滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

于鳳霞

摘 要：《初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中要適當(dāng)滲透與教材難度相匹配的數(shù)學(xué)思想，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的規(guī)律與本質(zhì)，是對解決數(shù)學(xué)問題的眾多方法的概括與提煉。作為一名數(shù)學(xué)教師，筆者多年來立足課堂，深入研究，致力于引導(dǎo)學(xué)生步入數(shù)學(xué)世界的大門并能越走越遠(yuǎn)。在本文中，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勅绾螐臄?shù)學(xué)思想著手來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 思維能力 教學(xué)策略

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段。合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，有助于讓他們更快捷地獲取信息、更透徹地理解知識。那么，筆者從以下四個方面介紹具體的實施策略。

一、集合，建構(gòu)知識體系

集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向初中數(shù)學(xué)滲透的重要標(biāo)志。它將一組相關(guān)聯(lián)的對象放在一起，通過討論它們的相關(guān)性和無關(guān)性來建立集合，在一定程度上把相對抽象的數(shù)學(xué)對象有條理地列舉出來，在學(xué)生的腦海中建構(gòu)起知識體系，使知識點一目了然。

數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識不斷深入地學(xué)習(xí)，學(xué)生所接觸的數(shù)集也越來越大?；A(chǔ)不好的學(xué)生對數(shù)集的關(guān)系感到難以捉摸，于是在學(xué)習(xí)《實數(shù)》這一節(jié)時，筆者利用集合圖為學(xué)生梳理各數(shù)集的關(guān)系。由于一些概念學(xué)生已經(jīng)記憶得不準(zhǔn)確了，于是筆者和學(xué)生一起查閱教材，將各數(shù)集的定義書寫在黑板上，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各數(shù)集的范圍填寫集合圖。在定義的梳理過程中學(xué)生就可明確實數(shù)集的范圍最大，于是先畫了一個大圓表示實數(shù)集，又在其中畫了兩個小圓表示有理數(shù)集和無理數(shù)集。而有理數(shù)又包括整數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，所以再在有理數(shù)的小圓中畫兩個更小的圓表示。整數(shù)又由正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、“0”三者構(gòu)成，而“0”與正整數(shù)共同構(gòu)成了自然數(shù)集，所以在整數(shù)集中畫出兩個圓表示自然數(shù)集和負(fù)整數(shù)集。最終各數(shù)集的關(guān)系經(jīng)過集合圖清晰地展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生建構(gòu)了關(guān)于數(shù)集的知識體系。

集合思想可以使知識與邏輯更趨于統(tǒng)一，也能使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化。在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識體系的過程中，學(xué)生們對知識點的理解會更加深刻，記憶也能更加牢固。同時，學(xué)生們也能自主地運(yùn)用集合思想把數(shù)學(xué)難題簡單化，在提升自身思維能力的過程中提高自己的解題能力。因此，向?qū)W生們滲透集合思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效方法。

二、 轉(zhuǎn)化，助力邏輯推理

轉(zhuǎn)化思想是把一個問題通過某種內(nèi)在關(guān)系轉(zhuǎn)化成另一個問題的過程。它能把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成一個較簡單的問題，從而解決數(shù)學(xué)問題，也能通過兩個問題之間的相互轉(zhuǎn)化去探究它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步明確兩個知識點之間的關(guān)系。最終，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

例如在學(xué)習(xí)《多邊形及其內(nèi)角和》時，筆者在黑板上畫出一個不規(guī)則四邊形對學(xué)生說：“老師想知道這個四邊形的內(nèi)角和，你們知道怎么獲得嗎？”學(xué)生著急地說：“等一下，我用量角器量完告訴您?！惫P者解釋道：“大家都知道量角器這些量具測量總會存在系統(tǒng)誤差和人為誤差，還有什么別的辦法呢？還記得我們求解二元一次方程組時是把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)的一元一次方程，四邊形能不能轉(zhuǎn)化成三角形呢？”學(xué)生恍然大悟，在四邊形中連接了兩個對角成了兩個三角形，得出四邊形的內(nèi)角和是2×180°=360°。筆者繼續(xù)推動學(xué)生探究問題，說道：“此時你們能告訴我五邊、六邊甚至七邊、八邊形的內(nèi)角和嗎？”學(xué)生在紙上將多邊形轉(zhuǎn)化成多個三角形輕易得出結(jié)果，并總結(jié)自己的求解過程，得出多邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°。引導(dǎo)學(xué)生將多邊形轉(zhuǎn)化成三角形完成了多邊形內(nèi)角和的探究學(xué)習(xí)，推動了學(xué)生的思維發(fā)展。

