狀態(tài)空間虛功原理的動荷載識別方法

徐 訓(xùn)， 魏銘康， 鄒宇遠(yuǎn)， 趙 煜， 秦世強(qiáng)

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 湖北 武漢 430070)

荷載是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計，結(jié)構(gòu)動力優(yōu)化及結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測等不可或缺的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，必須對荷載進(jìn)行準(zhǔn)確測量。結(jié)構(gòu)荷載的測量分為直接測量和間接測量，但在多數(shù)情況下，荷載的直接測量存在很多局限及困難：(1)荷載對結(jié)構(gòu)作用屬于一種能量傳遞，能量傳遞介質(zhì)的多樣性，使得荷載測試設(shè)備及測試方法變復(fù)雜；(2)荷載測試設(shè)備所處環(huán)境惡劣，對荷載測試設(shè)備的耐久性及可靠性要求很高；(3)當(dāng)結(jié)構(gòu)處于工作狀態(tài)及荷載位置或荷載發(fā)生時間不確定，無法對荷載直接測量。因此，通過測量結(jié)構(gòu)響應(yīng)識別荷載成為結(jié)構(gòu)監(jiān)測領(lǐng)域一個重要的研究內(nèi)容。

荷載識別在土木工程眾多領(lǐng)域均有應(yīng)用。水利水電系統(tǒng)中影響水電機(jī)組安全穩(wěn)定運(yùn)行的主要因素是水輪機(jī)的振動，文獻(xiàn)[1]采用小波分析手段識別了水電站的動荷載；在輸變電系統(tǒng)中，輸電塔的風(fēng)致效應(yīng)是電力線路破壞的主要原因，風(fēng)洞試驗及現(xiàn)場實測是分析風(fēng)荷載的主要手段，文獻(xiàn)[2，3]通過輸電塔響應(yīng)識別風(fēng)荷載；地下結(jié)構(gòu)具有隱蔽性及測試不便的不利因素，因此，文獻(xiàn)[4]提出了一種地下結(jié)構(gòu)荷載的廣義反演法；橋梁車輛荷載是橋梁的運(yùn)營管理、檢修維護(hù)不可或缺的數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[5]將荷載用形函數(shù)展開，提出一種大跨橋梁結(jié)構(gòu)的移動荷載識別方法；文獻(xiàn)[6]通過橋梁拉索的監(jiān)測數(shù)據(jù)識別車輛荷載。

荷載識別屬于動力學(xué)反問題，求解時系統(tǒng)一般存在病態(tài)問題，針對該問題，研究人員發(fā)展了一些改善求解穩(wěn)定性的方法。文獻(xiàn)[7]用頻響函數(shù)矩陣條件數(shù)評價系統(tǒng)病態(tài)性，給出Tikhonov正則化方法和用奇異值分解法給出各自適應(yīng)的矩陣條件數(shù)；文獻(xiàn)[8]根據(jù)荷載的時空分布特征，將荷載解耦為空間正交函數(shù)和時間函數(shù)的線性組合來改善求解的穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[9]在識別結(jié)構(gòu)模態(tài)力時用Landweber正則化方法改善方程組求解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10]先對含噪信號用奇異值去噪，再通過正則化預(yù)優(yōu)的共軛梯度迭代算法改善問題的不適定性。

結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理列的力平衡方程，利用結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程識別結(jié)構(gòu)外荷載、方程階數(shù)、方程中包含的響應(yīng)類型及力的矢量特性，使得荷載識別過程變得復(fù)雜且困難，針對上述幾點(diǎn)，本文提出了在狀態(tài)空間用虛功原理識別外荷載的方法。

1 荷載識別原理

結(jié)構(gòu)在外荷載作用下，結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程可表示為

(1)

令Z(t)為結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量，且Z(t)可表示為

(2)

則式(1)改寫成結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程如下

(3)

其中：

(4)

(5)

在結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程(3)式兩邊同時乘以任意一個一階導(dǎo)數(shù)存在的虛位移函數(shù)Φ(t)并在時間區(qū)間[titj]內(nèi)積分

(6)

對(6)式采用分部積分有

(7)

(7)式和(3)式相比較，(7)式不含有狀態(tài)向量Z(t)的一階導(dǎo)數(shù)項，但引入了虛位移函數(shù)Φ(t)的一階導(dǎo)數(shù)。虛位移函數(shù)Φ(t)只要求一階導(dǎo)數(shù)存在，因此，虛位移函數(shù)Φ(t)是任意的至少一階可導(dǎo)的函數(shù)，且虛位移函數(shù)Φ(t)是已知的。

