引導(dǎo)學(xué)生克服幾何運(yùn)算中的畏懼心理

【摘要】幾何運(yùn)算中的畏懼心理，導(dǎo)致學(xué)生信心不足，甚至思維混亂，是制約幾何運(yùn)算能力提升的瓶頸。本文結(jié)合作者的教學(xué)實(shí)踐，探討了引導(dǎo)初中學(xué)生克服幾何運(yùn)算中的畏懼心理的具體做法，有一定的實(shí)踐意義。

【關(guān)鍵詞】幾何運(yùn)算 克服 畏懼心理

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）37-0106-02

一、引導(dǎo)學(xué)生理解掌握幾何知識(shí)

任何一道幾何運(yùn)算，都需要應(yīng)用相關(guān)的幾何知識(shí)。這就需要學(xué)生對(duì)所學(xué)的定義、定理（公式）以及推論等，爛熟于心并能靈活運(yùn)用。對(duì)所學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)理解得透、掌握得好、運(yùn)用得熟，運(yùn)算時(shí)，學(xué)生的底氣就足。

1.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的形成過(guò)程

“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！苯虒W(xué)中，教師要組織和引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐活動(dòng)，大膽提出猜想，進(jìn)而通過(guò)嚴(yán)密的推理論證，探究和驗(yàn)證猜想，自主得出定理（公式）及其推論等。

在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，自主得出結(jié)論，一方面，有成就感，可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的信心；另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力、探究意識(shí)以及解決問(wèn)題的能力，能夠加深對(duì)知識(shí)的理解、記憶。

2.培養(yǎng)學(xué)生一邊讀題一邊聯(lián)想的習(xí)慣

面對(duì)一團(tuán)亂麻似的素材，學(xué)生往往不知道如何理出頭緒，因而焦慮、畏懼。教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生，一邊讀題一邊聯(lián)想：由已知條件，可以提出哪些問(wèn)題、得出哪些結(jié)論？所給的特殊圖形，有哪些性質(zhì)？解決問(wèn)題，需要什么條件、有哪些途徑？等等。這樣，題目讀下來(lái)，相關(guān)的幾何知識(shí)就在頭腦中過(guò)了一遍電影，條件與結(jié)論之間的聯(lián)系以及解題思路，也就有了眉目。 學(xué)生養(yǎng)成了一邊讀題一邊聯(lián)想的習(xí)慣，不僅有利于培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，更有助于記憶、理解和掌握已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)?，一邊讀題一邊聯(lián)想，實(shí)際上就是一次有針對(duì)性的回顧復(fù)習(xí)的過(guò)程。

3.鼓勵(lì)一題多解

很多情況下，一道幾何問(wèn)題的解法并不唯一。教師應(yīng)該明確要求學(xué)生，不能僅僅滿足于解決問(wèn)題，要進(jìn)行練后反思，盡可能的用不同方法解決問(wèn)題，并且進(jìn)行比較，找出最佳的解法。

為了減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，可以只要求學(xué)生寫(xiě)出一種解法，其他的解法，則只需在心里講一講。

解題的方法思路不同，所用到的幾何知識(shí)也就不同。學(xué)生若能堅(jiān)持一題多解，就相當(dāng)于在有限的時(shí)間內(nèi)，做了幾倍量的習(xí)題，達(dá)到更廣泛、更有效的應(yīng)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的目的。

二、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想

因?yàn)榉倍@出其難，是幾何運(yùn)算的明顯特點(diǎn)，也是學(xué)生產(chǎn)生畏懼心理的客觀原因。幾何運(yùn)算中，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，往往可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

1.建模思想

例1.已知：如圖，在矩形內(nèi)一些相交線把它分成8個(gè)部分，其中的3個(gè)部分面積分別為13，35，49。求圖中陰影部分的面積。

很多學(xué)生面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)，一籌莫展。而運(yùn)用方程思想和整體代入思想，就可使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單。

解：設(shè)原矩形面積為S，圖中陰影部分的面積為x，它的左、右兩個(gè)小空白三角形的面積分別為y，z.則

幾何運(yùn)算中，有時(shí)還需要將幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算。這樣，可以使算式顯得簡(jiǎn)潔，也更符合學(xué)生的思維特點(diǎn)。

2.轉(zhuǎn)化思想

合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，往往可以收到峰回路轉(zhuǎn)的效果，使得看似不能解決的問(wèn)題，變得異乎尋常的簡(jiǎn)單。

例2.已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，等腰直角△BPQ（∠PBQ=90°）的頂點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合），QP與BC交于點(diǎn)E，QP延長(zhǎng)線與AD（或AD延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)F，連接CQ。求PQ的最小值。

圖中，難以看出PQ的長(zhǎng)度與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系。什么情況下PQ的值最??？學(xué)生也是一頭霧水。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考：在等腰直角△BPQ中，當(dāng)斜邊PQ最小時(shí)，直角邊BP、BQ是不是也最??？什么情況下，BP的值最??？BP的最小值是多少？這樣，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BP的最小值，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

幾何運(yùn)算中，經(jīng)常要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。教師要引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)圖形變化、線段的延長(zhǎng)或截取、找替代量等方法，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，收到四兩撥千斤的效果。

