交錯軸變比齒條變比齒廓數(shù)字建模

牛子孺，辛振波，趙新學，李 揚，李剛炎，涂 鳴，劉向峰

(1.山東農業(yè)大學 機械與電子工程學院，山東 泰安 271018； 2.武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070； 3.華中農業(yè)大學 工學院，湖北 武漢 430070； 4.山東華盛農業(yè)藥械有限責任公司，山東 臨沂 276017)

0 引言

汽車轉向器決定的轉向系統(tǒng)傳動比，是影響汽車轉向品質的重要因素。一般而言，汽車高速直線行駛時，為保證行駛穩(wěn)定性，期望轉向器傳動較小；汽車低速大轉彎行駛時，為了使轉向輕便快速，期望轉向器傳動較大，定傳動比轉向器顯然無法滿足這一要求。面向汽車轉向的更高要求，機械式變比轉向器應運而生，齒輪齒條變比轉向器由一級交錯軸變比齒輪齒條副構成，斜齒輪漸開線齒廓與齒條變比齒廓嚙合實現(xiàn)變比傳動，變比齒廓是與之嚙合的漸開線齒廓按照變比曲線約束的運動關系，包絡后形成的非漸開線曲面。如何優(yōu)化設計并保證制造滿足設計要求，是變比齒廓設計中的理論問題。

復雜齒廓的建模方法主要包括布爾運算法[1-2]和嚙合原理數(shù)字解析法[3-7]。布爾運算法基于齒廓范成加工原理，通過三維建模軟件布爾宏程序編譯與運算，實現(xiàn)齒廓實體建模，其理論簡單、過程直觀，但是齒廓殘留的布爾切痕嚴重影響了模型精度。王犇等[1]結合建模軟件的仿真功能和曲面擬合技術建立了弧齒錐齒輪齒廓的實體模型;李統(tǒng)中等[2]建立了刀具展成加工凹節(jié)曲線斜齒非圓齒輪的數(shù)學模型，實現(xiàn)了非圓齒輪齒廓的三維建模。數(shù)字解析法基于嚙合原理，通過分析齒輪副嚙合關系建立嚙合方程，采用數(shù)值計算生成離散化的齒廓點云，通過曲面擬合得到齒廓實體模型，其建模精度較高。魏偉鋒等[3]研究了直線共軛內嚙合泵內外齒輪齒廓的設計問題，建立了共軛齒廓法線反轉法求解理論，研究了采用嚙合線求嚙合角、滑動率、壓力角的方法;TSAI等[4]推導了具有點接觸特性的弧齒錐齒輪的嚙合方程，通過設計齒面接觸路徑構建齒廓;CHEN等[5]以空間嚙合理論為基礎，研究了微小彈性嚙合輪的空間曲線嚙合理論，推導了嚙合曲線方程;Zhang等[6]介紹了齒面法線方向角的概念，建立了描述非圓斜齒輪齒廓幾何特性的通用數(shù)學模型;劉志等[7]運用空間包絡原理和坐標轉換等解析方法構建了表征平面二次包絡環(huán)面蝸桿和蝸輪的齒廓的數(shù)字模型，計算出了環(huán)面蝸桿副齒廓的全部嚙合點。

在變比齒廓建模方面，布爾運算法[8-10]的代表性研究有：Hu等[8]將變比曲線表征的漸開線齒輪轉角和變比齒條位移關系數(shù)字化，在CATIA中建立了變比齒廓實體模型;胡大偉等[9]在三維建模軟件中，基于變比運動規(guī)律建立布爾減運算宏程序，模擬變比齒廓范成加工過程生成變比齒廓三維模型;張斯宇等[10]提出一種基于布爾減運算和曲線擬合的變比齒廓建模方法，在一定程度上彌補了布爾減運算建模不精確的弊端。變比齒廓嚙合原理數(shù)字解析法[11-16]建模的代表性研究有：唐進元等[11]采用嚙合原理，對齒輪共軛曲面幾何和接觸性質進行了深入研究;賀敬良等[12]研究了循環(huán)球變比轉向器變比原理，推導了變比齒輪副嚙合方程，生成了變比齒廓模型;Hu等[13]采用嚙合原理，建立了變厚變比齒輪齒條副中的變比齒條齒廓數(shù)字點云模型;顏甜莉等[14]采用一種數(shù)值方法計算變比齒廓點高度值，得到了變比齒廓點云模型，通過對比理論變比曲線與樣件測試變比曲線，驗證了該方法的有效性;牛子孺等[15-16]基于數(shù)字設計思想，建立了平行軸及交錯軸變比齒條齒廓點求解數(shù)學模型，生成了變比齒廓點云模型，并通過樣件試制與測試驗證了方法的正確性。

