大量粒子運(yùn)動的臨界問題

陶漢斌

(浙江金華第一中學(xué) 321015)

浙江省的選考物理試題中常出現(xiàn)“大量粒子”的運(yùn)動問題，由于這類問題涉及的研究對象是大量的粒子，而我們不可能對大量粒子中的每一個(gè)粒子都進(jìn)行分析，那么我們應(yīng)該如何選取恰當(dāng)?shù)牧Ｗ幼鰹檠芯繉ο竽?？從粒子源射出的大量粒子有自己的個(gè)性與共性問題，比如大量粒子的速率相同而方向不同，比如大量粒子的速度方向相同而速率大小不同.同學(xué)們要根據(jù)運(yùn)動的臨界條件，恰當(dāng)?shù)剡x取“臨界”粒子，利用“臨界”粒子進(jìn)行分析使問題變得簡潔明了、形象生動.

例1如圖1所示，x軸上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，坐標(biāo)原點(diǎn)處有一正離子源，單位時(shí)間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n0個(gè)速率均為v的離子，分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi).在x軸上放置長度為L的離子收集板，其右端點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2L，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí)，沿y軸正方向入射的離子，恰好打在收集板的右端點(diǎn).整個(gè)裝置處于真空中，不計(jì)重力，不考慮離子間的碰撞，忽略離子間相互作用.

(2)如果發(fā)射的離子被收集板全部收集，求θ的最大值；

(3)假設(shè)離子到達(dá)x軸時(shí)沿x軸均勻分布.當(dāng)θ=37°，磁感應(yīng)強(qiáng)度在B0≤B≤3B0的區(qū)間取不同值時(shí)，求單位時(shí)間內(nèi)收集板收集到的離子數(shù)n與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的關(guān)系.(不計(jì)離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間)

解析正離子源射出的離子速率是相同的，因此它們在磁場中都做相同半徑的勻速圓周運(yùn)動，只是轉(zhuǎn)過的圓心角不同，也就是經(jīng)歷的圓弧長度不同.那么分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)大量粒子，哪個(gè)是臨界粒子呢？我們知道圓周中最長的弦長是直徑，因此沿y軸正方向射入的粒子是打到收集板上最遠(yuǎn)的臨界粒子，而沿y軸兩側(cè)以θ角射入的兩個(gè)離子也是臨界粒子，因?yàn)檫@兩個(gè)離子的弦長是最短的，是打到收集板上最近的臨界粒子，其中一個(gè)是優(yōu)弧，另一個(gè)是劣弧.具體解答如下：

(1)對帶電粒子的圓周運(yùn)動

而沿y軸正方向入射粒子軌跡為半圓R=L

(2)選取與y軸正方向夾角相同的向左和向右2個(gè)粒子為臨界粒子.當(dāng)粒子恰好達(dá)到收集板最左端時(shí)，θ達(dá)到最大，粒子軌跡如圖2所示

由圖中幾何關(guān)系得2Rcosθm=L=R

因此可得θmax=600

(3)以沿y軸正方向入射的粒子為臨界粒子，打在x軸上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為2R.

沿與y軸正方向馬θ=37°入射的臨界粒子，打在x軸上距離原點(diǎn)最近距離為2Rcosθ=1.6R

也就是說粒子打在x軸上的區(qū)間為1.6R～2R，而在x軸上吸收板的區(qū)間為L～2L，如圖3所示.若全部收集到離子時(shí)的最小半徑為R1，則有

當(dāng)B0≤B≤1.6B0時(shí)收集板上收集到的離子數(shù)n1=n0

若恰好收集不到離子時(shí)的半徑為R2，則有2R2=L

當(dāng)2B0

例2 如圖4所示，在B=0.1 T的勻強(qiáng)磁場中畫出 邊長為L=8 cm的正方形EFGH，內(nèi)有一點(diǎn)p，它與EF和FG的距離均為1 cm，在P點(diǎn)有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置，能夠連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射出速率不同的正離子，離子的質(zhì)量為1.0×10-14kg，電荷量為1.0×10-5C，離子的重力不計(jì)，不考慮離子之間的相互作用.(計(jì)算結(jié)果可保留根號)

(1)速率在什么范圍內(nèi)的離子不可能射出正方形區(qū)域?

(2)速率為1×106m/s的離子在紙面上向各個(gè)方向均勻發(fā)射，求不會射出正方形區(qū)域的離子與能射出正方形區(qū)域的離子的個(gè)數(shù)之比.

(3)速率大于多少的離子將全部射出正方形區(qū)域？

解析這些大量粒子的速率不同，在磁場中運(yùn)動的軌道半徑也不同，但這些粒子是從同一個(gè)點(diǎn)P出發(fā)的.在粒子做圓周運(yùn)動的過程中，弦長最長的是直徑.具體解法如下：

(1)P到正方形邊界最近的距離為1 cm，選取直徑為1 cm向左或向上的粒子為臨界粒子，臨界條件是粒子運(yùn)動的軌跡剛好與邊界相切.

解得v=5×105m/s

因此只要v<5×105m/s離子不可能射出正方形區(qū)域.

(2)速率為v1=1×106m/s的離子在磁場運(yùn)動的軌道半徑為r1=1.0 cm

選取向下和向右運(yùn)動的粒子為臨界粒子，此粒子的臨界條件是運(yùn)動軌跡恰好與邊界相切，如圖5所示.兩個(gè)臨界粒子速度間角度為900，在360°的整個(gè)空間平面內(nèi)，粒子速度從水平向右順時(shí)針轉(zhuǎn)到豎直向下的90°范圍內(nèi)的粒子將不會射出磁場區(qū)域，而再從豎直向下順時(shí)針轉(zhuǎn)270°范圍內(nèi)的粒子將射出磁場區(qū)域，因此，不會射出正方形區(qū)域的離子與能射出正方形區(qū)域的離子的個(gè)數(shù)之比為1比3.

上文中的兩個(gè)案例對大量粒子的運(yùn)動問題進(jìn)行了分析闡述，求解大量粒子的運(yùn)動問題時(shí)，根據(jù)臨界條件恰當(dāng)?shù)剡x取臨界粒子，搞清楚什么物理事件，物理事件的臨界條件是什么.

一旦找到了滿足臨界條件的臨界粒子，就可以利用“臨界”粒子進(jìn)行分析使問題變得簡潔明了、形象生動.