jìn)行線性方程組解的判定。

線性無關(guān)和線性相關(guān)其實(shí)非常直觀，舉個(gè)例子：紅R，綠G，藍(lán)B是色彩的三原色，這三種顏色可以混合出其他所有顏色。假設(shè)這三個(gè)值都可以取0-255之間的整數(shù)值。比如純紅（255，0，0），純綠（0，255，0），純藍(lán)（0，0，255），紫色（255，0，255），全白（255，255，255），全黑（0，0，0），等等。

現(xiàn)在三種顏色e1=（1，0，0），e2=（0，1，0），e3=（0，0，1）可以組合成其他任何顏色，比如某一顏色a=（24，0，127）=24*e1+0*e2+127*e3 所以a和e1，e2，e3是線性相關(guān)的。但是e1，e2與e3這三個(gè)之間不能由其余兩個(gè)線性表出（比如e2與e3組合出來的第一個(gè)分量永遠(yuǎn)是0，不能變?yōu)?），所以e1，e2，e3是線性無關(guān)的。

如果向量組A線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)k1，k2，……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0因?yàn)閗1，k2，……，km不全為0，不妨設(shè)k1不等于零，所以a1=-1（k2a2+……+kmam）/k所以a1能由a2，a3，a4……am線性表示，如果向量組A中有某個(gè)向量能由其余向量線性表示，不妨設(shè)am能由a1，a2……am-1線性表示，既有h1，……h(huán)m-1使am=h1a1+……h(huán)m-1am-1，所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0，因?yàn)閔1，h2，……，hm-1，-1這m個(gè)數(shù)不全為零（至少-1不等于0），所以向量組A線性相關(guān)。

定理1 假設(shè)向量組Ⅰ為而向量組Ⅱ?yàn)?/p>

（i） 若向量組Ⅰ線性相關(guān)，則向量組Ⅱ也線性相關(guān)；

（ii）若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則向量組Ⅰ也線性無關(guān)。

幾個(gè)n維向量組線性相關(guān)，意思就是他們在同一個(gè)維空間中。例：（1，2）和（2，4）線性相關(guān)，他們在同一平面內(nèi)，（1，2）和（1，3）線性無關(guān)，他們不在同一平面內(nèi)。n個(gè)向量線性無關(guān)就是他們都各占一個(gè)空間維度，不能互相加減抵消，共同張成了一個(gè)n維空間（想象一下空間直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)軸）。有一個(gè)定理是說，n維空間中的m個(gè)向量，若m>n，必線性相關(guān)。按上面的理解，這個(gè)定理就是：一條直線上只能有一個(gè)互不共線的向量，同一平面內(nèi)最多有2個(gè)不共面的向量，三維空間內(nèi)最多有3個(gè)。這都是很顯然的。極大線性無關(guān)組指出向量組中最多有幾個(gè)向量線性無關(guān)，也就是這個(gè)向量組張成了一個(gè)多少維的空間。

（1）向量組向量總數(shù)不變但都增加（或都去掉）相同個(gè)數(shù)的分量；

（2）向量組每個(gè)向量的分量個(gè)數(shù)（即維數(shù)）不變但向量組向量個(gè)數(shù)增加（或減少） 向量組線性相關(guān)可理解為存在一組系數(shù)向量組的每一維，該系數(shù)對應(yīng)的線性方程都成立，線性無關(guān)則可理解為不存在滿足上述條件的系數(shù)。一n維向量組線性相關(guān)，說明存在一組系數(shù)使n維對應(yīng)的n個(gè)方程都成立，去掉相同個(gè)數(shù)的分量，維數(shù)降低，方程個(gè)數(shù)減少，同一組系數(shù)當(dāng)然還是能使每個(gè)方程成立。一n維向量組線性無關(guān)，說明不存在一組系數(shù)使n維對應(yīng)的n個(gè)方程都成立，增加相同個(gè)數(shù)的分量，維數(shù)增加，方程個(gè)數(shù)變多，滿足更強(qiáng)條件的系數(shù)當(dāng)然就更不存在了。增加向量組向量的個(gè)數(shù)，相當(dāng)于增加上述線性方程的元數(shù)，如果較少元數(shù)都能找到滿足條件的系數(shù)，取同一組系數(shù)，對增加的元數(shù)令系數(shù)為0，易知如此擴(kuò)展的一組系數(shù)也必定滿足條件。上述結(jié)論的逆否命題即為，減少向量組向量的個(gè)數(shù)，原來無關(guān)的向量組仍應(yīng)無關(guān)。

解：方法⑴

設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3使k1%Z1+k2%Z2+k3%Z3=0，可得

k1+k2+k3=0

k2+2k3=0

2k1+3k2+4k3=0

3k1+5k2+tk3=0

由前三個(gè)方程得k1=k3，k2=-2k3，代入第四個(gè)方程得（t-7）k3=0，要找到不全為零的數(shù)k1，k2，k3滿足方程，k3必不等于0，于是t=7時(shí)有%Z1-2%Z2+%Z3=0，

即%Z1，%Z2，%Z3線性相關(guān)。

方法⑵

因?yàn)?Z1，%Z2線性無關(guān)，如果%Z1，%Z2，%Z3線性相關(guān)，必有%Z3可

由%Z1，%Z2線性表出。設(shè)%Z3=a%Z1+b%Z2，則：

a+b=1

b=2

2a+3b=4

3a+5b=t

，解得

t=7，此時(shí)%Z1，%Z2，%Z3線性相關(guān)。

證明：n維向量組a1，a2，…，an線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量a都可以由它們線性表示。

證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1，a2，…，an線性表示，那么，特別地，n維單位坐標(biāo)向量組也都可以由它們線性表示，又向量組a1，a2，…，an也可由n維單位坐標(biāo)向量線性表示。所以，向量組a1，a2，…，an與n維單位坐標(biāo)向量組等價(jià)。

而n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)組，從而向量組a1，a2，…，an也是線性無關(guān)組。

必要性 若n維向量組a1，a2，…，an線性無關(guān)，又任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)，設(shè)a是任一n維向量，則向量組a，a1，a2，…，an線性相關(guān)，故a可以由a1，a2，…，an線性表示。

如果深入思考可以發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)中每一個(gè)定義，定理都有其現(xiàn)實(shí)意義，代數(shù)就是對現(xiàn)實(shí)的高度抽象。人們從3個(gè)蘋果，3個(gè)梨，3個(gè)人這些東西中抽象出了他們的共同特征：數(shù)字，并定義了他們的運(yùn)算。后來發(fā)現(xiàn)不止是數(shù)字可以運(yùn)算，于是又從數(shù)字抽象出群，環(huán)，域，線性空間等代數(shù)結(jié)構(gòu)，等等。線性代數(shù)主要研究的是線性空間上的線性變換，線性在生活中是普遍存在的，可以說是宇宙中最簡單的關(guān)系，分析學(xué)中許多非線性的東西也可以用線性來近似。

參考文獻(xiàn)

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 劉曉民，李貞.關(guān)于《高等代數(shù)》教學(xué)的點(diǎn)滴體會(huì)[J].商洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2003.17（3）：81-82 .