從一道行列式的演化談行列式的計(jì)算方法

王亞林

摘 要：行列式是線性代數(shù)中的核心內(nèi)容，在線性方程組的解、矩陣的特征理論等方面的研究中扮演著重要角色。行列式的計(jì)算既是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，也是利用行列式解決問題的關(guān)鍵。本文從一道文字行列式出發(fā)，通過行列式中元素的不同變化觀察它們之間的特點(diǎn)，針對不同特點(diǎn)給出相應(yīng)計(jì)算方法，凸顯了行列式計(jì)算中一題多解的特性，同時(shí)也培養(yǎng)了從已有知識構(gòu)建新知識的知識建構(gòu)能力。這些探討為今后指導(dǎo)教學(xué)和利用行列式解決問題奠定了一定的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：行列式；矩陣分解；降階理論；知識建構(gòu)

行列式在數(shù)學(xué)中，是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式，亦可看作有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。行列式是由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在17世紀(jì)晚期提出的，它在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論以及微積分學(xué)中發(fā)揮著重要作用。計(jì)算高階行列式往往是復(fù)雜而困難的事，但在實(shí)際教學(xué)、實(shí)際問題和理論問題中都是必須要解決的。從理論上講，必可用行列式的性質(zhì)將原行列式化為上（下）三角行列式，但這通常只對數(shù)字行列式奏效，一般的文字行列式未必能實(shí)現(xiàn)這一想法，因此需要另想他法。所謂文字行列式就是元素中含有未定元的行列式。

下面重點(diǎn)討論文字行列式的計(jì)算。

首先，文字行列式由于其元素的未定性導(dǎo)致它比數(shù)字行列式更為抽象。其次，在文字行列式的計(jì)算過程中，有時(shí)需要對未定元是否取某些值進(jìn)行討論。因此給學(xué)生的認(rèn)知帶來一定的困惑，同時(shí)增加了學(xué)生使用行列式的性質(zhì)和已有方法計(jì)算文字行列式的難度。為了解決文字行列式計(jì)算中出現(xiàn)的困擾，首先從一個簡單的文字行列式出發(fā)，通過分析該文字行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)和一些基本的計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)了它的計(jì)算。其次通過改變原有文字行列式的元素，對比新的行列式與原有行列式的異同，觀察變化前后行列式計(jì)算方法的區(qū)別與聯(lián)系。最后通過上述實(shí)例重點(diǎn)總結(jié)文字行列式的計(jì)算技巧和每種行列式計(jì)算方法的關(guān)鍵點(diǎn)。

我們先給出行列式計(jì)算中經(jīng)常用到的一些性質(zhì)和定理。它們的證明可參考中的相應(yīng)章節(jié)。

性質(zhì)1 互換行列式的兩行（列），行列式変號。

性質(zhì)2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。

性質(zhì)3 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則行列式為零。

性質(zhì)4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和，這兩個行列式的這一行（列）分別是第一組數(shù)和第二組數(shù)，而其余各行（列）與原來行列式的相應(yīng)各行（列）相同。

性質(zhì)5 把行列式的某一行（列）乘以同一個數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)元素上去，行列式不變。

定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和，即

下面我們從一個簡單的文字行列式的實(shí)例出發(fā)，通過行列式中元素的變換，探討文字行列式的計(jì)算方法和技巧。

例1：

分析：n階行列式Dn有如下特點(diǎn)：①Dn的第i行有公因子[ai]，第j列有公因子[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn對應(yīng)的n階矩陣能夠分解成一個n維列向量和一個n維行向量的乘積。基于特點(diǎn)①我們可通過行列式的性質(zhì)（性質(zhì)2和性質(zhì)3）與加邊法（升階法）兩種方法計(jì)算該行列式；特點(diǎn)②恰好符合Binet—Cauchy定理的條件，因此可利用Binet—Cauchy定理的結(jié)果獲得此行列式的值。具體解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性質(zhì)。