3.數(shù)形結(jié)合思想

幾何知識(shí)，離不開(kāi)圖形。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生，認(rèn)真讀題，仔細(xì)看圖。沒(méi)有給出圖形的，根據(jù)題意，自己畫(huà)出圖形。

三、掌握必要的解題策略

對(duì)于圖形復(fù)雜、需要添加輔助線或者探究性問(wèn)題，學(xué)生往往望而生畏。而當(dāng)學(xué)生掌握了必要的解題策略以后，上面的問(wèn)題不僅能夠迎刃而解，而且學(xué)生會(huì)感到，解決這樣的問(wèn)題，輕松有趣。

例3.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中點(diǎn)。將△ABE沿AE翻折得到△AFE，連接CF。求CF的長(zhǎng)。

顯然，通過(guò)證明三角形全等等途徑，無(wú)法解決問(wèn)題，因此，只能將CF放到某一個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求出它的長(zhǎng)度。

過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線段，可以構(gòu)建直角三角形。但是，運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題時(shí)，得到的是一個(gè)二元二次方程，這在初中階段解決不了。

連接DF呢？無(wú)法得出△DCF是直角三角形的結(jié)論。這條路也走不通。

連接BF會(huì)怎樣？通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：如果△BCF是直角三角形，就可以很容易求出CF。因?yàn)锽C的長(zhǎng)已知，BF的長(zhǎng)可以求出。問(wèn)題是，如何證明∠BFC=90°呢？進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，圖中，BE=CE=EF.通過(guò)“等邊對(duì)等角”和三角形內(nèi)角和等于180°，不難得出∠BFC=90°。這樣，問(wèn)題就容易解決了。

這一題的解題策略，首先是要從求線段長(zhǎng)度的幾種方法中，篩選出利用勾股定理這一可行的方法，其次是要想辦法合理構(gòu)建直角三角形。

解題過(guò)程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握解題策略，還要鼓勵(lì)學(xué)生敢于嘗試。要讓學(xué)生明白，幾何運(yùn)算中，嘗試是必須的，嘗試失敗也是正常的，不能一遇到挫折就泄氣、就放棄。

有的探究性問(wèn)題，通過(guò)改變部分條件，要求我們探討結(jié)論如何變化。由于沒(méi)有給出明確的思考方向，加上條件變化的情況不唯一，讓學(xué)生感到很困惑。

其實(shí)，這類(lèi)問(wèn)題，第一個(gè)小問(wèn)題通常比較簡(jiǎn)單，學(xué)生基本都能自主解決。條件變化后的問(wèn)題，看起來(lái)復(fù)雜，但是，仿照解決第一個(gè)問(wèn)題的方法思路，往往可以使它變得簡(jiǎn)單明了。

例4.如圖，AB//CD，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)。

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在AB與CD之間時(shí)，證明：∠APC=∠PAB+∠PCD.

（2）如圖（2），（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系。

（3）如圖（3），∠APC與∠PAB，∠PCD之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)給出證明。

（4）如圖（4），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關(guān)系。

解決問(wèn)題（1），需要過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可輕松給出證明。圖（2）、（3）、（4）中，點(diǎn)P的位置變了，∠APC與∠PAB，∠PCD之間的關(guān)系也跟著發(fā)生了變化。但是，解決問(wèn)題的思路方法并沒(méi)有變，只需仿照解決問(wèn)題（1），過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)，問(wèn)題就解決了。

教師要引導(dǎo)學(xué)生明白，像上面的探究性問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，必須解決。成功解決第一個(gè)問(wèn)題后，要及時(shí)反思，理清解題的思路、方法，想一想運(yùn)用了哪些知識(shí)，并嘗試應(yīng)用這些思路、方法和知識(shí)，解決后面的問(wèn)題。這樣，以不變應(yīng)萬(wàn)變，學(xué)生自然就胸有成竹了。

對(duì)于看不清、理還亂的復(fù)雜圖形，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)題意，重新畫(huà)圖。這也是一個(gè)比較實(shí)用的解題策略。

四、培養(yǎng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的興趣

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，幾何問(wèn)題的一題多解，是對(duì)這句話的最好詮釋。學(xué)生通過(guò)一題多解，可以在體驗(yàn)解決問(wèn)題策略多樣性的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的美妙，增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何乃至數(shù)學(xué)的興趣和信心。

幾何知識(shí)在日常生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用非常廣泛。教學(xué)中，教師應(yīng)該緊密聯(lián)系生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生由感性到理性，循序漸進(jìn)地探究、學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，幾何知識(shí)就在我們身邊，可親而并不可畏。

對(duì)于農(nóng)村初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，用鮮活的實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，是激發(fā)興趣非常有效的方法。如，木匠師傅通過(guò)測(cè)量四邊和兩條對(duì)角線長(zhǎng)度，判斷方形桌面是否合格；瓦匠師傅用結(jié)繩的方法，判斷相鄰的兩面墻是否互相垂直；建房時(shí)，用釘木條的方法，防止門(mén)窗變形；剪紙藝人利用軸對(duì)稱(chēng)剪出美麗的圖案；狗搶食、追趕時(shí)，總是走直線等等，這些充滿情趣和智慧的事例，隨處可見(jiàn)，契合學(xué)生的需要，能夠喚起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

作者簡(jiǎn)介：

劉玉（1965.5-）；男；漢族；安徽六安人；本科；中學(xué)高級(jí)教師。