max-*合成模糊關(guān)系方程的解集

朱曉慶， 熊清泉

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

模糊關(guān)系在模糊系統(tǒng)中占有比較重要的地位，模糊關(guān)系方程為模糊關(guān)系的主要研究對象之一.1976 年，Sanchez［1］首先討論了 max-min 合成有限模糊關(guān)系方程，給出了方程有解的判定定理，并且在有解情況下給出了最大解的公式.之后，大量的研究者從不同合成算子、不同論域、不同算法等方向來研究模糊關(guān)系方程［2-10］.值得注意的是，Zhao［11］在完備分配格上討論了矩陣方程，當(dāng)格中每個元都有不可約有限并（交）既分解時，給出了方程可解的充要條件，并且在方程可解時，進(jìn)一步給出方程的解集.1989年，Di Nola等［12］討論了完備Brouwer格上max-min合成模糊關(guān)系方程，給出了方程有解的充要條件.De Baets［13-14］討論了完備分配格上的sup-T合成模糊關(guān)系方程，其中T為t-模.Fodor等［15］證實(shí)非交換、非結(jié)合算子在近似推理中更有效.2005年，Wang等［9］討論了完備格上的sup-T合成模糊關(guān)系方程，其中T為偽t-模（非交換、非結(jié)合），給出了方程有解的充要條件以及存在極小解的充分條件，獲得了相應(yīng)的解集結(jié)構(gòu).事實(shí)上，在求解sup-T（T代表t-模或偽t-模算子）合成模糊關(guān)系方程時，求極小解是其中的關(guān)鍵.針對不同合成算子，研究者給出了不同求極小解的方法.Lin［4］用覆蓋方法研究了max-Archimedean t-模合成模糊關(guān)系方程，發(fā)現(xiàn)此類方程與無冗余覆蓋存在一一對應(yīng)關(guān)系.Han等［3］在方程有解時根據(jù)最大解構(gòu)造有限偏序集，進(jìn)一步求出方程的極小解.Matusiewicz等［16］在求解max-*合成模糊關(guān)系方程時，通過誘導(dǎo)矩陣首先求出不等式的極小解，進(jìn)而得到方程的極小解.本文在文獻(xiàn)［16］基礎(chǔ)上不引入誘導(dǎo)矩陣，討論［0，1］上max-*合成模糊關(guān)系方程.首先討論單個變量方程，給出方程有解的充要條件.然后討論多變量單一方程，給出方程解集非空的充要條件.在解集非空時，進(jìn)一步給出方程存在極小解的必要條件以及極小解的個數(shù).最后討論方程組的解集，給出方程組解集非空的充要條件，并且在方程組解集非空時，利用最大解構(gòu)造有限偏序集的方法給出方程組的極小解，進(jìn)一步給出方程組的解集.

1 預(yù)備知識

設(shè) I ＝ ｛1，2，…，m｝，J ＝ ｛1，2，…，n｝.向量 x＝ （xj）j∈J，y ＝ （yj）j∈J，矩陣 A ＝ （aij）I×J，B ＝（bij）I×J，其中，xj，yj，aij，bij∈ L ＝ ［0，1］.定義序關(guān)系≤為 x≤y?xj≤yj，A ≤ B?aij≤bij，?i∈ I，j∈ J.

考慮方程

其中“?”代表 max-*合成運(yùn)算，矩陣 A ＝ （aij）m×n與向量 B ＝ （bi）i∈I已知，X ＝ （xj）j∈J未知.

定義 1.1［17］設(shè)T ：L ×L→L滿足：?a，b，c∈L，有

（i）交換律：T（a，b）＝ T（b，a）；

（ii）結(jié)合律：T（a，T（b，c））＝ T（T（a，b），c）；

（iii）單調(diào)性：如果 b≤c，則T（a，b）≤T（a，c）；

（iv）有界性：T（a，1）＝ a，稱T是（L，≤）上的三角模（簡稱t-模）.

定義1.2［18］設(shè)Γ：L ×L→L滿足：?a，b，c∈L，

（i）單調(diào)性：如果b≤c，則Γ（a，b）≤Γ（a，c）；

（ii）邊界條件：Γ（1，a）＝ a且 Γ（0，a）＝ 0，稱Γ是（L，≤）上的偽t-模.如果Γ還滿足Γ（a，0）＝0，則稱Γ為強(qiáng)偽t-模.

