基于相關(guān)性理論和灰色模型的大學(xué)生體能測(cè)試分析

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(1.廣州城建職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510925 ； 2.廣州中醫(yī)藥大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，廣東 廣州510006 )

0 引 言

大學(xué)生體質(zhì)健康關(guān)系到民族未來(lái)的發(fā)展，教育部要求每年以學(xué)校為單位組織展開大學(xué)生體能測(cè)試，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理上報(bào)，以便全面了解大學(xué)生體質(zhì)發(fā)展?fàn)顩r。

以跟蹤采集某學(xué)院4年來(lái)近2萬(wàn)名學(xué)生的體測(cè)樣本為基礎(chǔ)，采用拉以達(dá)法則剔除異常數(shù)據(jù)，減小了模型的隨機(jī)誤差，結(jié)合相關(guān)系數(shù)、回歸樹等數(shù)學(xué)模型，較為全面地計(jì)量了身體質(zhì)量指數(shù)-BMI(Bodymass Index)對(duì)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)的影響，引入均值灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)未來(lái)3年大學(xué)生體質(zhì)變化趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

1 主要模型及其機(jī)理

以年為單位預(yù)測(cè)大學(xué)生體質(zhì)發(fā)展趨勢(shì)，但僅有2014-2017年數(shù)據(jù)，小樣本、貧數(shù)據(jù)是其鮮明特點(diǎn)，因此灰色預(yù)測(cè)較為合適，但以男生肺活量序列(3332.922，3810.932，3592.433，3846.573)、50m跑序列(6.961，7.074，7.245，6.858)為例，有顯著的振蕩情形，而相較原始差分、離散GM(1,1)而言，均值GM(1,1)(或EGM)精度更高，因此引入EGM模型[1]。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)獲取與指標(biāo)體系構(gòu)建

以某學(xué)院2014-2017年體測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，總樣本20092個(gè)，構(gòu)建體測(cè)指標(biāo)體系：身高、體重、BMI、肺活量、立定跳遠(yuǎn)、坐位體前屈、50m跑，另外男生包含1000m跑、引體向上，女生包含800m跑、仰臥起坐等指標(biāo)。

如下以男生為例建立模型，采用拉以達(dá)法則剔除2014-2017各年指標(biāo)下數(shù)據(jù)的異常值。

依此原則，落在上述區(qū)間外的樣本可認(rèn)為它與均值誤差過大，作為異常值加以剔除，對(duì)剔除后的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析。如表1所示，可發(fā)現(xiàn)各指標(biāo)變化趨勢(shì)：身高、引體向上、1000m跑逐漸變大；體重、BMI逐漸變小；引體向上、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、50m跑振蕩變化，趨勢(shì)不定。

表1 2014-2017年各體測(cè)指標(biāo)數(shù)據(jù)平均值(男生)

2.2 關(guān)聯(lián)度模型計(jì)量與分析

為探知BMI，即體質(zhì)指數(shù)對(duì)各個(gè)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)，如引體向上、1000m跑等影響大小的問題，文中領(lǐng)域文獻(xiàn)未能建立起合適的函數(shù)計(jì)量模型，主要存在擬合優(yōu)度偏低或未通過顯著性檢驗(yàn)等問題，例如多元線性回歸、Logistic回歸模型等(偽)擬合優(yōu)度均不超過15%等，從關(guān)聯(lián)度角度來(lái)探索他們之間的數(shù)量關(guān)系。

因探討的所有指標(biāo)都是連續(xù)性變量，所以可通過計(jì)算各指標(biāo)間余弦關(guān)聯(lián)度，即Pearson相關(guān)系數(shù)R描述各指標(biāo)關(guān)聯(lián)程度[3]。

式中樣本(Xi,Yi),i=1,2,…n為(X,Y)的一組隨機(jī)取樣，運(yùn)用Matlab軟件求出相關(guān)系數(shù)R，如表2所示。

表2 各體測(cè)指標(biāo)相較于BMI的相關(guān)系數(shù)(男生)

通過表2可以看出，BMI除了與肺活量正相關(guān)外，與其它指標(biāo)均負(fù)相關(guān)。BMI與各指標(biāo)關(guān)聯(lián)度排序依次為引體向上、肺活量、立定跳遠(yuǎn)、坐位體前屈、1000m跑、50m跑，雖然各相關(guān)系數(shù)都通過了顯著性檢驗(yàn)，但普遍偏低，且相互之間差距較小，為消除上述模型存在取樣和統(tǒng)計(jì)推斷所帶來(lái)的偏差，進(jìn)一步引入回歸樹模型(CART)檢驗(yàn)與修正各體測(cè)指標(biāo)與BMI之間的關(guān)聯(lián)度。

利用回歸樹模型探索各指標(biāo)關(guān)于BMI的重要性主要是以Gini指數(shù)表征回歸樹節(jié)點(diǎn)的純度，Gini指數(shù)越大則純度越低，而在數(shù)據(jù)打亂的前提下，以Gini指數(shù)變化的均值看作自變量相對(duì)于因變量的重要程度度量。在運(yùn)用SPSS軟件做回歸樹分析的過程中可計(jì)算其它體測(cè)指標(biāo)關(guān)于BMI的重要性，結(jié)果如表3所示。

