巧借直觀模型 促進數(shù)學思考

余垂治

（福建省晉江市安海鎮(zhèn)梧山小學）

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確將“數(shù)學思考”作為小學數(shù)學四大目標之一。由此可知“數(shù)學思考”的功能正逐漸被重視，而在課堂教學活動中，教師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，小學生對于數(shù)學的學習常停留在表層狀態(tài)，如何有效引導學生進行數(shù)學思考呢？筆者發(fā)現(xiàn)借助直觀模型可以將抽象的數(shù)學概念具體化，大大降低學習數(shù)學的難度，還能引導學生學習用數(shù)學的眼光來觀察世界，從數(shù)學的角度來思考問題，從而喚醒深層的數(shù)學思考。

一、聚焦實物模型，喚醒數(shù)學思考

數(shù)學源于生活，在數(shù)學教學中，許多學習內(nèi)容和需要解決的數(shù)學問題均能夠在生活中找到原型。而小學生正從具體思維逐步向抽象邏輯思維過渡，直觀教學順應了小學生的心理特點，教師要善于通過實際生活來提取數(shù)學素材，借助生活原型為學生構(gòu)建數(shù)學概念，從而喚醒數(shù)學思考。

如我校蔡老師在教學北師大版三年級下冊“有多重（認識千克、克）”一課時，課前安排學生進行小組合作，分別去調(diào)查生活中部分常見物品的質(zhì)量，感受其輕重，并查找天平的相關(guān)材料。這是一次用數(shù)學眼光觀察生活、積累活動經(jīng)驗的好機會。蔡老師課上先讓學生比較兩袋鹽的輕重，學生大多數(shù)選擇了用手掂一掂，掂一掂這樣比較輕重的方法有效地將數(shù)學與生活聯(lián)系起來。然后蔡老師追問道：“掂一掂可以讓我們感覺到哪一袋重，哪一袋輕。那么怎樣才能知道這兩袋鹽的重量呢？”學生都能提出用天平稱。由此可見課前的調(diào)查活動，對學生來說是一種有效的體驗。學生在生活中很少有機會進行這樣的調(diào)查，如今親身感受了物品的輕重，有了具體的實物模型作為載體，此時的數(shù)學對學生而言是真正“活”的數(shù)學，他們實實在在地感受到了數(shù)學就在身邊。

實物模型是教學中讓學生最直接地初步感知數(shù)學知識的手段之一，因此教師要善于利用生活情境，借助實物模型，發(fā)掘其數(shù)學內(nèi)涵，讓學生結(jié)合實物模型更直觀、深入地理解數(shù)學概念和理論，喚醒學生對數(shù)學的思考。

二、巧用直觀模型，發(fā)展數(shù)學思考

直觀教學并不應該只是給出數(shù)學知識的圖形表征，還要在分析問題、解決問題過程中充分發(fā)揮直觀模型的作用，促進學生主動思考，并引導學生借助直觀模型進行比較、分析、想象和思考，展開直觀推理，進而獲得解決問題的方法。

小學四年級學生開始接觸十萬、百萬、千萬、億等較大的數(shù)，但學生在日常生活中較少接觸這些數(shù)，缺乏直觀認識的支撐。教材中借助直觀模型（如面積模型、體積模型、計數(shù)器等），提高學生對大數(shù)的感性認識，幫助學生建立大數(shù)的計數(shù)單位的直觀表象，同時，讓學生借由直觀模型來感受相鄰計數(shù)單位間的十進制關(guān)系。教學時，筆者讓學生充分經(jīng)歷數(shù)一數(shù)的活動，在進位的“關(guān)鍵處”進一步追問，讓學生充分感受進位的必要性，再讓學生數(shù)一數(shù)。當學生數(shù)到“九千萬”的時候，追問：如果又加上一千萬，那是多少？以深化學生對計數(shù)單位關(guān)系的理解，便于直觀體會計數(shù)單位的大小。

如我校李老師在比較“北偏東”和“東偏北”的區(qū)別時，李老師讓學生比較“家鄉(xiāng)安海白塔在淘氣家東偏北20°的方向上”和“白塔在淘氣家北偏東20°”的不同之處，讓學生通過想象思考，進而借助坐標圖形的動態(tài)演示，將問題由復雜變?yōu)楹唵?，學生就能夠通過比較兩者的起始點到過程的變化，通過思考討論，從而推理出本質(zhì)原因。

作為小學數(shù)學教師，需善于因地制宜、因材施教，善于借助直觀模型進行教學，適時將數(shù)學思想的建立與運用滲透在解決問題的過程中，引導學生逐步養(yǎng)成運用直觀模型進行思考的習慣，從而提升學生思維能力，促使學生進行有效思考。

三、抽象具體模型，升華數(shù)學思考

教學中如果僅借助實物直觀只能讓學生初步感知數(shù)學概念，對數(shù)學知識有一定的認識，并不能讓學生準確把握數(shù)學知識的重點和核心。因此教師需要讓具體的模型抽象化、復雜化，從而引導學生從多角度思考問題，采用不同的方法解決問題，為學生數(shù)學思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的環(huán)境。

如在“乘法分配律”教學過程中，筆者引導學生感知模型（見圖1），讓學生計算兩塊菜地的面積一共是多少平方米，在學生解決問題后進一步提問：“當把兩塊菜地拼在一起(見圖2)，這時候又可以怎么計算菜地的面積之和呢？”進一步引導學生借助直觀的模型理解乘法分配律的意義。

圖1

圖2

在學生逐步感知乘法分配律這一模型后，筆者又將直觀模型抽象為下述符號模型(見圖3)，讓學生分析這兩個直觀模型有什么異同，引導學生將下述模型展現(xiàn)的特征代入圖1、圖2的算式中，驗證自己的猜想是否成立。

圖3

課堂教學中直觀模型的抽象要從不同角度、不同方面論釋數(shù)學概念，用不同的直觀模型展示數(shù)學知識，讓學生大膽猜想并進行驗證，從而得到具有普適性的數(shù)學模型。這種模型抽象的過程不僅能夠讓學生全面認識數(shù)學概念核心，還能進一步升華數(shù)學思考。

孔凡哲、史寧中教授曾指出：越是高度抽象的數(shù)學內(nèi)容，就越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐。課堂上，教師借助合適的直觀模型進行教學，能夠啟迪學生思路，幫助學生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，經(jīng)過自主探究、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造、反思性循環(huán)，感受體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程。因此教師不僅要重視從周圍環(huán)境、實物、模型的直接感知抓起，還要注重引導學生進行觀察、描述、想象、分析，不斷提升學生數(shù)學思考的能力。