基于干涉相位的兩步法高精度無模糊時延估計

趙培焱, 彭華峰, 鄧 兵, 賀 青

(盲信號處理重點實驗室,四川 成都 610041)

0 引 言

時延估計是現(xiàn)代信號處理的重要內容,廣泛應用于無源定位、雷達聲納、導航遙測等軍事領域,以及生物醫(yī)學、工業(yè)探傷等民用領域[1]。經過多年發(fā)展,形成了以廣義互相關[1](generalized cross-correlation, GCC)和互譜法[2]為代表的時延估計方法,并在實際工程中取得了廣泛的應用。近年來,隨著工程應用的深入和領域的拓展,對時延估計精度的要求也在不斷地提高,如在航天測控等領域出現(xiàn)了一種以相時延為基本觀測量的新型的高精度時延估計方法[3-4],并已經成功應用于實際任務[5-6]。但是,相時延估計面臨整周模糊度解算的問題[3-6],往往需要對測控信號的頻點[3,5-6]或測量基線[4]進行一系列特殊設計,且現(xiàn)有文獻和實際任務中的方法[3-6]均無法一次性獲得高精度且無模糊的時延估計。針對該問題,本文充分挖掘信號本身所攜帶的信息,提出一種兩步法解決思路,第一步用大頻率孔徑獲得低精度無模糊預估值,第二步利用該預估值引導解模糊,得到較為滿意的估計結果,并通過仿真實驗對所提方法的性能進行了評估。

1 信號模型

在無源定位、航天測控等領域,時延測量系統(tǒng)原理可以用圖1表示。

圖1 時延估計原理圖Fig.1 Schematic of time delay estimation

兩測站接收的信號模型可表示為

(1)

式中,s(t)表示目標源信號;r1和r2分別表示對應路徑的衰減;τ表示信號到達兩測站的時延;n1(t)和n2(t)為加性高斯白噪聲,n1(t)和n2(t)不相關且分別與源信號s(t)不相關。

對接收信號進行采集,且忽略兩站同步誤差,可得

(2)

式中,n=0,1,…,N-1,N為信號采樣點數。

對采樣后的信號做N點DFT可分別得到離散頻譜為

(3)

式中,k=0,1,…,N-1,N為DFT點數;S(k)=DFT[s(n)],Yi(k)=DFT[yi(n)],Ni(k)=DFT[ni(n)],i=1,2。

用X(k)表示兩信號的互相關譜(簡稱互譜)可得

(4)

式中,k=0,1,…,N-1,N(k)為總噪聲;根據加性高斯白噪聲的特性,N(k)也為加性高斯白噪聲,可以表示為

(5)

式(4)中所示的互譜,如暫不考慮噪聲的影響,可以從結構上分為兩部分,即互幅度譜和互相位譜,分別用A(k)和Ф(k)表示,即

A(k)=r1r2|S(k)|2,k=1,2,…,N

(6)

(7)

從式(7)中可以看出,待估計的時延參數τ存在于互相位譜信息中。由于相位的周期性,所以在互相位譜中各個頻點的相位均是局限于[-π,π]內的。記Wk為頻點k相位的整周模糊度,則互相位譜的完整表達應為

Ψ(k)=Φ(k)+2πWk,k=1,2,…,N

(8)

2 不同時延定義的區(qū)別與聯(lián)系

當信號通過某一傳輸系統(tǒng)(自由空間也可以看作是某種系統(tǒng))或網絡時,信號輸出相對于輸入總會產生時間滯后,這就是系統(tǒng)時延。根據信號處理的不同應用場景,時延有不同的定義,比較常見的有包絡時延、群時延和相時延。

包絡時延[7]:調制信號經過傳輸系統(tǒng),輸出信號包絡相對于輸入信號的時間延遲。其表達式可表示為

(τ)|

(9)

式中,Ry1y2(τ)為信號的相關函數,其表達式表示為

(10)

群時延[7]:調制信號通過傳輸系統(tǒng)時,單位頻率上信號相位產生的延遲,即相位對頻率的微分。其理論表達式為

(11)

式中,φ(ω)為系統(tǒng)的相位響應函數。

相時延[7]:單一頻率信號或群信號中某個單頻分量通過傳輸系統(tǒng),輸出信號相對于輸入信號的滯后時間。表達式為該頻率上的相位同該信號角頻率比值為

(12)

上述3種定義分別是從不同的角度來描述時延,包絡時延利用信號的幅度信息,群時延和相時延利用的是相位信息;從另一個角度來看,包絡時延是在時域處理,群時延和相時延是在頻域處理。式(11)是從微分定義出發(fā)定義群時延,但實際工程中不便于具體計算,從測量角度定義群時延為[7]

(13)

從式(13)出發(fā)并借助頻率孔徑(Δω)的概念,可以將時延的3種定義統(tǒng)一起來。

性質1對于非色散系統(tǒng),當Δω為信號整個帶寬時,包絡時延與群時延相等。

證明假設兩路信號時延為τ(ω),根據互相關函數的定義式(10)有

(14)