上述研究發(fā)現(xiàn)，采用布爾運算法建立變比齒廓實體模型具有以下不足：由于建模軟件的限制，建模時的計算步長不能無限取小(當步長趨近于零時，得到精確的變比齒廓)，使得建立的變比齒廓實體模型有明顯切割痕跡，為非連續(xù)曲面，建模精度很差，目前已不是學術界研究的重點；采用嚙合原理數(shù)字解析法求解變比齒廓也存在種種弊端：當變比齒輪副重合度大于1時，所建立的嚙合方程解不唯一；變比齒廓邊界條件復雜，無法獲得變比齒廓齒頂、齒根邊界點的精確值；所建立的變比齒廓點沿嚙合線分布，不能直接應用于數(shù)控加工，需要曲面擬合后二次生成加工用點云，這勢必導致制造誤差的累積；無法避免地要計算變比齒輪齒根和齒頂?shù)姆亲儽三X廓點云，計算繁復，建模效率低下。

本文提出的全新變比齒廓數(shù)字設計方法，克服了上述嚙合原理數(shù)字解析法研究中存在的各種弊端，所提求解算法能夠高效、精確地計算變比齒廓點，生成的變比齒廓點云可直接應用于數(shù)控加工，從而實現(xiàn)變比齒廓的高精度制造。

1 齒條變比齒廓求解的概念模型

為實現(xiàn)齒條變比齒廓的求解，將變比齒輪齒條副中的漸開線斜齒輪看作無數(shù)個垂直于其軸線的、無限接近平面截切其實體后得到的截交線集合。變比齒輪齒條副傳動可以看作齒條變比齒廓與截交線集漸開線齒廓的嚙合，參與嚙合的截交線漸開線齒廓與變比齒廓為點接觸，所有嚙合點的集合構成變比齒廓。齒條變比齒廓求解概念模型如圖1所示，定義過變比齒廓上的任意一點為M，且平行于齒條長度方向的直線為“計算直線”，與變比齒條固連。變比傳動過程中，計算直線與對應的各個截交線漸開線齒廓相交，所有交點中，齒條長度方向取得極值點，為此計算直線對應的變比齒廓點。

2 齒條變比齒廓的數(shù)字建模

2.1 變比齒輪齒條副坐標系及其轉換

首先建立轉向器變比齒輪齒條副坐標系統(tǒng)。根據(jù)裝配關系，建立的坐標系統(tǒng)(如圖2)包括4個笛卡爾直角坐標系，s1(o1-x′y′z′)為變比齒條固聯(lián)坐標系，s2(o2-xyz)為變比齒條參考坐標系，兩坐標系各坐標軸初始時刻分別重合，s3(o3-ε′ηz″)為斜齒輪固聯(lián)坐標系，s4(o4-εηz)為斜齒輪參考坐標系，兩坐標系各坐標軸初始時刻分別重合。初始時刻，上述4個坐標系的原點位于斜齒輪齒寬方向中間截面的幾何對稱中心，即原點o1，o2，o3，o4重合于圖2所示的點o，初始時刻斜齒輪齒寬方向中間截面的截交線某一齒在變比齒條齒頂面以下，且關于z軸對稱，坐標軸η沿斜齒輪軸線方向，坐標軸y沿變比齒條齒寬方向，二者間的夾角為變比齒輪齒條副的交錯角ζ，初始時刻變比齒輪齒條副對應變比曲線對稱中心的傳動比。

根據(jù)齒條變比齒廓求解概念模型的描述，需計算生成變比齒條固聯(lián)坐標系中的變比齒廓點，因此需要將在斜齒輪固聯(lián)坐標系下得到的計算直線與截交線漸開線齒廓的交點值，轉換到變比齒條固聯(lián)坐標系。由坐標轉換理論，定義變比齒條固聯(lián)坐標系的矢向量為r1，斜齒輪固聯(lián)坐標系的矢向量為r3，則兩個坐標系的轉換關系為

r1=Mo1o3r3，

(1)

即

(2)

由于

Mo1o3=Mo1o2Mo2o4Mo4o3，

(3)

