關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)的廣義交換性

鄧方安

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 漢中 723000)

許多學者使用代數(shù)工具對模糊邏輯進行了研究，給出模糊邏輯的代數(shù)抽象(如偏序集上的蘊涵代數(shù))，研究偏序集上蘊涵代數(shù)與其他代數(shù)結(jié)構(gòu)(如MV-代數(shù)、Heyting代數(shù))之間的關(guān)系，以及偏序集上蘊涵代數(shù)的濾子與其結(jié)構(gòu)等。1996年，筆者在研究模糊蘊涵代數(shù)時，提出了一個與著名的Hilbert第十問題H10有關(guān)的、比DA重寫系統(tǒng)更廣泛的代數(shù)系統(tǒng)，稱為N(2,2,0)代數(shù)[1]。并證明了：在一個N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，若*運算冪等，則(S,*,Δ,0)就是DA重寫系統(tǒng)，此時N(2,2,0)代數(shù)的合一問題是不可判定的；若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)關(guān)于Δ運算冪零，則(S,Δ,0)是一個結(jié)合的BCI-代數(shù)。后來，有學者相繼研究了N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元[2]、中間單位[3]、理想與關(guān)聯(lián)理想[4]、正則半群[5]、RC-半群[6]以及E-反演半群[7]等問題。本文主要討論N(2,2,0)代數(shù)的交換性、廣義交換性。

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè)S是含常元0的集合。在S中定義兩個二元運算*和Δ，若滿足以下公理：?x,y,z∈S，

(F1)x*(yΔz)=z*(x*y)；

(F2) (xΔy)*z=y*(x*z)；

(F3) 0*x=x；

則稱(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)。

定理1.1[1]在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，?x,y,z∈S，恒有下列等式成立：

(F4)x*y=yΔx；

(F5) (x*y)*z=x*(y*z), (xΔy)Δz=xΔ(yΔz)；

(F6)x*(y*z)=y*(x*z), (xΔy)Δz=(xΔz)Δy。

推論1.2[1]若(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)，則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群。

2 主要結(jié)果

定義2.1[8]設(shè)S是一個半群，?(a,b)∈S×S，如果存在一個元素u∈S，使得ab=bau，則稱S是一個R-交換半群。

定義2.2[8]一個半群S，?(a,b)∈S，如果有ab=ba成立，則必有

axb=bxa, ?x∈S

成立，則稱S為條件交換半群。

定義2.3[9]如果一個半群S既是R-交換半群，又是條件交換半群，則稱S是RC-交換半群。

定義2.4[9]設(shè)S是一個半群，?(x,y)∈S×S，如果滿足x2yx=xyx2，則稱S是一個廣義條件交換半群(簡記GC-交換半群)。

定義2.5[10]設(shè)S是一個半群，對任意一對(x,y)∈S×S和每一個正整數(shù)n，如果有一個正整數(shù)m，使得(xy)n+m=xnyn(xy)m=(xy)mxnyn，則稱S是一個弱指數(shù)半群。

定理2.1 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)中，如果?a∈S，有a*a=0成立，則半群(S,*,0)是一個R-交換半群。

證明由假設(shè)，在半群(S,*,0)中，?a∈S，有a*a=0，則

且由F6易得，?a,b∈S，有

a*b=a*(b*0)=b*(a*0)=b*a，

同理可得：此種情況下(S,Δ,0)也是一個R-交換半群。

定理2.2N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是條件交換半群。

證明?a,b,x∈S，若有a*b=b*a成立，則有

x*(a*b)=x*(b*a)?a*(x*b)=b*(x*a)?a*x*b=b*x*a，

因此(S,*)是一個條件交換半群。

由定理2.1和定理2.2及定義2.3得到如下結(jié)論：

定理2.3 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的每一個半群(S,*,0)中，如果?a∈S，有a*a=0成立，則半群(S,*,0)是一個RC-交換半群。

定理2.4N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)都是廣義條件交換半群。

證明由定理1.1知在半群(S,*,0)中，?x,y,z∈S有

x*(y*z)=y*(x*z)