將式(14)變換到頻域,根據FFT的時移性質可得

X(ω)=FFT(Ry1y2(τ))=FFT(y(t-τ))[FFT(y(t))]*=

S(ω)exp(jωτ(ω))S*(ω)=|S(ω)|2exp(jωτ(ω))

(15)

在式(15)中提取互相位譜

φ(ω)=jωτ(ω)

(16)

當傳輸系統(tǒng)為非色散系統(tǒng)時

φ(ω)=jωτ

(17)

對式(17)的等號兩端微分,即包絡時延等于群時延。

證畢

性質2當Δω趨于0時,群時延等于相時延?？梢詮氖?12)中直接得到,無需證明。

根據性質1和性質2,包絡時延和相時延都可以看作是群時延的兩種特例。在時延測量中,分辨率與精度是兩個重要指標。根據式(13),在相位測量精度一定時,Δω的選擇將直接影響群時延測量精度與分辨率。Δω越大,測量分辨率越高,但精度越低;Δω越小,測量精度越高,但分辨率越低[7]。無法僅通過一次測量獲得分辨率和精度都足夠高的時延估計,這是時延測量的基本矛盾。

3 基于干涉相位的兩步法方案

3.1 兩步法的基本思路

工程實踐中,通常希望獲得精度和分辨率都足夠高的時延估計。但通過第2節(jié)的分析可知,無法僅通過一次測量就獲得這樣的估計值。另一方面,頻率孔徑Δω在時延測量中扮演中重要的角色。對于包絡時延,Δω趨于信號全頻段,此時分辨率最高,但精度最低;對于相時延,Δω趨于0,此時精度最高,但分辨率最低。這與現(xiàn)實經驗并不矛盾,兩個單頻信號做互相關操作,理論上應當得到無數等幅度的“周期峰”,無法通過峰值搜索來確定時延。相關函數的“周期峰”和互相位譜丟失整數倍2π的現(xiàn)象,可以統(tǒng)稱為整周模糊。如果借助某種方法預先將模糊度解算出來,便可以獲得高精度、無模糊(高分辨率)的時延估計。

第2節(jié)包絡時延、群時延和相時延的定義,盡管表達形式有所不同,但其理論上都是對同一物理量的表征,在統(tǒng)計意義上應該具有相同的期望值,即滿足

(18)

式中,E(·)表示取期望。

根據上述分析,針對無法一次性獲得高精度無模糊時延估計的問題,提出兩步法解決思路。第一步利用大孔徑(信號全頻段)獲得無模糊低精度的預估值,第二步用其引導小孔徑(單一頻率)模糊度解算,最終得到高精度無模糊的時延估計。

3.2 基于Kalman的濾波干涉相位誤差消除

從式(17)中可以看出,互相位譜的干涉相位與頻率呈線性關系,故也被稱為“干涉條紋”,條紋斜率即待估時延。系統(tǒng)傳播、同步偏差、設備熱噪聲等都可能使得干涉相位測量值與理論值存在一定偏差。在統(tǒng)計信號處理框架下,干涉相位可以看作一個隨機過程,若其狀態(tài)轉移矩陣先驗已知,就可以利用Kalman濾波器對信號進行濾波處理,以改善其信噪比。

根據Kalman濾波理論,狀態(tài)轉移方程與測量方程可以表示為

(19)

式中,wk-1和vk分別表示過程噪聲和測量噪聲,兩者相互獨立且均為零均值高斯白噪聲;xk為頻點k的狀態(tài)向量,定義為

(20)

(21)

(22)

圖2 濾波前后干涉相位對比圖Fig.2 Comparison of interferometry phase before and after filtering

3.3 理論分析

利用預估值解模糊時,預估值精度需要滿足一定的條件,方可保證解算的正確性。以群時延預估值為例,可以通過式(23)得到整周模糊的估計值。

(23)

(24)

根據3σ準則,可以得出

(25)

合并式(24)和式(25),可得

(26)

滿足式(26)時,解模糊正確率理論上為99.7%。例如對于射頻載頻為2 GHz的信號,群時延預估值精度要求為±83.33 ps。在信號處理領域,克拉美-羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)是常見的理論下界。CRLB是在信息論的理論框架下推導的,與具體采用的方法無關,只與模型提供的信息量有關。傳統(tǒng)一步法模型下的CRLB(single stage CRLB, SS-CRLB),可以表示為

(27)

式中,T為信號持續(xù)時間；B為帶寬,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)。例如對于T=0.1 ms,B=10 MHz,SNR=10 dB的信號,CRLB為24.66 ps,滿足式(26)的要求,采用適當的方法,能引導正確的模糊解算。

兩步法模型中的第一步就是傳統(tǒng)的模型,但第二步利用了信號的射頻信息,以及待估值的結構信息,所以兩步法模型信息量大于一步法模型。因此,兩步法估計值理論上能突破SS-CRLB,這在第4節(jié)仿真部分將得到驗證。

3.4 基于中位數信任域的統(tǒng)計方法

傳統(tǒng)相時延估計方法中只利用率單一頻點(如載頻處)的相位進行估計,但實際工程中接收到的信號通常都是有一定帶寬的,含有豐富的頻率信息,傳統(tǒng)方法的頻帶利用率顯然不高;其次,只利用單一頻點處的信息,估計結果易受相位噪聲干擾,影響估計精度。為此,利用基于中位數信任域的統(tǒng)計方法[8]進行統(tǒng)計處理,進一步提升估計精度。該方法可表示為

