基于疊加法作結(jié)構(gòu)彎矩圖的新思考

景正鳳 （四川核工業(yè)技師學(xué)院，四川 成都 611130）

1 引言

在土木工程實踐中，往往須對實際結(jié)構(gòu)抽象簡化成結(jié)構(gòu)計算簡圖，然后進(jìn)行內(nèi)力分析，并作彎矩圖，這也是工程設(shè)計中必不可少的步驟，而通過一步步利用力和力矩平衡方程求解支座反力，再作出剪力圖進(jìn)而作出彎矩圖在工程實際中是很難實現(xiàn)的，原因在于平衡方程過多，還有聯(lián)立方程求解太過于麻煩，這都給彎矩圖的繪制帶來了諸多不便。而彎矩圖又是梁和剛架最重要的內(nèi)力圖，作彎矩圖也是結(jié)構(gòu)力學(xué)最重要的基本功，往往“手算怕繁，電算怕亂”，手作彎矩圖必須化繁為簡，才能提高速度。尤其對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)，還要靈活運用疊加法進(jìn)行分析和計算，并充分利用力學(xué)概念和適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治?，將定量計算壓縮到最低限度，才可大大提高作彎矩圖的速度和正確性。

2 關(guān)于疊加法

2.1 疊加原理

在小變形的情況下，結(jié)構(gòu)在幾個荷載共同作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力，等于各個荷載單獨作用時所產(chǎn)生的內(nèi)力之和。這也就是說可以將多種類型荷載作用下的結(jié)構(gòu)看成是單一荷載作用下的結(jié)構(gòu)之和，而單一荷載作用下的結(jié)構(gòu)的彎矩圖，用截面法較易求得和掌握。如圖1所示。根據(jù)疊加原理，簡支梁在均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載共同作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力，等于其均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載單獨作用時所產(chǎn)生的內(nèi)力之和，即圖 1（c）= 圖 1（a）+圖 1（b）。

圖1 疊加法畫彎矩圖

2.2 疊加時的注意事項

①疊加時宜先作直線形的彎矩圖，再以直線邊為基線疊加曲線形或折線形的彎矩圖，重疊部分擦去即可。

②彎矩圖的疊加不是兩個圖形的簡單疊加，而是對應(yīng)點處縱坐標(biāo)的疊加。即必須注意疊加后的每一縱坐標(biāo)應(yīng)等于單一荷載作用時彎矩圖中相應(yīng)的縱坐標(biāo)之和，同側(cè)的縱坐標(biāo)應(yīng)相加，異側(cè)的縱坐標(biāo)應(yīng)相減；此外，對縱坐標(biāo)具有不同正負(fù)號的部分，疊加后兩個圖形重疊部分表示兩個縱坐標(biāo)值互相抵消，不重疊部分即為所求的彎矩圖。如圖2所示。

2.3 疊加法的解算

①選定控制點（此時控制點不包括各均布荷載段跨中點），求出控制截面的彎矩值。

②分段作彎矩圖。當(dāng)控制截面間無荷載作用時，根據(jù)控制截面的彎矩值，即可作出直線彎矩圖；當(dāng)控制截面間有荷載作用時，根據(jù)控制截面的彎矩值作出相應(yīng)直線彎矩圖后，還應(yīng)疊加上這一段按簡支梁求得的彎矩圖。

3 分段疊加法

分段疊加法是指用疊加法作某一直桿段彎矩圖的方法。即任意段直桿都可當(dāng)作簡支梁，并可以利用疊加法來作該直桿段的彎矩圖。如圖3所示，對圖示簡支梁把其中的AB段取出，其隔離體如圖所示，把AB隔離體與相應(yīng)簡支梁作一對比，顯然兩者是完全相同的，因此，上圖中簡支梁AB段的彎矩圖可以用與簡支梁相同的方法繪制，即把MA和MB標(biāo)在桿端，并連以直線，然后在此直線上疊加上節(jié)間荷載單獨作用在簡支梁上時的彎矩圖，為此必須先求出MA和MB。