表3 各體測(cè)指標(biāo)相較于BMI的重要性(男生)

表2與表3呈現(xiàn)的偏差既有模型選取不同帶來(lái)的系統(tǒng)偏差，又有樣本選取造成的隨機(jī)誤差，為更客觀地描述BMI與各指標(biāo)間的關(guān)聯(lián)度，結(jié)合上述兩模型計(jì)量結(jié)果，修正BMI與體測(cè)指標(biāo)的關(guān)聯(lián)度。修正結(jié)果如下：BMI與引體向上關(guān)聯(lián)度最高；BMI與立定跳遠(yuǎn)、肺活量關(guān)聯(lián)度次之，另外，BMI與該兩項(xiàng)指標(biāo)關(guān)聯(lián)度大體相當(dāng)；BMI與1000m跑、坐位體前屈、50m跑關(guān)聯(lián)度最低，其次，BMI與該三項(xiàng)指標(biāo)關(guān)聯(lián)度大體相當(dāng)。

依此類推，可以得到女生BMI與仰臥起坐關(guān)聯(lián)度最高，與立定跳遠(yuǎn)關(guān)聯(lián)度次之，而BMI與肺活量、800m跑、坐位體前屈、50m跑等關(guān)聯(lián)度都偏低。

2.3 灰色預(yù)測(cè)模型計(jì)量與分析

基于2014-2017年表1所示數(shù)據(jù)，為預(yù)測(cè)大學(xué)生體質(zhì)發(fā)展趨勢(shì)，以BMI為例，其變化未呈現(xiàn)出明顯的指數(shù)趨勢(shì)，因此采用均值GM(1,1)模型進(jìn)行計(jì)量。

借助Matlab軟件計(jì)算得：原始序列為X(0)=(21.139，21.034,20.482，19.908)，累加得1-AGO序列

X(1)=(21.139，42.173，62.655，82.563)

計(jì)算得到參數(shù)估計(jì)值為

則對(duì)應(yīng)時(shí)間的響應(yīng)式為

-775.513e-0.0275i+796.742

帶入上述式子可得到模擬序列

殘差序列為

ε(0)=(0，-0.004,0.013，-0.005)

進(jìn)而得到平均相對(duì)誤差

通過上述時(shí)間響應(yīng)式，即預(yù)測(cè)函數(shù)，得到2018、2019、2020級(jí)BMI預(yù)測(cè)值分別為21.038、20.468、19.913。

重復(fù)上述方法可得到其它指標(biāo)的預(yù)測(cè)值及相對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差，如表4、表5所示：

表4 2018-2020年各體測(cè)指標(biāo)預(yù)測(cè)值(男生)

從表4可以得到，身高呈現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)趨勢(shì)，但幅度變化較??；體重相對(duì)下降；BMI呈現(xiàn)極速下滑趨勢(shì)；引體向上、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、坐位體前屈均呈現(xiàn)平緩上漲趨勢(shì)；50m跑用時(shí)在縮短；但1000米跑用時(shí)卻在逐漸變長(zhǎng)，且變化幅度較大。

表5 2018-2020年各體測(cè)指標(biāo)預(yù)測(cè)平均相對(duì)誤差(男生)

從表5可以看到預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差中，除去坐位體前屈、立定跳遠(yuǎn)、肺活量誤差稍大，精度稍低，剩余指標(biāo)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差較小，總體說(shuō)明EGM模型是較為理想的預(yù)測(cè)體能素質(zhì)發(fā)展趨勢(shì)的模型。

依次類推，也可得到女生各項(xiàng)指標(biāo)在未來(lái)三年的預(yù)測(cè)值及平均相對(duì)誤差。

4 結(jié) 論

基于相關(guān)分析、回歸樹、均值GM(1,1)等數(shù)學(xué)模型，有效地解決了體能測(cè)試指標(biāo)間關(guān)聯(lián)度和預(yù)測(cè)問題，并給出了關(guān)聯(lián)系數(shù)與預(yù)測(cè)方程。而且，模型呈現(xiàn)出誤差小、精度高的特點(diǎn)，說(shuō)明使用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型可解決類似于體能測(cè)試等諸多實(shí)際問題。

通過實(shí)證分析可以得出：男生BMI與引體向上指標(biāo)關(guān)聯(lián)度最高，與50m跑關(guān)聯(lián)度最低，未來(lái)三年男生平均身高增加趨緩，但平均體重卻急劇減小，平均BMI下降明顯，平均肺活量增大，但1000m跑卻呈現(xiàn)明顯下滑趨勢(shì)；女生BMI與仰臥起坐關(guān)聯(lián)度最高，未來(lái)三年女生平均身高平緩增加，平均體重也急劇減小，平均BMI略有下降，平均肺活量明顯增大，800m跑成績(jī)下滑顯著。但BMI關(guān)于運(yùn)動(dòng)指標(biāo)的函數(shù)計(jì)量模型仍有待于進(jìn)一步研究。