定義 1.3［17］設(shè)二元運(yùn)算*：L × L →L，如果對任意單調(diào)不減的序列｛xn｝n∈N都有（xn*y））*y，?y∈L，則稱二元運(yùn)算*是左連續(xù)的.類似可定義右連續(xù)，如果*既是左連續(xù)的也是右連續(xù)的，則稱*是連續(xù)的.

定義 1.4［16］設(shè)*：L ×L→L 滿足：?a，b，c∈L，

（i）單調(diào)性：如果 b≤ c，則 a*b≤ a*c；

（ii）邊界條件：1*0 ＝0；

（iii）連續(xù)性：既是左連續(xù)的也是右連續(xù)的，稱*是（L，≤）上的*運(yùn)算.（L，≤）上的全體*運(yùn)算用LRC表示.

定義 1.5［19］設(shè)φ：L × L→L，定義→φ與←φ為：?a，b∈ L，

假定空集的上確界是0，下確界為1.特別地，當(dāng)φ＝*時，二元運(yùn)算→*：L×L→L稱為誘導(dǎo)蘊(yùn)涵，即

當(dāng)φ＝*時，二元運(yùn)算←*：L×L→L稱為對偶誘導(dǎo)蘊(yùn)涵，即

定義 1.6［20］設(shè)二元運(yùn)算*：L × L → L，如果* 滿足：?a，bλ∈ ［0，1］，λ ∈ Λ（Λ ≠ ?），

則稱*是左（右）無限∨-分配的.如果*既是左無限∨-分配的，又是右無限∨-分配的，則稱*是無限∨-分配的.類似地，如果*滿足：

則稱*是左（右）無限∧-分配的.如果*既是左無限∧-分配的，又是右無限∧-分配的，則稱*是無限∧-分配的.如果*既是無限∧-分配的，又是無限∧-分配的，則稱*是無限分配的.

引理 1.1［15］設(shè)*：L × L→L單調(diào)遞增，則二元運(yùn)算*是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)*是無限分配的.

引理 1.2［15］設(shè) ｛t∈L：a*t≤b｝≠?，?a，b∈L.如果單調(diào)遞增的二元運(yùn)算*：L×L→L關(guān)于第二變元左連續(xù)，則L上誘導(dǎo)蘊(yùn)涵（5）式存在.

引理 1.3［15］設(shè) ｛t∈L：a*t≤b｝≠?，?a，b∈L.如果單調(diào)遞增的二元運(yùn)算*：L×L→L關(guān)于第二變元右連續(xù)，則L上對偶誘導(dǎo)蘊(yùn)涵（6）式存在.

引理 1.4［19］設(shè)二元算子*：L×L→ L為單調(diào)遞增運(yùn)算，a，b∈L且誘導(dǎo)蘊(yùn)涵（5）式存在，則

如果對偶誘導(dǎo)蘊(yùn)涵（6）式存在，則

引理1.5［21］如果二元運(yùn)算*是單調(diào)遞增的，則max-*合成運(yùn)算也是單調(diào)遞增的，即

定義 1.7［22］設(shè)（P，≤）是偏序集且 ? ≠X?P.如果p∈X滿足x≤p，?x∈X有p＝x，稱元素p為X的一個極小元；如果g∈X滿足x≤g，?x∈X，稱g為X的一個最大元.

注1.1 方程解集中的極小元稱為方程的極小解，方程解集中的最大元稱為方程的最大解.

2 方程A?X＝B的解集

本節(jié)若未特別說明，則假設(shè)*∈LRC，a，b∈L.記 S（a，b，*）＝ ｛x ∈ L：a*x ＝ b｝，S ≤ （a，b，*）＝ ｛x∈L：a*x∈b｝，S≥（a，b，*）＝ ｛x∈L：a*x≥b｝，S（A，B，*）＝ ｛X：A?X ＝ B｝，S0（A，B，*）表示方程（1）的所有極小解構(gòu)成的集合，即S0（A，B，*）＝ ｛X：X為S（A，B，*）的極小元｝.對方程 a*x ＝ b，a，b，x∈L.顯然方程a*x ＝ b的解集為

引理 2.1［23］設(shè)二元運(yùn)算*單調(diào)遞增，X，Y∈S（A，B，*）且 X ∈ Y，則［X，Y］? S（A，B，*）.