(28)

(29)

3.5 算法步驟

步驟1對兩路接收信號做FFT,分別得其頻譜;

步驟2利用兩路信號頻譜生成互譜,并提取互相位譜;

步驟3對互相位譜進行Kalman濾波,抑制相位噪聲;

步驟4依據濾波結果得到時延預估值;

步驟5對信號頻段內所有頻點解算整周模糊,利用濾波后的干涉相位測量值得該頻點上的相時延估計;

步驟6設定信任域半徑,按照式(28)、式(29)對多個頻點得到的估計值統(tǒng)計平滑,最終得到高精度無模糊的時延估計值。

上述步驟1～步驟4為本文定義兩步法的第一步,對應大頻率孔徑;步驟5～步驟6為第二步,對應單頻孔徑,可見該方法綜合了大、小孔徑的優(yōu)點。

4 仿真與分析

首先定義時延估計的均方根誤差(root mean square error, RMSE)如式(30)所示

(30)

仿真實驗1固定信號帶寬和采集時間比較不同方法均方根差(root mean square error, RMSE)隨SNR的變化情況。條件設置為:信源編碼采用二進制頻移鍵控(binary phase shift keying, BPSK),碼元速率為10 Mbps,射頻載頻為2 GHz,采樣率為5 GHz,信號采集時間為0.1 ms,真實時延設為30倍采樣間隔,即τ=6 ns,第二步統(tǒng)計過程中的信任域半徑D=10 ps。SNR從0～30 dB,每隔3 dB取一個值進行1 000次蒙特卡羅實驗,統(tǒng)計RMSE變化曲線如圖3所示。

圖3 不同算法RMSE隨SNR變化曲線對比Fig.3 Comparison of changes of RMSE with SNR

仿真實驗2固定信號SNR和采集時間比較不同方法RMSE隨信號帶寬的變化情況?；緱l件設置同實驗1,SNR設為20 dB,信號帶寬從0～30 MHz,每隔2 MHz取一個值進行1 000次蒙特卡羅實驗,統(tǒng)計RMSE變化曲線如圖4所示。

圖4 不同算法RMSE隨帶寬變化曲線對比Fig.4 Comparison of changes of RMSE with bandwidth

需要注意的是,由于相位對噪聲的敏感性,為保證估計的準確度,實際系統(tǒng)中需采用高精度的時頻同步方案,如基于光纖連接線的時頻傳遞方案[9]。為簡化仿真中采集的同步過程,采用射頻直采的方式。

從圖3和圖4中可以看出,本文方法估計精度明顯優(yōu)于對照方法,包括經典的GCC法,互譜法以及文獻[3]中的單一載頻處的相時延法。參與比較的還有式(27)所示的SS-CRLB。

圖3中在SNR低于15 dB的區(qū)域,GCC方法精度最低,本文方法、互譜法以及載頻相時延法性能差別不大,且都在SS-CRLB范圍內;隨著SNR的逐漸增大,所有方法的精度都有所提升,其中GCC法和互譜法的增長趨勢同SS-CRLB一致,這和理論分析相符,但載頻相時延法和本文方法卻突破了SS-CRLB,其原因已在第3.3節(jié)中描述。進一步看出,本文方法的精度優(yōu)于載頻相時延法,得益于在信號頻段內所有頻點處都進行了估計,并引入了統(tǒng)計平均的過程,一定程度上平滑了相位噪聲的影響。圖4中以帶寬為7 MHz為界分為了兩部分,在小于7 MHz的區(qū)域,現(xiàn)象同圖3相仿;大于7 MHz的區(qū)域卻有所區(qū)別,載頻相時延以及文本方法估計精度不再隨帶寬的增加而有明顯提升,后者精度同樣優(yōu)于前者。綜上,本文方法實現(xiàn)了高精度無模糊的時延估計,性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法,對于10 MHz的信號,SNR高于18 dB時,估計精度優(yōu)于1 ps。

5 結 論

借助頻率孔徑的概念,將包絡時延、群時延和相時延的定義統(tǒng)一起來,揭示了分辨率與精度的矛盾是時延測量領域的基本矛盾。針對無法通過一次測量得到分辨率和精度都高的時延估計,提出兩步法解決方案。第一步用大孔徑獲得無模糊、低精度的預估值,第二步利用預估值引導高精度相時延模糊度解算,最終得到高精度、無模糊的估計值。在第一步中,利用Kalman濾波器改善干涉相位抗噪聲性能;在第二步中充分利用信號頻段內豐富的頻率信息得到多個估計值,采用基于中位數信任域的方法對多個結果統(tǒng)計平均,提升了頻帶利用率,進一步提高了估計精度,對于10 MHz的信號,SNR高于18 dB時,估計精度優(yōu)于1 ps。該方法簡單可靠、運算量小,具有較高的工程應用價值。低信噪比和窄帶條件下高效的解模糊方法是下一步研究重點。