其中：

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可得，斜齒輪固聯(lián)坐標系和變比齒條固聯(lián)坐標系的坐標轉換關系式為

(8)

式中：φc為斜齒輪轉角；s為變比齒條位移。

2.2 漸開線曲線族方程

基于齒條變比齒廓求解概念模型的描述，為了得到計算直線與截交線(定義為參考截交線)各個齒左右漸開線齒廓的交點，結合初始時刻的定義，需要在斜齒輪固聯(lián)坐標系中建立各個截交線各個齒左右齒廓漸開線的曲線族方程。齒廓漸開線曲線族指截交線漸開線齒廓隨其繞軸線轉動時在空間形成的曲線束。

首先建立ε′oz″平面內的截交線(定義為參考截交線)各個齒左右漸開線曲線族方程，其他截面內的截交線相對于ε′oz″平面內的參考截交線旋轉了一個角度，該角度由斜齒輪螺旋角和定義的截交線集決定。如圖3a所示，定義σ0為初始時刻參考截交線在變比齒條齒頂面以下且關于z″軸對稱齒(定義為參考齒)的右側漸開線起點與基圓圓心連線和z″軸夾角。初始時刻，任意截交線在參考齒所屬的斜齒輪輪齒上的漸開線右齒廓初始角

σi=σ0+μ′ηtanβ/R，

(9)

則截交線集中任意截交線各個齒右側漸開線曲線族方程為：

i,κ=0,1,2,…,n。

(10)

如圖3b所示，截交線集中任意截交線各個齒左側漸開線曲線族方程為：

?c);

i,κ=0,1,2,…,n。

(11)

2.3 計算直線與漸開線交點方程

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

m,q=0,1,2,…,n。

(12)

計算直線與截交線各個齒右側漸開線的交點應滿足方程(10)，計算直線與截交線各個齒右側漸開線的交點計算方程為：

x′=ε′cosζcosφc+ηsinζ+z″cosζsinφc+s;

φc=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(13)

計算直線與截交線各個齒左側漸開線的交點應滿足式(11)，直線與截交線各個齒左側漸開線的交點計算如下：

x′=ε′cosζcos?c+ηsinζ+z″cosζsin?c+s;

yq′=-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c;

zm′=-ε′sin?c+z″cos?c;

?c=f-1(s);

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(14)

式中φc=f-1(s)為變比曲線表征的變比齒條位移與斜齒輪轉角關系方程。計算變比齒廓點時，截交線齒頂圓與基圓之間的漸開線為有效漸開線，其上每一點對應一組壓力角和展角，定義截交線漸開線齒廓某點處的壓力角和展角之和為“判斷角”，判斷角與交點存在一一對應關系，計算時通過判斷角的值，判斷交點是否在截交線的有效漸開線上，即滿足

(15)

2.4 變比齒廓求解數(shù)學模型

根據(jù)變比齒輪齒條副坐標系統(tǒng)，可以確定計算直線與截交線各個齒右側漸開線齒廓相交時，變比齒廓點的長度值為最大值；計算直線與截交線各個齒左側漸開線齒廓相交時，變比齒廓點的長度值為最小值，結合約束最優(yōu)的數(shù)學思想，建立變比齒廓點求解數(shù)學模型。與截交線集各個截交線各個齒右側漸開線齒廓嚙合的變比齒廓點長度值的計算數(shù)學模型為：

min-x′=-ε′cosζcos?c-ηsinζ-z″cosζsin?c-s。

?c)=ε′;

-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c=yq′;

-ε′sin?c+z″cos?c=zm′;

μb′≤μ≤μa;

?c=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

?cmin≤?c≤?cmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(16)

與截交線集各個截交線各個齒左側漸開線齒廓嚙合的變比齒廓點長度值的計算數(shù)學模型為：

minx′=ε′cosζcos?c+ηsinζ+z″cosζsin?c+s。

?c)=ε′;

-ε′sinζcos?c+ηcosζ-z″sinζsin?c=yq′;

-ε′sin?c+z″cos?c=zm′;

μb′≤μ≤μa;

?c=f-1(s);

ηmin≤η≤ηmax;

?cmi≤?c≤?cmax;

i,κ,m,q=0,1,2,…,n。

(17)

式中：[?cmin,?cmax]為變比齒廓點長度值對應的斜齒輪轉角范圍；[ηmin,ηmax]為變比齒廓點的長度值對應的截交線子集范圍。采用上述模型計算得到變比齒廓點的長度值，并得到模型的返回值y′和z′，進而得到變比齒廓點在變比齒條固聯(lián)坐標系中的坐標值(x′,y′,z′)。