引理 2.3 S≥（a，b，*）≠?當(dāng)且僅當(dāng)1∈S ≥ （a，b，*）.

證明 ? 顯然.

? 設(shè)x∈S≥ （a，b，*），則由引理1.5知，a*1 ≥ a*x≥ b.所以1 ∈ S≥ （a，b，*）.

證明 ? 顯然.

? 設(shè)x0∈S（a，b，*），則a*x0＝ b≤b.由（5）式知，x0≤.又由引理1.5得，b ＝ a*x0≤a*（）≤ b.所以，a*（）＝ b，即為方程的解.又因為x0≤，故為方程的最大解.

定理 2.5 如果 S（a，b，*）≠ ?，則 S（a，b，*）＝ ［］.

證明 設(shè)x0∈S（a，b，*），由定理2.4得為方程的最大解.又a*x0＝b≥b，由（6）式知，x0≥.由引理1.5 得

例 2.1 設(shè) x*y ＝ x·min（x，y），其中 x，y ∈［0，1］.考慮方程a*x ＝ b，其中a ＝ 0.8，b ＝ 0.64.

由（5）和（6）式知，

接下來考慮方程

其中“?”代表max-*合成運(yùn)算.記S（a，b，*）＝｛x ＝ （xj）j∈J∈Ln：a?xT＝ b｝，S0（a，b，*）＝ ｛x：x為 S（a，b，*）的極小元.令

引理2.6 方程（17）有解當(dāng)且僅當(dāng)存在j0∈J使得aj0*＝b.

證明 ? 顯然.

? 設(shè) x ＝ （x1，x2，…，xn）T∈ S（a，b，*），則 ∨j∈J（aj*xj）＝ b.由于J為有限集，則存在j0∈ J使得aj0｝*xj0＝ b.又由引理1.5及定理2.4知，b＝aj0*xj0≤＝aj0*（）≤b.所以，＝b.

令J＝｛j∈J：aj*j＝b｝，可得如下結(jié)論.

定理 2.7 如果 S（a，b，*）≠ ?，則 ?j0∈J，方程（17）有極小解 x0（j0）＝ （）j∈J，其中

推論 2.1 如果S（a，b，*）≠?，則方程（17）的極小解個數(shù)等于 ｜J｜，其中｜｛·｝｜表示集合｜｛·｝｜的元素個數(shù).

定理 2.8 如果 S（a，b，*）≠ ?，則 ?x∈S（a，b，*）存在 x0＝ （）j∈J∈ S0（a，b，*）使得x0≤ x.

證明 因為 x ＝ （xj）j∈J∈ S（a，b，*），則（aj*xj）＝ b.由于 J為有限集，則存在j0∈ J使得aj0*xj0＝ b.又由定理2.5 知xj0∈S（aj0，b，*）＝］.令

顯然x0≤x.又由定理2.7知，x0＝ （）j∈J為方程的極小解.

定理 2.9 如果 S（a，b，*）≠ ?，則 S（a，b，*）＝ ∪x0∈S0（a，b，*）［x0，xˉ］，其中［x0，xˉ］＝｛x∈Ln：x0≤x≤xˉ｝，?x0∈S0（a，b，*）.

另一方面，對 ?x∈∪x0∈S0（a，b，*）［ˉ］，因為方程（17）的極小解個數(shù)等于｜J｜，為有限集，則存在y0∈S0（a，b，*）使得x∈ ［ˉ］.又由引理2.5知，b＝a?y0≤a?x≤a?＝b，故a?x＝b，即 x ∈ S（a，b，*）.因此

例 2.2 考慮方程（0.75，0.8，0.1，1）?（x1，x2，x3，x4）T＝ 0.64，其中 * 使用例2.1 中的運(yùn)算.因為＝（1，1，1，0.64）T，經(jīng)檢驗，∈S（a，b，*）.又因為J ＝ ｛2，4｝且＝ 0.8，＝ 0.64，所以方程有 2 個極小解，分別為 x1＝ （0，0.8，0，0）T，x2＝ （0，0，0，0.64）T.因此，方程的解集為

定理2.10 S（A，B，*）≠?當(dāng)且僅當(dāng)?X是方程（1）的解.進(jìn)一步，?X為方程（1）的最大解.

證明 ? 顯然.

下面討論方程（1）的極小解.