轉(zhuǎn)化思想是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，它能化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次，化多元為一元，是解決問題的一種基本策略。學(xué)生在轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)了知識的類比遷移，也推動他們邏輯思維能力的發(fā)展。

三、極限，體會量變質(zhì)變

我們都知道初中數(shù)學(xué)基本被分類、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化化歸四大思想所占據(jù)，極限思想在考試的考察中少之又少，許多提倡實用主義的教師則忽視了其在教學(xué)中的滲透。然而極限是人們從有限向無限過渡、從量變認(rèn)識質(zhì)變的重要方法，是學(xué)生認(rèn)知事物轉(zhuǎn)變，發(fā)展思維邏輯推演的重要推力，因此在初中滲透極限思想對推動學(xué)生思維發(fā)展是必不可少的。

提到極限思想，在初中知識中繞不開對圓的認(rèn)知。圓因其特殊性，其相關(guān)知識是介紹極限思想的豐富資源。在講解圓的軸對稱性時筆者就有意識地向?qū)W生滲透極限思想。筆者對學(xué)生說：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多軸對稱圖形，其中最常見的一類是正多邊形，如正三角形、正四邊形，大家能告訴老師它們都有幾條對稱軸呢？”學(xué)生不難回答出：“正三角形有3條，正四邊形有4條，正n邊形有n條。”“那圓有多少條呢？”學(xué)生說：“圓的每條直徑都是圓的一條對稱軸，圓有無數(shù)條直徑所以就有無數(shù)條對稱軸?！贝藭r學(xué)生還未建立這兩部分之間的聯(lián)系，筆者提示說：“圓是不是可以看作一個正n邊形，當(dāng)正n邊形邊數(shù)n無限增大就可無限接近圓，由此正n邊形有n條對稱軸就可以推演出圓有無數(shù)條對稱軸了?！睂W(xué)生若有所思。

從正n邊形到圓是正n邊形邊數(shù)n的量變積累，圓是質(zhì)變的完成，以上過程幫助學(xué)生建立正n邊形對稱軸與圓對稱軸聯(lián)系的同時也讓學(xué)生體會了極限思想中量變到質(zhì)變的過程，推動了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

四、分類，嘗試逐一討論

分類討論是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用十分廣泛的思想方法，它根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同范圍的問題，從而逐類進(jìn)行討論。分類思想要求學(xué)生們能夠辨別自變量在不同條件下取不同值的細(xì)微差異，從而鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性和縝密性。

許多數(shù)學(xué)定義在其內(nèi)涵知識點中就已經(jīng)進(jìn)行了分類，如直角三角形中直角邊與斜邊的區(qū)別，等腰三角形中頂角與底角的分類。若學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識時沒有進(jìn)行深入、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎级鴰е＠鈨煽傻膽B(tài)度去解題，往往只能以失敗告終。如“在等腰△ABC中∠A=40°，則∠B=”一題中就存在分類思想，在做此題時學(xué)生很容易想當(dāng)然地認(rèn)為∠A是頂角，求得∠B是70°，忽視了題目中并沒有聲明∠A是頂角，遺漏了∠A是底角的這種可能。除此之外，一些概念本身就還有多種情況，更離不開分類討論。如任意實數(shù)a，求其平方根。其中實數(shù)a就有正數(shù)、負(fù)數(shù)、“0”三種情況，考慮到求平方根所以可以排除負(fù)數(shù)這種情況。在數(shù)學(xué)中涉及分類的情況還有很多，從數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識內(nèi)涵到數(shù)學(xué)的解題過程，都可滲透。

分類思想不僅僅是一種解題方法，它更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性。在教學(xué)中，教師應(yīng)將分類思想的培養(yǎng)與知識講解緊密結(jié)合，時刻提醒學(xué)生可能出現(xiàn)分類討論的情況，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。若脫離了基礎(chǔ)知識，分類思想的教學(xué)只是流于解題的無源之水，學(xué)生也難以理解思想的真諦。

巴甫洛夫曾說：“不依賴好方法，天才也將一事無成?！睌?shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的規(guī)律和本質(zhì)，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生從更高的角度審視問題，尋找更有效解題策略。在思想的指引下，學(xué)生更容易抓住問題的本質(zhì)特征，從而培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，深化了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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（作者單位：山東省桓臺縣城南學(xué)校）

□責(zé)任編輯：陳 易