3 齒條變比齒廓數(shù)字求解

3.1 變比曲線與運動方程

齒輪齒條變比轉向器變比齒輪齒條副的傳動比是斜齒輪轉角的函數(shù)。目前，采用較多的變比曲線如圖4所示，變比曲線通式為

(18)

(1)當φc∈[-φc1,φc1]時,

(19)

(2)當φc∈[φc1,φc2]時,

(20)

(3)當φc∈[-φc2,-φc1]時，

(21)

(4)當φc∈[φc2,φcmax]時，

(22)

(5)當φc∈[-φcmax,-φc2]時，

(23)

(6)特殊轉角、和處的變比齒條位移為：

s1=i1φc1;

(24)

(25)

(26)

3.2 變比齒廓點云域

3.2.1 變比齒廓點云二維域

首先確定變比齒廓設計的二維域，這里定義的二維域與傳統(tǒng)意義上的齒輪副嚙合區(qū)間不同，當變比齒輪齒條副按照變比曲線約束的運動變比傳動時，計算直線只與二維域內的截交線漸開線齒廓產(chǎn)生交點。如圖2所示，在變比齒輪齒條副的坐標系中，變比齒條參考坐標系s2(o2-xyz)的任意y截面內，變比齒條齒頂面z=-Rx與截交線集齒頂圓柱兩個交點的x坐標分別為：

(27)

式中Ra為斜齒輪齒頂圓半徑。定義區(qū)間[x1,x2]為變比齒廓設計的二維域。如圖2所示，計算直線上的點M處，變比齒條齒坯頂面以下與該點具有相同坐標的點，只有可能被線段ab與cd之間的截交線集的漸開線齒廓包絡去除，定義線段ab與cd之間的截交線集為點M所在計算直線的遍歷截交線子集;并且點M對應的y截面內的任意一條計算直線上的點也只可能被ab與cd之間的截交線子集的漸開線齒廓包絡去除，定義線段ab與cd之間的截交線集為截面內的任意一條計算直線的遍歷截交線子集。二維域在斜齒輪固聯(lián)坐標系s3(o3-ε′ηz″)內表示為[η1,η2],

(28)

3.2.2 變比齒廓點云三維域

(29)

式中B為斜齒輪齒寬。由于變比齒條位移范圍和斜齒輪轉角范圍的限制，求解變比齒廓時，只有在某一個長度范圍內求得的變比齒廓點才有實際意義，變比齒廓求解的包絡長度區(qū)間由變比曲線限定的截交線集的最大轉角φcmax決定。變比齒輪齒條副中的變比齒條和截交線集的相對位置如圖5所示，圖5a為變比齒廓求解的初始時刻；當截交線集轉動到最大角度φcmax時，變比齒條對應的最大位移為smax，如圖5b所示。

根據(jù)變比曲線，在斜齒輪傳動行程內，變比齒條的最大位移為

(30)

由變比齒廓求解的二維域可得

(31)

由于存在變比齒輪齒條副交錯角，為了保證變比齒廓點計算的正確性，還要附加一個長度s″，

(32)

包絡長度區(qū)間為[s1,s2]，

(33)

包絡高度區(qū)間由斜齒輪的齒頂圓Ra、變比齒條齒根與斜齒輪齒頂之間的頂隙C′，以及以斜齒輪軸線為軸線且與變比齒條齒頂面相切的圓柱的半徑Rx確定(如圖2)，包絡高度區(qū)間為[h1,h2]

(34)

3.3 變比齒廓求解算法

變比齒廓求解算法流程如圖6所示，具體步驟如下：

步驟2根據(jù)變比齒輪齒條副設計參數(shù)，確定變比齒廓求解的二維域和三維域。

4 齒條變比齒廓數(shù)字建模方法驗證

4.1 變比齒廓建模實例

為驗證前述變比齒廓建模方法，下面給出一個工程實例，某型齒輪齒條變比轉向器變比齒輪齒條副中的斜齒輪參數(shù)如表1所示，轉向器的變比曲線為

-324°≤|φc|≤324°。

(35)

表1 斜齒輪參數(shù)