定理 2.11 設(shè) S（A，B，*）≠ ?，X ＝ （xj）j∈J∈ S（A，B，*），則存在 j0∈ J使得 aij0*xj0＝ bi，?i∈ I.

定理 2.12 如果 X ∈ S（A，B，*）且 f∈J（X），則 X（f）≤ X.

定理 2.13 如果X∈S（A，B，*），則F（X）?S（A，B，*）.

定理 2.14 如果 X，Y ∈ S（A，B，*），X ≤ Y，X（f）∈ F（X），則 f∈ J（Y）且 X（f）＝ Y（f）∈ F（Y）.

證明 設(shè)X ＝ （xj）j∈J，Y ＝ （yj）j∈J，且X≤Y.如果 f ＝ （fi）i∈I∈ J（X），則 ?i∈ I，bi＝ aifi*xfi≤ aifi*yfi≤bi，即aifi*yfi＝ bi.因此，fi∈Ji（Y）即 f ＝ （fi）i∈I∈ J（Y）.故 X（f）＝ Y（f）∈ F（Y）.

設(shè)P是任意一個偏序集，記P的所有極小元構(gòu)成集合P0.

引理2.15［24］設(shè)P為一個偏序集且?≠Q(mào)?P.如果對?p∈P，?q∈Q，使得q≤p，則P0＝ Q0.

引理 2.16 方程（1）的解集 S（A，B，*）與有限偏序集F（?X）有相同的極小解集.即S0（A，B，*）＝F（?X）0.

證明 由定理2.13知，F(xiàn)（?X）?S（A，B，*）.若S（A，B，*）＝?，則S0（A，B，*）＝F（?X）0＝?.若S（A，B，*）≠?，設(shè)X∈S（A，B，*），則由定理2.10知，X≤?X.由定理2.14及X（f）∈F（X）可得X（f）＝?X（f）∈F（?X）.又由定理2.12知，X（f）≤X.所以，由引理2.15知，S0（A，B，*）＝F（?X）0≠?.因此S0（A，B，*）＝F（?X）0.

定理 2.17 如果S（A，B，*）≠?，則S（A，B，*）＝［X0，X?］，其中［X0，X?］＝ ｛X∈Ln：X0≤X≤X?，?A0∈F（X?）0.

證明 設(shè) X ∈ S（A，B，*），由定理2.16 的證明知，存在Y∈F（X?）使得Y≤X.又因為F（X?）為有限集，則存在X0∈F（X?）0使得X0≤Y.所以，X0≤Y≤X≤X?，即X∈ ［X0，X?］.因此，S（A，B，*）?［X0，X?］?S（A，B，*）.所以，S（A，B，*）＝［X0，X?］.另一方面，由引理1.5及定理2.13知［X0，X?］?S（A，B，*）.所以，S（A，B，*）＝［X0，X?］.

定理2.18 方程（1）有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)F（?X）＝｛?X｝.

證明 ? 由定理2.10與定理2.13可證得.

? 由定理2.17可證得.

下面給出求解方程（1）極小解的步驟.

第1步：根據(jù)定理2.10計算?X并檢驗?X是否為方程（1）的解.如果不是，則 S（A，B，*）＝ ?，結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)至第2步；

第2步：根據(jù)（19）式構(gòu)造Ji（?X），進(jìn)一步，由（20）式構(gòu)造J（?X）；

第3步：根據(jù)（22）式構(gòu)造F（?X）；

第4步：根據(jù)定理2.16求出方程的極小解S0（A，B，*）＝F（?X）0；

第5 步：輸出 S0（A，B，*）.

例 2.3 考慮方程（1），其中

經(jīng)計算，?X＝［0.3，1，0.2］T.經(jīng)檢驗，?X是方程的解，由（19）式得 J1＝ ｛2，3｝，J2＝ ｛1，2｝，則J（?X）＝｛（2，1），（2，2），（3，1），（3，2）｝.

當(dāng)f＝ （f1，f2）＝ （3，2）時｛2｝，＝ ｛1｝.因此0.2，即＝ （0，1，0.2）T.

*使用例2.1中的運(yùn)算，則?X＝（0.8，0.75，0.5，0.6）T.經(jīng)檢驗，?X是方程的解，由（19）式得J1＝｛1｝，J2＝｛2，4｝，J3＝｛3｝，J4＝｛3｝，則J（?X）＝｛（1，2，3，3），（1，4，3，3）｝.