小學數(shù)學類比推理法的應用

肖 捷

（福州市寧化小學，福建 福州 350001）

在現(xiàn)今的教學中，不僅要重視數(shù)學知識的形成過程，還要努力挖掘數(shù)學知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中蘊藏的數(shù)學思想方法，讓學生掌握并學會使用數(shù)學的思想和方法，領悟數(shù)學的本質(zhì)，體會數(shù)學的魅力。數(shù)學的思想方法有很多，其中類比推理法就是一種重要的、使用得很普遍的思想方法。數(shù)學家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“在數(shù)學的王國里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比。”類比思想的滲透對于學生的知識遷移、建構系統(tǒng)、培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力有著至關重要的作用。因此，在教學中，可運用類比推理法去探究新知，總結規(guī)律；去激發(fā)創(chuàng)新思維，培養(yǎng)解決問題的能力；去建構知識網(wǎng)絡，讓知識更加系統(tǒng)化。

一、類比推理法在小學數(shù)學知識中的典型應用

縱觀小學階段的各學段與各領域，可以發(fā)現(xiàn)類比推理思想方法的滲透主要是在數(shù)與代數(shù)，空間與圖形這兩大領域中。且在第一學段相對滲透的比較少，多是在第二學段進行滲透。因為第二學段，很多知識點的邏輯性更強，必須運用一定的推理才能得出結論。此時，教師就可以根據(jù)不同的教材內(nèi)容，鼓勵學生根據(jù)知識間的聯(lián)系進行大膽地猜想，給他們充分的動手操作、驗證的時間和空間，讓他們在觀察、猜想、實驗、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)造力。

如第一學段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容中，學習“除數(shù)是兩位數(shù)的除法（三下）”，可以借助除數(shù)是一位數(shù)除法的豎式計算類比推理出除數(shù)是兩位數(shù)的豎式計算；學習“簡單的小數(shù)加減法（三下）”，借助整數(shù)的豎式計算類比出小數(shù)的豎式計算。

第二學段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容中，學習“億以內(nèi)數(shù)的認識（四上）”，可以根據(jù)個級的讀寫法，類比推理出萬級和億級的讀寫法；根據(jù)萬以內(nèi)數(shù)比較大小類比推理出億以內(nèi)比較大小的方法；學習“筆算乘法（四上）”，可以借助兩位數(shù)乘兩位數(shù)類比出三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算和算理；學習“小數(shù)的大小比較（四下）”小數(shù)部分的比較類比整數(shù)的大小比較，注意有所區(qū)別，小數(shù)不是位數(shù)越多就越大，這點和整數(shù)大小比較有不同；學習“小數(shù)的加法和減法（四下）”，可以借助整數(shù)的簡便計算類比出小數(shù)的簡便計算；學習“小數(shù)乘法（五上）”，可以借助整數(shù)乘法的計算法則類比出小數(shù)乘法的計算法則。運用整數(shù)四則運算的運算順序以及整數(shù)乘法的運算定律類比出在小數(shù)范圍內(nèi)同樣適用；“小數(shù)除法（五上）”，整數(shù)除法法則類比出小數(shù)除法法則；“分數(shù)的基本性質(zhì)（五下）”，可以利用商不變性質(zhì)類比分數(shù)的基本性質(zhì)；“分數(shù)加減混合運算（五下）”，從整數(shù)混合運算和加法簡便計算定律類比出分數(shù)加減混合運算定律；學習“比的基本性質(zhì)（六上）”，利用分數(shù)的基本性質(zhì)類比出比的基本性質(zhì)。

第二學段“空間與圖形”內(nèi)容中，學習“平行四邊形的面積（五上）”，通過將平行四邊形的底和高分別轉(zhuǎn)化成長方形的長和寬，類比出平行四邊形的面積公式；學習“圓柱的體積（六下）”，利用長方體的體積公式類比出圓柱的體積公式。

