探究導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用

程學祥

【摘要】自從新課標修改以來，導數(shù)添加進了標準課程中，因此，它的出現(xiàn)引起了教師們的關(guān)注.教師對于高中導數(shù)的教學，主要教會學生導數(shù)這個解決函數(shù)問題極為有效的途徑.學生運用導數(shù)解決函數(shù)問題能夠有利于其更好地理解問題，更好地掌握函數(shù)，并發(fā)展學生的思維.本文將探究導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；導數(shù)；解題；實際應用

對于這幾年的高考趨勢研究發(fā)現(xiàn)，出題人對導數(shù)這方面越來越重視，出現(xiàn)的頻率越來越高.現(xiàn)代教育提倡素質(zhì)教育，因此，教師在課堂教學中要能體現(xiàn)出數(shù)學的實用性.而導數(shù)，不僅一直是學生解題的一大突破點，也是高中數(shù)學的難點之一，所以教學應有側(cè)重.

一、高中導數(shù)的含義

導數(shù)在數(shù)學中的地位不言而喻，尤其是微積分方面，是其關(guān)鍵.導數(shù)是包含在函數(shù)概念中的，具有其基本性質(zhì).從高中數(shù)學教材上提供的概念來解釋，導數(shù)表現(xiàn)了函數(shù)的變化趨勢，在研究高中的一些簡單初等函數(shù)中時，求導通?？梢云鸬胶艽笞饔?高中的導數(shù)教學就應圍繞這一點來研究，教會學生如何靈活運用導數(shù)來解題.

二、導數(shù)在數(shù)學中的實際運用

（一）求導來判斷函數(shù)的單調(diào)性

在高考題中，求解函數(shù)的單調(diào)性一直是重中之重.而函數(shù)的單調(diào)性就是指函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)，遞增或遞減這種變化趨勢.假如學生并未學習導數(shù)時來解題，則必須畫出圖像或求相鄰兩點之差，這種方法不僅復雜費事，而且出錯率還很高.而高中導數(shù)的教學則為學生打開了函數(shù)研究的另一扇窗.引入導數(shù)后，學生只需對特定的函數(shù)求導后，在特定區(qū)間內(nèi)導數(shù)的數(shù)值小于0，則函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，反之則是單調(diào)遞增函數(shù).因此，從兩種方法的對比中我們就可以發(fā)現(xiàn)導數(shù)是幫助學生研究函數(shù)極其有利的工具，能提高解題效率.

（二）用導數(shù)解決不等式問題

近年來，高考試題的另一大熱點就是不等式.同樣的，解決方法有很多種，但是，導數(shù)卻依舊是其最簡潔明了的方法.常見的有將導數(shù)與不等式結(jié)合來出題.這要求學生能夠靈活運用導數(shù)來解決不等式問題.教師在課堂上也應做適當強調(diào).而運用導數(shù)這一方法的原理就是將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再通過導數(shù)來轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的研究，這樣只要判斷函數(shù)值是否滿足條件就可以判斷不等式是否成立.以人教版教材為例，第98頁的例題3，首先要由題目確定a，b的取值范圍，然后求出這個函數(shù)的導數(shù).在特定的區(qū)間內(nèi)，再求出導數(shù)的數(shù)值，就可以得到這個函數(shù)的單調(diào)性，最后通過比較大小值，就可以證明不等式成立.

（三）通過導數(shù)求最值

與其他類型的題目不同，求最值這類題目一般都是出現(xiàn)在高考試卷的末尾，也就是所謂的壓軸題.這種題目的目的一般是拉開學生之間的差距.雖然解決方法很多，但在求解部分難題時，用導數(shù)來解決此類問題是最為穩(wěn)妥有效的.并且，采用導數(shù)求導常常會打開學生的解題思路，加快解題速度.最常用的方法是利用二次函數(shù)求最值后，求得基本的數(shù)值.接下來一定要數(shù)形結(jié)合，解答的過程一定要細心并不斷參考之前的步驟，因為只要一點失誤，就會前功盡棄，所以這種方法實際上不適用于高考題中.高考題需要用最穩(wěn)固的方法來求解題目，而導數(shù)在解題中可以對函數(shù)的單調(diào)性精準判斷，而學生只需關(guān)注最值和關(guān)鍵的區(qū)間就行.假如是求解復合函數(shù)也可以采用導數(shù)，有異曲同工之妙.

（四）通過導數(shù)求切線

高考中的第四類問題就是求切線，這類問題難度不大，但是類型眾多，假如學生只采用一般的方法來求解，不僅步驟煩瑣而且出錯率很高.而從導數(shù)這方面來解題則會輕松很多.從本質(zhì)上來說，導數(shù)包含在函數(shù)內(nèi)，也就是表示函數(shù)的斜率，當學生用導數(shù)來求切線問題時，導數(shù)的優(yōu)越性就會展現(xiàn)出來，不僅簡單高效，而且出錯率極低.這類方法是最適合高考的.隨著切線類型的題目在高考中不斷被重視，教師應向?qū)W生傳達導數(shù)這一方法的重要性.

（五）求導研究數(shù)列問題

數(shù)列是中學的重點內(nèi)容.教師也應多加關(guān)注.雖然數(shù)列問題類型很多，但是只要掌握了求導解題的核心，就可以迎刃而解.具體是指在解題時將數(shù)列看作特殊函數(shù)再利用導數(shù)求導.學生只要做到這樣的問題轉(zhuǎn)化，那么這類題目也就輕松解決.

三、高中導數(shù)的變化趨勢

隨著素質(zhì)教育越來越普及，教學方式也有所改變.但是導數(shù)這類基礎內(nèi)容卻一直是數(shù)學的側(cè)重點.由于其獨特的解題優(yōu)勢和思路，也是高考出題人關(guān)注的重點.近年來，導數(shù)的難度雖有所下降，但是出現(xiàn)頻率越來越高，并且解題要求也越來越高，對學生能夠深刻理解并且靈活運用有很大要求，教師平時在上課時一定要讓學生明白導數(shù)的重要性.

四、結(jié)束語

本文主要介紹了導數(shù)在高中數(shù)學中主要的應用方向以及最主要的幾種解題方法，并通過舉例來詳細解釋了導數(shù)在高中數(shù)學中的具體應用.教師在日常教學中要能靈活地運用導數(shù)來教學，通過多種方法來引導學生，開拓學生思路，因此，日常測試、作業(yè)中對于導數(shù)的練習是很有必要的，通過日常練習才能使學生熟練地將導數(shù)運用到學習解題中去.

【參考文獻】

[1]余修偉，高海霞.導數(shù)在高中數(shù)學解題中的運用分析[J].華章，2011（10）：225.