續(xù)表1

4.2 變比齒廓數(shù)控加工實例

齒輪齒條變比轉向器齒條變比齒廓采用數(shù)控端銑加工，粗加工采用CAM系統(tǒng)實施加工仿真，完成無干涉檢查后輸出數(shù)控G代碼，代碼為后綴為.NC的文件，根據(jù)實際零件的幾何特征對代碼進行修正后，輸入數(shù)控機床，完成變比齒廓數(shù)控粗加工。粗加工仿真如圖9所示。

表2 齒條變比齒廓加工參數(shù)

4.3 變比齒廓傳動比和傳動穩(wěn)定性測試

齒輪齒條變比轉向器最重要的傳動特征是“變速傳動”，機構變速傳動性能的重要衡量指標是其“傳動穩(wěn)定性”。因此，設計的變比齒廓是否滿足變比曲線，其傳動穩(wěn)定性如何，可以有效反映設計的正確性。變比齒廓傳動穩(wěn)定性的表征參數(shù)包括傳動誤差、傳動速度和傳動加速度，本文通過對傳動比、傳動穩(wěn)定性測試與測試數(shù)據(jù)進行定量分析，驗證變比齒廓設計方法。

根據(jù)國標QC/T29097-2010，變比曲線和傳動穩(wěn)定性測試方法為：固定齒輪齒條變比轉向器樣件，輸入軸聯(lián)接驅動裝置，輸出端的變比齒條聯(lián)接光柵尺和速度傳感器，并通過加載裝置施加定載荷。轉動輸入軸，使變比齒條從一端極限位置移動到另一端極限位置，測量變比齒條的位移瞬時值和速度瞬時值，采用求導函數(shù)對速度求導得到變比齒條加速度值，測試工況為：轉向器輸入端轉速10 r/min，輸出端載荷為2 000 N。

齒輪齒條變比轉向器的傳動比為齒條位移增量Δs與齒輪轉角增量Δφc之比，為線角傳動比(單位：mm/(°)):

(36)

根據(jù)式(36)，采用上述測試工況時，齒輪齒條變比轉向器輸入端轉速dφ/dt為常數(shù)，齒條變比齒廓傳動比與輸出端齒條位移成正比，因此傳動誤差可以表征傳動比。變比曲線和傳動穩(wěn)定性測試如圖11所示。

齒條變比齒廓傳動誤差測試結果如圖12所示，測試表明：測試工況下，最大瞬時傳動誤差為0.131 mm，誤差百分比最大值為9.53%，齒輪齒條變比轉向器樣件一個轉向行程內，總傳動誤差為0.229 mm，平均傳動誤差為0.031 mm。齒條變比齒廓傳動速度測試結果如圖13所示，傳動加速度測試結果如圖14所示，測試表明：測試工況下，速度波動幅值為4.14 mm/s，速度誤差百分比最大值為8.03%，速度波動平均值為1.20 mm/s；加速度波動幅值為126.052 mm/s2，加速度波動平均值為65.524 mm/s2。樣件測試結果滿足國標QC/T29097-2010。

5 結束語

本文提出一種變比轉向器齒條變比齒廓數(shù)字求解方法，在變比齒廓點求解概念模型的基礎上，完成了變比齒廓點計算的理論推導，建立了變比齒廓點計算的數(shù)學模型；提出變比齒廓點計算數(shù)學模型的求解算法，并實現(xiàn)了面向數(shù)控端銑精加工刀具路徑規(guī)劃的變比齒廓點云的直接生成，實現(xiàn)了變比齒廓的數(shù)控加工；提出變比齒廓設計驗證方法，將傳動穩(wěn)定性參數(shù)作為驗證目標，通過測試分析，驗證了本文變比齒廓設計理論及方法的正確性。

本文研究成果克服了現(xiàn)有轉向器齒條變比齒廓設計理論的種種弊端，形成了面向數(shù)控加工的非漸開線變比齒廓數(shù)字建模理論及方法，提升了制造精度和效率，成果將推進變比齒廓數(shù)控加工的進程，并對采用變比齒廓的變比轉向器及其他機械裝置的推廣應用產(chǎn)生了積極的推動作用。本文在變比齒廓設計過程中，考慮了變比齒輪副傳動的幾何特征，但并未涉及例如強度、溫度等物理因素對變比齒廓設計的綜合影響。因此，建立衡量物理因素的變比齒廓設計關聯(lián)模型，將是變比齒廓設計進一步研究的重點；研究變比齒廓寬行數(shù)控加工技術，將是進一步提升變比齒廓加工效率的有效手段。