4 疊加法的活用

疊加法是以疊加原理為依據(jù)的結(jié)構(gòu)分析方法，它的好處是能將一個復(fù)雜的問題分解為若干個簡單的問題進(jìn)行分析，具有廣泛的適用性，尤其是分段疊加法。如前所述，要作結(jié)構(gòu)中某一直桿段的彎矩圖，只要先求桿段兩端的彎矩，作相應(yīng)的“桿端彎矩圖”（直線）；再將該段直桿看成簡支梁，作它在橫向荷載和力偶荷載作用下的彎矩圖，簡稱“簡支梁彎矩圖”，在桿端彎矩圖的基礎(chǔ)上疊加“簡支梁彎矩圖”，就得到該桿端的彎矩圖。事實上，這一方法可用公式表示為M（x）=Me（x）+Mo（x），式中Me（x）和Mo（x）分別對應(yīng)于桿端彎矩圖和簡支梁彎矩圖，M（x）為桿段的實際彎矩圖。

如圖4所示三鉸剛架的彎矩圖，傳統(tǒng)的解法可以分以下幾個步驟：①求支座反力，先用整體平衡條件求豎向反力，再取左邊或右邊半個剛架為隔離體，對頂鉸取矩，求水平反力；②求控制截面的彎矩，主要是豎桿頂部結(jié)點的彎矩；③用分段疊加法作彎矩圖。

顯然，以上解法其正確性是沒問題的，只是刻板了一點，其實這道題可以換一種靈活的方法來求解。即首先大致作出彎矩圖的形狀。豎桿不受荷載作用，彎矩圖為直線；兩個支座水平反力大小相等、方向相反，所以豎桿頂端的彎矩一定相等，從而水平桿兩端的彎矩也相等；水平桿受均布橫向荷載作用，彎矩圖為二次拋物線，這條拋物線一定要通過頂鉸；由于對稱性，拋物線的形狀也是對稱的?？缍葹閘的簡支梁在集度為q的均布荷載作用下，其跨中彎矩值為，由疊加法反推可知，水平桿兩端以及豎桿頂端的彎矩也是。如果需要，還可以很容易的由彎矩圖求出支座的水平反力。以上求解過程寫出來是一大堆文字，好像很啰嗦，實際上，它的主要工作是在“心里”完成的，是利用力學(xué)概念和定性的分析，計算被壓縮到了最低限度，從而大大提高了作彎矩圖的速度，并且準(zhǔn)確。

圖3 分段疊加法

圖4 三鉸剛架的彎矩圖

上面所舉的例子，是剛架，且結(jié)構(gòu)和荷載都是對稱的，其實這并非必要，如圖5所示，是一個不對稱的例子，解題的關(guān)鍵是求其支座B處的負(fù)彎矩，由圖5所示的疊加關(guān)系及幾何關(guān)系很容易求得MB的絕對值為，將圖中的MB改為，所求的彎矩圖就完成了。

圖5 不對稱連續(xù)梁的彎矩圖

由此可見，靈活運用疊加法不僅可以節(jié)省很多計算工作，大大提高作彎矩圖的速度，還可以加強對結(jié)構(gòu)的定性分析和力學(xué)概念的理解。

5 結(jié)語

為避免作結(jié)構(gòu)彎矩圖的麻煩，盡可能不用或少用平衡方程，就得充分、靈活運用疊加法作結(jié)構(gòu)彎矩圖的一些基本理念和分析方法來解決問題，將復(fù)雜問題簡單化，同時還能培養(yǎng)我們深入分析問題繼而用更合適的方法來解決問題的能力，但這要熟練掌握有關(guān)力學(xué)概念和適當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治龇椒?，才能達(dá)到目的，這就是熟能生巧的道理。