Feigenbaum-Kadanoff-Shenker方程帶雙參數(shù)的推廣

劉好斌， 石勇國 *

（1.內江師范學院數(shù)學與信息科學學院，四川內江641100；2.內江師范學院數(shù)據(jù)恢復四川省重點實驗室，四川內江641100）

在 1978 年，F(xiàn)eigenbaum［1］研究發(fā)現(xiàn)在含參數(shù)區(qū)間映射進行迭代時，出現(xiàn)了周期倍增的現(xiàn)象.為了解釋這種普遍現(xiàn)象，Cvitanovic和Feigenbaum提出了函數(shù)方程

其中，λ∈（0，1）是參數(shù)，g：［-1，1］→［-1，1］是未知函數(shù).該方程后來被稱作Cvitanovic-Feigenbaum方程或簡稱Feigenbaum方程.諸多學者對該方程進行了研究：Feigenbaum［2］證明了解的存在性，Campanino等［3］擴大參數(shù)的取值并證明了方程有C2凹解，Lanford［4］利用不動點定理證明了解析解的存在性等，但這些證明方法都是非構造性的.在1985年，楊路等［5］提出了第二類Feigenbaum函數(shù)方程

其中，λ∈（0，1）是參數(shù)，f：［0，1］→［0，1］是未知函數(shù)，并論證了方程（1）與（2）的等價性和給出了2種構造其單谷連續(xù)解的可行方法.在此基礎之上，廖公夫［6］探討了方程（2）由單谷映射擴充所能得到的一切連續(xù)解的形態(tài)，并給出了這類解的可行方法；唐元生［7］討論了Feigenbaum函數(shù)方程的單峰偶解，并獲得了方程（1）的單峰偶解是連續(xù)可微解，

其中，ε∈（-1，0）是參數(shù)，g：［0，1］→［-1，1］是未知函數(shù)，他們討論了FKS方程的解析解和奇異解.本文在文獻［9-10］的基礎上，討論FKS方程帶2個參數(shù)形式的推廣以及Ck解的一些較文獻［5］更為廣泛的條件；司建國等［8-9］研究了第二類 Feigenbaum函數(shù)方程的C2凸的單谷解，并利用新的構造性方法討論推廣后的方程的單谷連續(xù)解的存在性與唯一性.此外，Briggs等［10］研究了 Feigenbaum 方程與 Feigenbaum-Kadanoff-Shenker方程（簡稱FKS方程）

其中，0 ＜ κ2≤λ ＜κ ＜1，g：［0，1］→［-1，1］是未知函數(shù).顯然，方程（3）是當κ2＝λ時的特例.本文將利用迭代構造法，給出所有這類推廣的KFS方程的連續(xù)嚴格遞減解.

1 預備知識

關于這類推廣的KFS方程的連續(xù)嚴格遞減解，有如下的性質.

引理 1.1 設 g是方程（4）的連續(xù)嚴格遞減解，且0＜κ2≤λ ＜κ ＜1，則：

（i）g（1）＝ - κ，g2（λ）＝ κ2；

（ii）g有唯一零點 α∈（0，1），且 g（λα）＝ α，α≥λ；

（iii）設 ψ（x）＝g（λx），x∈［0，1］，有唯一的周期點 α，即 ψ（α）＝α，且 g（λα）＝α；

（iv）g（x）＝ -κx在［λ，1］上有唯一解 x＝1；

（v）g（λ）≥λ2.

證明 對于（i），將 x＝0代入方程（4）中，得g（1）＝ -κ.再將 x＝1代入方程（4）得

g為連續(xù)嚴格遞減函數(shù)，故有唯一零點α∈（0，1），g（α）＝0.將x＝α 代入方程（4）得

矛盾.故α≥λ.

對于（iii），假設 x0∈［0，1］有

所以 κ2＝1，矛盾.因此 x0＝α，故 （iii）成立.

對于（iv），顯然 x＝1是 g（x）＝ -κx的解.

假設 x＝ξ∈（0，1）也是方程

由g（0）＝1，g（1）＝ -κ，g是連續(xù)嚴格遞減函數(shù)，則存在 γ∈（0，1），使得 g（γ）＝ ξ.由方程（4），取x＝γ，則

而g是連續(xù)嚴格遞減函數(shù)，這與g（γ）＝ξ矛盾，因此（iv）成立.

對于（v），由 α≥λ ＞0，則 αλ≥λ2.由 κ2≤λ，g是連續(xù)嚴格遞減函數(shù)，則

2 連續(xù)的嚴格單調遞減解的構造方法

先考慮λ≤g（λ）.下面定理給出了連續(xù)嚴格單調遞減解的構造方法.

定理 2.1 設 a＝g（λ），λ≤g（λ）.設

的連續(xù)嚴格單調遞減的函數(shù)，滿足：

則φ是方程（4）的連續(xù)嚴格單調的遞減解.反過來，如果φi是方程（4）的嚴格單調遞減解φ在區(qū)間［λi+1，λi］上的限制，則條件（i）、（ii）以及（5）和（6）式均成立.

證明 由（i）可知

則 φ 在（0，1］上是連續(xù)的.根據(jù) φ 在（0，1］上是連續(xù)嚴格單調的有界函數(shù)，則φ（x）存在，設為 ξ，所以有

由（ii）可知 ξ＝1.故 φ 是方程（4）的連續(xù)的嚴格單調遞減解.

反過來，如果φi是方程（4）的嚴格單調遞減解φ 在區(qū)間［λi+1，λi］上的限制，根據(jù)引理 1.1，則條件（i）、（ii）以及（5）和（6）式均成立.證畢.

根據(jù)引理1.1（v），討論滿足條件

的連續(xù)嚴格遞減解的構造方法.

引理2.2 設g是方程（4）的連續(xù)嚴格單調遞減解，并且 κ2≤λ，λ2≤a＜λ，其中 a ＝g（λ）.令

有如下事實：

（i）g（a／λ）＝ -g（κ2）／κ；

（ii）H在區(qū)間［0，λ］上是連續(xù)的嚴格單調遞增的映射，并且 H（0）＝ -κ，H（λ2）＝ -κa且H（λ）＝κ2≤λ；

（iii）若x＝b＜λ是H最小的不動點，則λ2＜b＜λ，且H是從區(qū)間［b，λ］上嚴格遞增的自映射.

證明 根據(jù)方程（4）有

將x＝a代入這個方程，得

于是（i）成立.根據(jù)條件直接可以得到（ii）.若 x＝b＜λ是H最小的不動點，根據(jù)（ii）得

λ2＜ b ＜ λ， H（b）＝ b， H（λ）＝ κ2，且 H 是從區(qū)間［b，λ］到區(qū)間［b，κ2］?［b，λ］的嚴格遞增的映射.證畢.

定理 2.3 任取實數(shù) λ、a、κ∈（0，1）使得

定義任意一個嚴格單調遞減連續(xù)函數(shù)

（ii）φ0（x）＝ -κx在［λ，1］上有唯一解 x＝1.則φ0能夠被唯一延拓為方程（4）的嚴格單調遞減的連續(xù)解.

證明 令

其中h為方程H的二次迭代根，即

關于 H的二次迭代根，直接可以根據(jù) Kuczma等［11-13］的方法得到.若 H 在［0，λ）上無不動點，則定義

由類似于定理2.1的證明，φ是方程（4）的連續(xù)嚴格遞減解.相反地，如果φi是方程（4）的嚴格單調遞減解 φ 在區(qū)間［λi+1，λi］上的限制，則條件（i）、（ii）以及（7）或（7′）和（8）式均成立.證畢.