基于蓋爾圓定理的矩陣特征值估計(jì)

雍龍泉

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

1931年，Gerschgorin提出了著名的蓋爾圓定理，這便是矩陣特征值估計(jì)的開山之作。矩陣特征值估計(jì)是矩陣分析中的熱點(diǎn)問題[5-11]，在很多領(lǐng)域都起到重要的作用。本文利用蓋爾圓定理，給出一般矩陣特征值在復(fù)平面上的大概范圍。通過相似變換，使得所有蓋爾圓相互孤立，從而每個孤立的蓋爾圓內(nèi)僅含有一個特征值；且在保證所有蓋爾圓孤立的同時，盡可能使得“所有蓋爾圓圍成區(qū)域的面積和”減少，以便更精確地估計(jì)出矩陣特征值的范圍。

1 蓋爾圓定理

定理1(蓋爾圓定理1[12]) 矩陣A=(aij)∈Cn×n的一切特征值都在它的n個蓋爾圓的并集之內(nèi)。

定理2(蓋爾圓定理2[12]) 由矩陣A的所有蓋爾圓組成的連通部分中任取一個，如果它是由k個蓋爾圓構(gòu)成的，則在這個連通部分中有且僅有A的k個特征值(蓋爾圓相重時重復(fù)計(jì)數(shù)，特征值相同時也重復(fù)計(jì)數(shù))。

例1 證明矩陣A能夠相似于對角矩陣，且矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)。這里

分析這是一個n階非對稱方陣，文獻(xiàn)[13-14]中指出該矩陣為廣義正定矩陣。但是求其特征值或特征向量似乎難以用《線性代數(shù)》或者《高等代數(shù)》的知識進(jìn)行計(jì)算[15-16]。

證明矩陣A的n個蓋爾圓為

G1={z:|z-2|≤1},

顯然這n個蓋爾圓是相互孤立的，所以矩陣A有n個互不相同的特征值，從而A相似于對角矩陣。又因?yàn)镚i(i=1,2,…,n)關(guān)于實(shí)軸對稱，且每個蓋爾圓中只有A的一個特征值，所以A的特征值都是實(shí)數(shù)(因?yàn)閺?fù)特征值一定成對共軛出現(xiàn)[17])。

解矩陣A的4個蓋爾圓為

G1={z:|z-1|≤0.6},

G2={z:|z-3|≤0.8},

G3={z:|z+1|≤1.8},

G4={z:|z+4|≤0.6}。

如圖1，利用定理2可知A的4個特征值全落在4個蓋爾圓并集內(nèi)。鑒于G2和G4孤立，故G2和G4中各有一個特征值；而G1與G3構(gòu)成的連通部分含有兩個特征值。事實(shí)上，該矩陣的4個特征值為{-3.989 3,-1.111 8,1.075 7,3.025 3}。

圖1 例2對應(yīng)的蓋爾圓

2 特征值估計(jì)

鑒于相似變換不改變矩陣的特征值，因此借助相似變換來縮小蓋爾圓的半徑，將蓋爾圓進(jìn)行分離，使得每一個蓋爾圓內(nèi)恰好含有一個特征值，從而進(jìn)一步明確特征值的范圍。

取對角陣做相似變換：選取P=diag(p1,p2,…,pn)，其中pi>0,i=1,2,…,n。則

圖2 例3對應(yīng)的蓋爾圓(a)

解矩陣A的3個蓋爾圓為

G1={z:|z-20|≤5.8},

G2={z:|z-10|≤5},

G3={z:|z-10j|≤3}。

如圖2所示，G1與G2構(gòu)成的連通部分含有兩個特征值；G3中有A的一個特征值。事實(shí)上，該矩陣的3個特征值為{-0.118 1+9.910 4j,8.341 3+0.058 1j,21.776 8+0.031 5j}。

圖2中3個蓋爾圓所圍成區(qū)域的面積和S滿足

π+25π+9π=67.64π。

下面設(shè)法縮小蓋爾圓G1與G2的半徑(或者說，適當(dāng)增大蓋爾圓G3的半徑)，使得G1與G2分離。

圖3 例3對應(yīng)的蓋爾圓(b)

{z:|z-20|≤5.4},

解A的3個蓋爾圓為

G1={z:|z-20|≤4},

G2={z:|z-10|≤2},

G3={z:|z|≤9}。

如圖4所示,G2與G3構(gòu)成的連通部分含有兩個特征值；G1中有A的一個特征值。事實(shí)上，該矩陣的3個特征值為{-0.376 1,9.597 6,20.778 5}。

圖4中3個蓋爾圓所圍成區(qū)域的面積和S滿足:97π=SG1+SG3

圖4 例4對應(yīng)的蓋爾圓(a)

{z:|z-20|≤5},

圖5 例4對應(yīng)的蓋爾圓(b)

說明：選取正數(shù)p1,p2,…,pn的一般原則：欲使A的第i個蓋爾圓縮小，可取pi<1，其余取為1；反之，欲使A的第i個蓋爾圓放大，可取pi>1，其余為1。通過相似變換后所有蓋爾圓圍成區(qū)域的面積和有可能增大(例3)，也有可能減小(例4)；若相似變換后所有蓋爾圓的面積和小于變換前的面積和(例4)，則表明矩陣特征值的范圍更精確。

注：如何使相似變換后所有蓋爾圓圍成區(qū)域的面積和減少，暫無統(tǒng)一辦法,需具體問題具體分析。

3 結(jié)束語

本文利用蓋爾圓定理，通過相似變換，初步估計(jì)出了矩陣特征值的范圍。所以本文開始提出的問題就可容易解決。設(shè)實(shí)對稱n階方陣A的任一特征值為λ，Gi為第i個蓋爾圓，記A的所有蓋爾圓的并集為G=∪Gi；由定理2知，λ∈G。因此總可以在G的外面取一個正數(shù)ε，使得A+εI為半正定矩陣。

例如在研究方微分方程數(shù)值解時，常需考慮如下三對角矩陣[18]

根據(jù)定理2，相應(yīng)的蓋爾圓為G1={z:|z+2|≤1}和G2={z:|z+2|≤2}。設(shè)λ為矩陣A的任一特征值，則λ∈(G1∪G2)；由于矩陣A的特征值皆為實(shí)數(shù)，故λ∈[-4,0]。因此，只要選取ε≥4，此時A+εI就是半正定矩陣。該結(jié)論在矩陣擾動分析及優(yōu)化理論[19-20]中具有重要的應(yīng)用前景。