成立，于是?(x,y)∈S×S，有x2*y*x=x*x*y*x=x*y*x*x=x*y*x2成立，因此(S,*,0)是一個廣義條件交換半群。

定理2.5 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)中，?(x,y)∈S×S和任意正整數(shù)m,n有：

(1)xn*y*x=x*y*xn；

(2) (x*y)m*xn*yn=xn*yn(x*y)m。

定理2.6[8]一個GC-交換半群S是一個弱指數(shù)廣義交換半群，當且僅當對任意一對(x,y)∈S×S，存在一個正整數(shù)m，使得(xy)m+2=x2y2(xy)m。

定理2.7N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)一定是弱指數(shù)廣義交換半群。

證明由N(2,2,0)代數(shù)的性質(zhì)知，對任意一對(x,y)∈S×S和任意正整數(shù)m都有

(x*y)m+2= (x*y)2*(x*y)m=(x*y*x*y)*(x*y)m=

(x*x*y*y)*(x*y)m=x2*y2*(x*y)m，

因此，N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)一定是弱指數(shù)廣義交換半群。

定義2.6[9]一個半群S，?a,b,x,y∈S，如果滿足等式：

(1)axyb=ayxb，稱為中間半群；

(2)axy=ayx，稱為右交換半群；

(3)xya=yxa，稱為左交換半群。

容易驗證下列兩個定理成立。

定理2.8N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是中間半群，且(S,*,0)是左交換半群，而(S,Δ,0)是右交換半群。

定理2.9 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)中分別有下列等式成立：

(1) (a*b)n=an*bn；

(2) (aΔb)n=anΔbn。

定理2.10 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，下列條件等價：

(1)x*0=x，?x∈S；

(2)x*y=y*x，?x,y∈S。

證明(1)?(2)：x*y=x*(y*0)=y*(x*0)=y*x；

(2)?(1)：x*0=0*x=x。

注：一個N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)，若滿足?x∈S，x*0=x，則(S,*,0)是交換半群，此時*與Δ運算相同，N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)退化為一個交換幺半群，0是一個幺元。

定理2.11 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，若*運算具有冪零性，則下列條件等價：

(1)x*0=x，?x∈S；

(2)x*y=0?x=y，?x,y∈S；

(3)x*y=y*x，?x,y∈S。

證明(1)?(2)：x=0*x=(x*y)*x=x*(y*x)=y*(x*x)=y*0=y；

(2)?(3)：(x*y)*(y*x)=x*(y*(y*x))=x*((y*y)*x)=x*(0*x)=x*x=0，因此，x*y=y*x；

(3)?(1)由定理2.10可得。

定義2.7[10]在半群(S,*)中，一個元素a∈S，如果存在x,y∈S，使得x*a2*y=a，則稱a是內(nèi)正則元。如果S的所有元素都是內(nèi)正則元，則稱半群(S,*)是內(nèi)正則半群。

定義2.8[10]一個正則且是R-交換半群稱為正則R-交換半群。

定理2.12 若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是一個正則R-交換半群，則(S,*,0)也是內(nèi)正則半群。

證明設(shè)(S,*,0)是一個正則R-交換半群，由正則性，則對于S的任意元素a∈S，存在x∈S，使得a=a*(x*a)，再由R-交換性，則存在y∈S，使得

a=a*(x*a)=a*(a*x*y)=a2*x*y=x*a2*y，

于是(S,*,0)也是內(nèi)正則半群。

3 結(jié)束語

本文主要討論了N(2,2,0)代數(shù)半群的交換性和廣義交換性，探討了N(2,2,0)代數(shù)的正則R-交換半群與內(nèi)正則半群的關(guān)系，指出了乘法運算具有冪零性的半群一定是交換半群、N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是條件交換半群等結(jié)論。而這種交換性及廣義交換性在非經(jīng)典邏輯中的應(yīng)用將是我們后續(xù)研究的一個方向。