基于概念認(rèn)知，回歸基礎(chǔ)練習(xí)

羅梅蘭

三角形面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)。從數(shù)學(xué)整體視角來看，任意一個(gè)多邊形都可以從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，引出多條對(duì)角線來將圖形分割為多個(gè)三角形。因此掌握了三角形面積的計(jì)算便可以解決多邊形面積的求解問題。

一、課堂教學(xué)過程

關(guān)于三角形面積的求解，教材中的一致思路就是：通過將兩個(gè)全等三角形拼成一個(gè)長方形或平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)。這個(gè)方法是最為簡單的，學(xué)生們理解起來也非常直觀。根據(jù)這一思路，在教學(xué)中筆者試著逐步引導(dǎo)學(xué)生通過以下三種方式推導(dǎo)三角形的面積公式。

第一，實(shí)物拼接。拿兩個(gè)完全相同的銳角三角形，讓其中相等的兩條邊重合，把兩個(gè)三角形連在一起，正好拼成一個(gè)平行四邊形。平行四邊形的一條邊相當(dāng)于三角形的底，平行四邊形的高相當(dāng)于三角形的高，所以得出這個(gè)銳角三角形的面積就是平行四邊形的一半。

第二，剪拼。在一張長方形的紙上畫出一個(gè)最大的等腰銳角三角形，然后把紙上剩余的兩個(gè)空白部分剪下來，拼在我們畫的銳角三角形上，可以發(fā)現(xiàn)拼起來的三角形和之前所畫的銳角三角形完全重合，所以得出這個(gè)銳角三角形的面積是長方形面積的一半。這個(gè)長方形的寬相當(dāng)于銳角三角形的底，長方形的長相當(dāng)于銳角三角形的高。

第三，割補(bǔ)法。把等腰三角形攔腰剪開，將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。平行四邊形的高=三角形的高÷2，因此平行四邊形面積=三角形面積=底×三角形的高÷2。

以此類推，我們又分別用直角三角形和鈍角三角形進(jìn)行了驗(yàn)證，學(xué)生們對(duì)于“三角形面積是長方形或平行四邊形面積的一半”的認(rèn)知接受得非常好，對(duì)于面積公式的理解也很到位。

二、授課后出現(xiàn)的問題

課堂上學(xué)生們學(xué)習(xí)的氣氛很好，知識(shí)掌握也不錯(cuò)，但是在隨堂練習(xí)及課后作業(yè)中暴露出兩點(diǎn)問題：一是對(duì)“底”和“高”的認(rèn)識(shí)比較片面，雖然多種轉(zhuǎn)化方法都顯示三角形面積是長方形或平行四邊形面積的一半，但是很多學(xué)生對(duì)“等底等高的三角形面積相等”這個(gè)概念還是不理解；二是形象思維不能有效地向理性思維過渡，對(duì)面積公式中的“二倍關(guān)系”不能建立理性認(rèn)知。

例如：平行四邊形底邊的中點(diǎn)是A，平行四邊形的面積是48 cm2，求涂色的三角形的面積。（圖1）

在此前的教學(xué)中，學(xué)生們知道三角形面積=底×高÷2，但在這個(gè)問題中，底和高都是未知的，于是很多學(xué)生只求出平行四邊形面積的一半是24，但對(duì)于涂色三角形的面積是“24÷2=12”就不能理解，他們沒有發(fā)現(xiàn)涂色三角形與它旁邊的細(xì)長三角形面積存在相等關(guān)系。這就說明學(xué)生們對(duì)于“底”和“高”的認(rèn)識(shí)比較片面，對(duì)“等底等高的三角形面積相等”這個(gè)概念更是不理解，對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解單純停留在了形象思維層面，而沒有對(duì)面積公式建立理性的認(rèn)知。這樣的僵化思維容易讓問題解決的過程更加繁瑣。三角形面積的求解離不開“底”和“高”，只有正確認(rèn)識(shí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)才能掌握這部分內(nèi)容。

三、授課反思

在最初的授課過程中，筆者采用過數(shù)方格的方式對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行講解，數(shù)方格的方法工作量大，而且學(xué)生的推理能力得不到鍛煉。于是在參考了其他教師的教學(xué)意見之后，筆者開始采用實(shí)物剪切、拼接與割補(bǔ)的方式來授課，通過這樣的方式，學(xué)生們從“數(shù)”與“形”的角度都形成了理解。但是在剪切、拼接和割補(bǔ)的過程中，學(xué)生們對(duì)“形”的理解都占據(jù)主要地位，而弱化了對(duì)量的理性分析。自然就容易出現(xiàn)類似例1的問題。

基于上述思考，筆者決定改進(jìn)設(shè)計(jì)，再從數(shù)方格的角度幫助學(xué)生鞏固新知。

四、課程后續(xù)設(shè)計(jì)

在學(xué)生完成三角形面積公式的推導(dǎo)后，筆者結(jié)合數(shù)方格的方式給學(xué)生們?cè)O(shè)計(jì)了一道新題目。取一張由相同的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格紙，在上面繪制不同形狀的三角形。第二節(jié)課上課前，筆者把這張紙發(fā)放給學(xué)生們，并告訴他們：“紙板上有五個(gè)形狀各異的三角形（如圖2），請(qǐng)大家自己繪制三角形的高，然后量一量、算一算這些三角形的面積分別是多少，并把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄。”

學(xué)生們拿到紙板，就迅速開始計(jì)算。有的學(xué)生非常善于觀察，他們發(fā)現(xiàn)了三角形之間等高的性質(zhì)，在下面小聲說：“它們面積相等?！边€有的學(xué)生仔細(xì)地繪制高，量邊長，測(cè)高度，他們中間有不少以長邊做底，繪制高。

很快學(xué)生們就計(jì)算出了結(jié)果。筆者問學(xué)生們從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，學(xué)生們回答：“前四個(gè)三角形面積相等?！逼鋵?shí)，筆者在這張圖上做了一些處理，最后一個(gè)三角形的底邊比其他幾個(gè)長了一小格。這時(shí)候，之前一看圖就說它們面積相等的學(xué)生才發(fā)現(xiàn)最后一張圖的玄機(jī)。先入為主，也是小學(xué)生常常犯的一個(gè)錯(cuò)誤，粗心大意，想當(dāng)然地認(rèn)為結(jié)果是多少，卻不認(rèn)真觀察和計(jì)算，所以就常出錯(cuò)。

很多細(xì)心的學(xué)生在上面的練習(xí)中分別以各個(gè)邊做底，再找高來測(cè)算面積。筆者從中挑選了幾位學(xué)生的作業(yè)呈現(xiàn)在大屏幕上，讓學(xué)生們比較其異同。對(duì)比之后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：以短邊為底來做高，在計(jì)算三角形面積的時(shí)候可能更容易，尤其對(duì)于鈍角三角形，從外部做高，很多時(shí)候計(jì)算起來更加簡便。

五、結(jié)語

三角形的面積是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，通過探究、歸納、總結(jié)，學(xué)生們很容易由特殊到一般，得出三角形面積的計(jì)算公式，但在實(shí)際應(yīng)用中，很多學(xué)生又會(huì)出現(xiàn)應(yīng)用不夠靈活的現(xiàn)象。從概念出發(fā)，多做基礎(chǔ)練習(xí)，完善數(shù)學(xué)思維，能使學(xué)生建構(gòu)的三角形知識(shí)框架更加清晰、明了，不僅掌握了知識(shí)，還掌握了探究學(xué)習(xí)的方法，為以后進(jìn)行問題探究奠定基礎(chǔ)。

（作者單位：福建省閩侯縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）