方法二：加邊法。

給Dn增加一行一列得到一個新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

分析：例2中的n階行列式是給例1中的n階行列式每個元素加1得到的一個新的行列式。此行列式表面上不再具有例1中的特點(diǎn)①，但通過行列式的性質(zhì)5處理之后部分具有例1中的特點(diǎn)①，類似于例1中的特點(diǎn)②得到了保留，同時(shí)這種變化使此行列式有了新的特點(diǎn)。具體如下：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn對應(yīng)的n階矩陣能夠分解成一個[n×2]矩陣和一個[2×n]矩陣的乘積；③每一行（列）中的元素都是兩組數(shù)之和?；谔攸c(diǎn)①我們可通過行列式的性質(zhì)（性質(zhì)5、性質(zhì)2和性質(zhì)3）與加邊法兩種方法計(jì)算該行列式；特點(diǎn)②恰好符合Binet—Cauchy定理的條件，因此可利用Binet—Cauchy定理的結(jié)果獲得此行列式的值；特點(diǎn)③滿足行列式性質(zhì)3的要求，籍此可采用分裂法計(jì)算此行列式。具體解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性質(zhì)。

方法二：加邊法。

給Dn增加一行一列得到一個新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

方法四：分裂法。

當(dāng)n=1時(shí)，[D1=1+a1b1]；

當(dāng)[n≥2]時(shí)，將Dn按第1列分裂成兩個行列式之和，再將第一個行列式的第1列乘（-1）加到第j列，然后從第j列提取公因式[bj]（[j=2，3，……，n]），將第二個行列式的第1列提取公因式[b1]后乘（[-bj]）加到第[j]（[j=2，3，……，n]）列，有

分析：例3中的n階行列式是給例1中的n階行列式主對角線上每個元素加1得到的一個新的行列式。此行列式具有如下特點(diǎn)：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中i，j=1，2，[……]，n；②每一行（列）中的元素都是兩組數(shù)之和；③Dn對應(yīng)的n階矩陣能夠?qū)懗梢粋€n階單位陣加上一個n維列向量與一個n維行向量的乘積?；谔攸c(diǎn)①可通過加邊法計(jì)算該行列式；特點(diǎn)②滿足行列式性質(zhì)3的要求，籍此可采用分裂法計(jì)算此行列式，與例2中的分裂法所不同的是這里我們先獲得該行列式的遞推公式，再配合遞推法獲得此行列式的值；特點(diǎn)③恰好具有定理3的形式，因此可利用降階定理的結(jié)果獲得此行列式的值。具體解法如下。

方法一：加邊法。

把Dn增加1行1列，得到一個[n+1]階行列式[Mn+1]，有

方法二：分裂法。

將Dn按第n列分裂成兩個行列式之和，再將第一個行列式按第n列展開，將第二個行列式的第n列提取公因子（[-bn]）后乘[bj]加到第[j]（[j=1，2，……，n-1]）列，有

方法三：利用降階定理。

分析：例4中的n階行列式可以看做例3中的n階行列式所含元素[aibj]變成[ai-bj]得到的一個新的行列式，其中[i，j=1，2，……，n].例4與例3的這種關(guān)系為我們計(jì)算例4中的行列式提供了一定的思想，但就同一方法而言例4的計(jì)算復(fù)雜度比例3要高，甚至對例3很奏效的一些方法對于解決例4卻變得很困難，例如分裂法和送取法。例4的具體解法如下：

解：

方法一：加

方法二：利用降階定理。

例1至例4的計(jì)算涉及了行列式計(jì)算的六種常用方法：性質(zhì)法、加邊法、分裂法、遞推法、利用Binet—Cauchy定理和利用降階定理。這些方法的核心是行列式的性質(zhì)，而運(yùn)用這些方法計(jì)算行列式的核心是掌握每種方法的本質(zhì)和行列式自身的特點(diǎn)。這里所謂的性質(zhì)法主要是應(yīng)用性質(zhì)3的結(jié)論，一般情況下此過程需要其它性質(zhì)輔助實(shí)現(xiàn)。加邊法以定理1為理論依據(jù)，以保持原行列式的值不變?yōu)樵瓌t，以簡化行列式的計(jì)算為目的，在原行列式的基礎(chǔ)上增加一行一列的方法，一般增加的一行或一列的元素由0和1組成，此外的一行或一列的元素則要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)，選擇原行列式中的某些原有元素。最后，上面僅給出了計(jì)算行列式的一些基本方法，對于一些技巧性更強(qiáng)或針對特定形式的行列式的計(jì)算方法可參看。

參考文獻(xiàn)

[1]屠伯塤.線性代數(shù)方法導(dǎo)引[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1986.

[2]許以超.線性代數(shù)與矩陣論[M].北京：高等教育出版社，1992.