X(t)=S(t)X(tnode)

(8)

(9)

F(t)=S(t)F(tnode)

(10)

將式(8)，(9)代入式(2)有

(11)

將式(10)，(11)代入式(7)有

(12)

在式(12)中，X(tnode)，F(xiàn)(tnode)為待定常數(shù)，因此，X(tnode)，F(xiàn)(tnode)可以提取到積分符號外。

(13)

令

(14)

(15)

式(13)可以簡寫為

LX(tnode)=RF(tnode)

(16)

在荷載識別的過程中，采集部分結(jié)構(gòu)響應(yīng)，且假定已知部分外荷載，采用分塊矩陣將結(jié)構(gòu)響應(yīng)及外荷載分為已知部分和未知部分有

(17)

式中：Lk，Xk(tnode)表示已知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；Lu，Xu(tnode)表示未知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；Rk，F(xiàn)k(tnode)表示已知的結(jié)構(gòu)外荷載，Ru，F(xiàn)u(tnode)表示未知的結(jié)構(gòu)外荷載。

將式(17)已知部分移到方程右邊，未知部分移到方程左邊

(18)

令

(19)

(20)

將式(19)，(20)代入式(18)有

(21)

采用Moor-Penrose廣義逆求解式(21)有

(22)

F(tnode)=[Fu(tnode)Fk(tnode)]代入式(10)，可以求出待識別荷載F(t)。

2 數(shù)值仿真

為驗證上述荷載識別算法，以一四自由度剪切結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行說明。結(jié)構(gòu)質(zhì)量及層間剛度如圖1所示，結(jié)構(gòu)阻尼為Rayleigh阻尼

C=αM+βK

(23)

其中α=0.6984，β=9.3896×10-4。

圖1 四層剪切結(jié)構(gòu)模型

結(jié)構(gòu)初始位移及初始速度為0。作用在結(jié)構(gòu)上的荷載分別為：第四層為三角波荷載；第三層為隨機(jī)荷載；第二層為諧波荷載。土木工程結(jié)構(gòu)所遇荷載頻率均較低，本算例所有荷載頻率均在50 Hz以內(nèi)，所有荷載時程如圖2所示。本文所提算法要求已知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)應(yīng)大于等于待識別荷載數(shù)，因此，本算例采集第二、三、四層結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)識別外荷載。實際采集的結(jié)構(gòu)響應(yīng)均包含噪聲影響，噪聲水平通過信噪比控制，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的信噪比SNR取為30。

圖2 結(jié)構(gòu)荷載時程

圖3給出了三種荷載時程曲線的識別結(jié)果，從圖中可知，算法對不同類型的荷載均能很好識別，識別荷載值在荷載真值附近波動，其中三角波荷載和諧波荷載的識別值呈微鋸齒狀，在荷載峰值或峰谷部分，識別誤差較其他處稍大，但荷載識別值總的變化形式和荷載真值一致。通過計算荷載識別值和荷載真值的相對誤差，三角波荷載識別的相對誤差為21.9%，隨機(jī)荷載識別的相對誤差為23.9%，諧波荷載識別的相對誤差為6.17%，隨機(jī)荷載的頻率成分更復(fù)雜，導(dǎo)致識別結(jié)果的誤差最大，三角波荷載和諧波荷載相比，三角波荷載存在不可導(dǎo)點(diǎn)，導(dǎo)致三角波荷載的識別誤差比諧波荷載大。

圖3 實際荷載時程和識別荷載時程比較(SNR為30)

3 結(jié) 論

本文提出了在狀態(tài)空間用虛功原理識別結(jié)構(gòu)外荷載的算法，數(shù)值仿真算例驗證了本文所提算法對多種類型的荷載，在一定噪聲水平下能成功識別外荷載，并得到如下結(jié)論：

(1)荷載頻率影響荷載識別結(jié)果：單一頻率荷載的識別效果要好于包含多個頻率的荷載，荷載頻譜越復(fù)雜，荷載識別的相對誤差越大；

(2)荷載的光滑程度影響荷載識別效果：如果荷載存在不可導(dǎo)點(diǎn)，在不可導(dǎo)點(diǎn)鄰域荷載的識別誤差稍大；