耗散修正的Camassa-Holm方程解的存在唯一性

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(浙江理工大學(xué)理學(xué)院,杭州 310018)

0 引 言

本文主要考慮修正的Camassa-Holm方程的Cauchy問(wèn)題，該問(wèn)題可以描述為：

mt+auxm+bumx=0,t>0,x∈R

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈R

(2)

修正的Camassa-Holm方程是作為不變的Hk空間中擴(kuò)散自同態(tài)群的測(cè)地線方程，由Constantin等[1-2]導(dǎo)出。當(dāng)a=2,b=1,k=0或者1時(shí)，方程(1)分別為KdV方程和Camassa-Holm方程，其中Camassa-Holm方程的形式為：

ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx

(3)

它最早是被Fokas等[3]提出，直到Camassa等[4]將其作為淺水波模型才被認(rèn)真研究。方程(3)從被研究以來(lái)，許多人都在關(guān)于它的適定性方面做出了貢獻(xiàn)，例如，Constantin[5]、Constantin等[6]以及Misiolek[7]分別討論了s≥4，s≥3和s>3/2時(shí)關(guān)于初值在Hs(S),S=[0,2π]上的局部適定性；在非周期情況下，Li等[8]證明了初值在Hs(R)(s>3/2)上解的局部適定性。關(guān)于修正的Camassa-Holm方程(1)，Malachlan等[9]研究了其解的適定性以及弱解的存在性，他們證明了周期的Cauchy問(wèn)題在空間Hs(s>7/2)上是局部適定的，并且解持續(xù)依賴于初始值；在非周期情況下，Mu等[10]研究了解在Hs(R)(s>7/2)空間的局部適定性問(wèn)題，并且證明了解依然持續(xù)依賴于初始值。Fu等[11]研究了方程(1)的Cauchy問(wèn)題并且證明了解在Hs(R)(s>7/2)空間不一致連續(xù)。

類似修正的Camassa-Holm方程，Escher等[12]推導(dǎo)了一個(gè)二元修正的Camassa-Holm方程組：

(4)

以上研究表明，無(wú)論是修正的Camassa-Holm方程，還是二元修正的Camassa-Holm方程組，當(dāng)r=2時(shí)其解的存在空間Hs(R)都要求s>7/2。本文通過(guò)對(duì)修正的Camassa-Holm方程添加耗散項(xiàng)，利用半群性質(zhì)、非線性估計(jì)、縮映射原理及能量估計(jì)，改進(jìn)了已有的解的適定性，建立了其在低正則性空間中解的存在唯一性。

1 主要定理

本文考慮修正的Camassa-Holm方程在低正則性空間中解的存在唯一性，給定初值u0∈L2(R)，建立如式(5)描述的耗散修正的Camassa-Holm的適定性問(wèn)題：

(5)

(6)

其中：

本文提出的主要定理如下：

定理1對(duì)于u0∈L2(R),存在T>0,方程(6)存在唯一的解u滿足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

定理2對(duì)于u0∈H2(R),有任意的T>0,當(dāng)a=2,b=1時(shí)方程(6)存在解u滿足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

最后，本文給出Lp(Rn)空間和Hs(Rn)空間的定義及其范數(shù)形式：設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，則定義Sobolev空間Lp(Rn)為：

Lp(Rn)空間f(x)的范數(shù)為：

設(shè)s為非負(fù)實(shí)數(shù)，則定義Sobolev空間Hs(Rn)為：

Hs(Rn)空間f(x)的范數(shù)為：

2 非線性估計(jì)

考慮方程(6)所給出的初值問(wèn)題，其中它的積分形式為:

(7)

(8)

證明由f(u)的表達(dá)式，再結(jié)合Sobolev嵌入定理[16]有

其中，右邊第四項(xiàng)的估計(jì)為：

其中，F(xiàn)[·]表示對(duì)·做傅里葉變換。再由H?lder不等式有

(9)

證明結(jié)合引理1即可證明引理2成立。

引理3考慮線性方程

(10)

(11)

證明在方程(10)兩邊同乘ω并在R上對(duì)x積分可得：

兩邊同時(shí)對(duì)t從0到T積分可得：

則可得到上式的估計(jì)為：

即證明了引理3。

(12)

由引理3得：

(13)

對(duì)?δ>0，N∈N,則對(duì)任意的n>N有

再取T>0，對(duì)使得n≥N有

綜上所述，對(duì)?δ>0，?T>0,使得

方程(7)的非線性部分的估計(jì)為：

令v=u-s(t)u0，則v可以看作是如下初值問(wèn)題的解,

(14)

方程(14)的積分形式表示為：

(15)

(16)

(17)

證明先證式(16)成立，

由引理2可知式(16)成立。

式(17)的證明為：

方程(14)兩邊同乘v并在R上對(duì)x積分可得

兩邊同時(shí)對(duì)t從0到T積分可得

則對(duì)任意的ε>0，有

則有

(18)

證明通過(guò)引理2-5，有

3 適定性

利用壓縮映射原理證明解的存在唯一性，如此令

(19)

(20)

(21)

通過(guò)引理2及引理6，得

(22)

(23)

聯(lián)立式(22)—(23)，得到

選取適當(dāng)?shù)摩?，a，T有

類似可以得到：

(24)

綜上即證明定理1成立。

證明定理2，首先有能量估計(jì)為：

引理7對(duì)于u0∈H2，當(dāng)方程(6)中a=2,b=1時(shí)，有

(25)

證明當(dāng)a=2,b=1時(shí)，方程(6)為：

(26)

(27)

兩邊同乘u并在R上對(duì)x積分可得

由H2守恒率有

則有

因?yàn)?/p>

所以

從而證明了引理7成立。

結(jié)合定理1及引理7的證明，就可以得到方程(26)存在全局解，則證明了定理2。

4 結(jié) 論