二、類比推理法的應用使教學效果事半功倍

1.利用類比推理法探究新知總結規(guī)律

小學教材中有不少計算的例題都是通過學生自己的觀察和猜想，比如前文提到的整數(shù)計算、小數(shù)計算、分數(shù)的計算等，把新知識和舊知識聯(lián)系起來去進行類比推理，而后從類比中去推導發(fā)現(xiàn)算理算法，然后驗證并總結計算規(guī)律。比如簡單的小數(shù)加減法，是學生在學習了整數(shù)加減法的基礎上進行教學的。課程一開始，教師可以先幫助學生復習整數(shù)加減法的算理和算法，而后直接出示例題：2.3+5.4等于幾元。教師可先引導學生觀察題目與舊知有什么不同，并追問整數(shù)的加減法是否適用于小數(shù)，然后讓他們展開小組討論嘗試解決。學生大部分都能用整數(shù)加減法的算理和算法來嘗試推出小數(shù)計算的方法，最后再通過驗證，即把這些一位小數(shù)化成價格幾元幾角來計算后，發(fā)現(xiàn)得數(shù)是正確的，證明推測的算法和算理正確。可見，類比推理法也是一種合情推理，應用得當可以幫助學生通過探究推測出解題的方法及蘊含的普遍規(guī)律。但由于合情推理是一種或然性的推理，還需要通過驗證才能確定推斷的真?zhèn)涡浴＞拖裆厦嫘?shù)的計算，學生雖然用類比推理法嘗試解決問題，但最后還是要通過驗證來證實它的準確性。通過用類比推理的方法嘗試自己去探究和總結，很好地培養(yǎng)了學生探究和總結的能力。

2.利用類比推理法激發(fā)思維解決問題

類比推理法其實就是在解決問題的時候，能運用已有的舊知，通過聯(lián)想一個其他類似的熟悉的問題，然后用熟悉的方法去解答所需解答的問題。比如小學數(shù)學中的有些知識是學生不容易理解的，如果在教學中，講授新知的時候聯(lián)系舊知，將新舊知識類比分析，就能讓學生更加理解知識，也容易突破難點，降低教學的難度。如在教學《圓柱的體積》時，可以恰當?shù)剡\用類比推理的思維方法。比如教師可以通過設計一些具體情境引導他們?nèi)ハ耄洪L方體和正方體的體積都是等于底面積×高，而這些圖形圓柱都屬于直柱體，所以通過類比推理去猜想圓柱的體積是否也可以用底面積×高來計算，然后再引導學生動手探究驗證。這樣的教法和學法使得新知識不新，舊知識不舊，學生容易理解和接受。由此可見，使用舊知識的類比推理，能使學生在學習新知的時候易于同化，從而學得輕松，教師也教得愉快，同時又能激發(fā)學生的積極思維。但要求教師在教學過程中，也要相應地創(chuàng)設有創(chuàng)造性思維的教學情境，或者采用開放式教學，多放手讓學生自己去經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和總結的過程。

3.利用類比推理法構建網(wǎng)絡梳理知識

類比推理法除了能用來教授學習新知，還可以幫助復習形成概念構成知識網(wǎng)絡。小學數(shù)學的同一類知識，很多都是碎片化地分散在小學的各個階段。教師要帶領學生在觀察、類比中區(qū)分事物的異同，從具體事物中區(qū)分出最本質(zhì)的屬性，形成“科學概念”，以便構成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡。如在五年級期末復習長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形面積時，教師可以利用表格，將這些圖形的特點以及面積的計算公式作比較（如表1）：

表1

教師提問：“大家仔細觀察一下剛才整理的所有圖形面積的計算，有什么異同點？”而后逐步引導學生觀察，求這些圖形面積都需要底乘高，但是三角形和梯形又在這基礎上有所不同。這樣借助類比的方法同中求異，有助于學生形成相對完整和系統(tǒng)的空間概念，建構了知識網(wǎng)絡，自然地記住公式，不需要費力地死記硬背，梳理了看似繁雜的知識體系。當然，這樣讓學生在課堂上自如地使用類比推理法，必須要培養(yǎng)出學生的歸納總結能力。只有當學生能概括出不同知識相同或相似的特性時，才能引導學生進行類比。韓愈提倡讀書學習先要入書，后要出書，要先把書讀厚，再把書讀薄。也就是說，要先總結概括，才能深入認識問題的實質(zhì)。同樣的，教師是教學的引導者，也要自覺地學習和豐富自己的專業(yè)及理論知識。只有自己充實起來，才能將正確的數(shù)學思想方法逐漸滲透到學生的思維中去；只有在知識上融會貫通了，才能更好地在數(shù)學課堂上啟發(fā)和引導學生，實現(xiàn)縱橫類比。而且，當有些知識書本并沒有明確給出要求時，就要挖掘教材中的潛在知識，必要時要給予補充。

總之，類比推理的思想方法博大精深，使用時通常能夠收到嚴格邏輯推理所不能達到的效果。在數(shù)學課上潛移默化地培養(yǎng)學生的類比推理能力，既能提高數(shù)學素質(zhì)，改善思維品質(zhì)，又能培養(yǎng)創(chuàng)造性，使學生將來的發(fā)展有了無限可能。