基于反余弦函數(shù)變換的優(yōu)化GM(1，1)模型應(yīng)用研究

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(廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院,廣東 廣州 511300;,湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

0 引 言

鄧聚龍教授提出的灰色系統(tǒng)理論[1]經(jīng)過30多年的發(fā)展，已經(jīng)在各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，灰色預(yù)測模型具有建模簡單、樣本小、可檢驗等優(yōu)點，人們用該方法解決了大量的實際問題。但是灰色GM(1，1)自身還存在一些缺陷，有時對事物的發(fā)展預(yù)測有些偏差，也有一定的局限性，所以近年來，很多學(xué)者從不同方面對該模型進行了改進，主要通過優(yōu)化背景值和初始條件、改進灰導(dǎo)數(shù)、數(shù)據(jù)變換技術(shù)等途徑對模型進行優(yōu)化，并取得了良好效果,如文獻[25]。

在文獻[5]的基礎(chǔ)上，結(jié)合反余弦變換和灰色預(yù)測模型新陳代謝思想對GM(1，1)模型進行優(yōu)化，對文獻[5]的數(shù)據(jù)繼續(xù)計算，并與傳統(tǒng)的GM(1，1)模型以及文獻[5]模型結(jié)果進行對比，說明新的優(yōu)化模型能使預(yù)測精度得到優(yōu)化。

1 傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的建立

基于灰色理論的GM(1，1)模型建立過程如下：

(3)建立關(guān)于x(1)的一階白化微分方程：

(1)

并利用最小二乘法求解識別參數(shù)a和b，a為灰系數(shù)，b為作用量：[a,b]T=(BTB)-1BTYn

其中Yn=[x(0)(2),x(0)(3),...x(0)(n)]

(4)求出a和b后，可以求得方程(2.1)的時間響應(yīng)序列(預(yù)測模型)

(2)

(5)還原模型為

(3)

2 優(yōu)化灰色GM(1,1)模型的建立

2.1 原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)變換

文獻[5]在滿足數(shù)據(jù)變換的四原則“減小光滑比、調(diào)節(jié)級比壓縮、保持序列凹性不變、還原誤差不增大”下，構(gòu)建了反余弦函數(shù)變換，證明了利用該函數(shù)變化對原始數(shù)據(jù)進行處理可以提高數(shù)據(jù)序列的光滑度。

2.2 初始值優(yōu)化

初始值是影響GM(1,1)模型模擬與預(yù)測精度的一個重要因素，文獻[2]引入新陳代謝思想優(yōu)化GM(1,1) 模型，將初始條件由x(0)(1)用x(1)(k)的第個n分量x(1)(n)代替，能提高模型的預(yù)測精度。

2.3 優(yōu)化后的GM(1,1)模型建立過程

(1)設(shè)原始序列a(0)=(a(0)(1),a(0)(2),…a(0)(n)),a(0)(k)>0,k=1,2...n,對其進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使其處于區(qū)間(0,1)內(nèi)，得到新序列:

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)),

y(0)=(y(0)(1),y(0)(2),…y(0)(n)),

其中y(0)(k)=arccosx(0)(k),k=1,2...n

(2)對y(0)進行一次累加生成新的數(shù)據(jù)序列：

y(1)=(y(1)(1),y(1)(2),…y(1)(n)),

(3)對y(1)做緊鄰均值生成序列:

z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…z(1)(n)),

(4)依據(jù)GM(1,1)建模原理文獻，建立對應(yīng)的微分方程：

(4)

(5)令初始值y(1)(n)，求解上述微分方程得到時間響應(yīng)序列：

(k=1,2,...n)

(5)

(6)還原模型為：

(6)

(7)再由y(0)(k)=arccosx(0)(k),k=1,2...n得

x(0)(k)=arccosy(0)(k),k=1,2...n

(7)

3 實例應(yīng)用

為了說明優(yōu)化后的GM(1,1)預(yù)測精度更高，以文獻[5]的數(shù)據(jù)建模見表1。

表1 1992-2002年我國客運量

文獻[5]從理論上證明了用非零常數(shù)乘以原始序列進行GM(1,1)建模得到的預(yù)測值等于直接用原始序列進行建模的預(yù)測值乘以相同常數(shù)，由此說明對原始數(shù)據(jù)乘以一常數(shù)再進行建模不會改變模型的預(yù)測精度，所以將原始數(shù)據(jù)做如下標(biāo)準(zhǔn)化處理：

(8)

通過(8)將數(shù)據(jù)處理為：

(1.0990,1.0768,1.0398,0.9444,0.8726,0.8096,0.7492,0.6760,0.6249,0.6089)

一般來說，利用GM(1,1)模型進行預(yù)測，精度較高的僅僅是最近的幾個數(shù)據(jù)，隨著時間的推移和事物的發(fā)展，該模型的預(yù)測精度就會減弱，所以應(yīng)用時，引入灰色理論中的新陳代謝思想，彌補這種不足。

運用表一中前10個數(shù)據(jù)，建立反余弦變換的GM(1,1)預(yù)測模型，后面3個數(shù)據(jù)用于模型的檢驗。用MATLAB計算得到反余弦變換的GM(1,1)預(yù)測模型為：

(9)

結(jié)合相應(yīng)的數(shù)據(jù)變換得到預(yù)測值為：

結(jié)合灰色理論的新陳代謝思想，刪除標(biāo)準(zhǔn)化后的第一個初始值1.0990，同時加上新得到的0.5486，得到預(yù)測值0.5017.再逐個預(yù)測，并做相應(yīng)的數(shù)據(jù)還原處理，結(jié)果如表2所示。

表2 三種不同模型預(yù)測結(jié)果及其相對誤差比較

4 結(jié) 語

由三種模型預(yù)測平均相對誤差可知，利用反余弦變換有效地改善了原始數(shù)據(jù)的光滑度，在反余弦函數(shù)變換的基礎(chǔ)上，引入灰色理論中的新陳代謝思想后，提高了模型的預(yù)測精度，具有更加良好的實用性和有效性。