小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)思想的教育價(jià)值探微

陳凱平

（福州教育學(xué)院附屬第二小學(xué)，福建 福州 350001）

“對(duì)應(yīng)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基本概念之一，它所反映的是兩個(gè)集合的元素間的關(guān)系。［1］其中小學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)思想方法“一一對(duì)應(yīng)”，就是建立在“對(duì)應(yīng)”思想基礎(chǔ)上的一種特殊對(duì)應(yīng)。此外，數(shù)學(xué)中有幾類非常重要的對(duì)應(yīng)就是映射，主要有：點(diǎn)集與點(diǎn)集映射、數(shù)集與點(diǎn)集映射、幾何圖形點(diǎn)集之間的映射、幾何圖形點(diǎn)集與數(shù)集之間的映射等……本質(zhì)，上小學(xué)數(shù)學(xué)中的“對(duì)應(yīng)思想”也可以看作是“集合思想”的初等形式與重要組成要素。

相對(duì)于轉(zhuǎn)化、符號(hào)化、建模、推理等重要的數(shù)學(xué)思想，小學(xué)數(shù)學(xué)中“對(duì)應(yīng)思想”的教育價(jià)值未引起重視。研究和挖掘“對(duì)應(yīng)思想”的內(nèi)涵，把握其對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的意義和價(jià)值，探微鏡理，進(jìn)而融入教學(xué)之中，還有許多問題值得研究探討。

一、讀通教材──把握“對(duì)應(yīng)思想”的前提

所謂讀通教材，就是教師在讀懂教材描述內(nèi)容，明確教材所描述的雙基知識(shí)這條明線之外，還要感悟和挖掘隱藏其中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等。［2］通讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材不難發(fā)現(xiàn)，“對(duì)應(yīng)思想”時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，無處不在，因此讀通教材是把握“對(duì)應(yīng)思想”的前提。

1.概念教學(xué)中的新知與舊知對(duì)應(yīng)

教材中許多新知概念都是以對(duì)應(yīng)方式呈現(xiàn)，如加減乘除算式中各部分名稱、比的各部分名稱等。以新舊知識(shí)對(duì)應(yīng)的呈現(xiàn)方式作為學(xué)生認(rèn)知的切入點(diǎn)，建立起數(shù)學(xué)符號(hào)以及新、舊知概念之間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，更易于學(xué)生加深認(rèn)識(shí)、理解并掌握，從中滲透對(duì)應(yīng)思想。

2.抽象概念教學(xué)中的抽象與直觀對(duì)應(yīng)

抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想和特點(diǎn)，然而，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)的抽象性，因此教材往往通過生活中學(xué)生熟悉的事物或者形象直觀的圖形，建立起抽象和具體之間的聯(lián)系，降低學(xué)生認(rèn)知抽象概念的難度。以數(shù)的認(rèn)識(shí)為例，縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)人教版教材，在教學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)或練習(xí)中均借助了數(shù)軸，借助數(shù)軸上的點(diǎn)與整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生在對(duì)應(yīng)直觀的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)的大小、數(shù)的運(yùn)算、整數(shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)四者之間的關(guān)系形成抽象概念，從而促進(jìn)抽象概念的理解。這樣的教材呈現(xiàn)方式更符合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律特點(diǎn)，在認(rèn)識(shí)抽象數(shù)學(xué)概念過程中，“對(duì)應(yīng)思想”貫穿始終，也為今后拓展認(rèn)識(shí)新的數(shù)域打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并從中積累直線上點(diǎn)集和數(shù)集之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.空間圖形教學(xué)中的新舊圖形的對(duì)應(yīng)變換

在空間圖形教學(xué)中，不管是認(rèn)識(shí)圖形、感受空間方位，還是確定物體的位置等章節(jié)，“對(duì)應(yīng)思想”為發(fā)展學(xué)生空間觀念發(fā)揮不可替代的重要作用，尤其以圖形的運(yùn)動(dòng)和變換為最。［3］以人教版四下數(shù)學(xué)《圖形運(yùn)動(dòng)（二）》為例（見圖1），任意一個(gè)軸對(duì)稱圖形除了對(duì)稱軸上的點(diǎn)外，原有圖形上的任意一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)。正是得益于“對(duì)應(yīng)思想”，搭建起軸對(duì)稱變換中已知圖形和運(yùn)動(dòng)后圖形的聯(lián)系，讀通教材才能發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在圖形表象中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

圖1

二、融合思想──把握“對(duì)應(yīng)思想”的核心

弗利德曼說過：“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個(gè)特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想?！毕啾扔趩我坏臄?shù)學(xué)思想，多種數(shù)學(xué)思想間的融合，往往產(chǎn)生1+1＞2的思維推進(jìn)效果。而“對(duì)應(yīng)思想”溝通聯(lián)系的核心特性，則是融合各種數(shù)學(xué)思想過程中的思維催化劑。

1.面積教學(xué)中的對(duì)應(yīng)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)面積公式推導(dǎo)中，往往滲透了轉(zhuǎn)化思想，將未知轉(zhuǎn)化為已知，在這一轉(zhuǎn)化過程中，“對(duì)應(yīng)思想”起到階梯的作用，溝通起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。以《平行四邊形的面積》為例（見圖2），平行四邊形的面積對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化后的長方形面積，其中長方形的長對(duì)應(yīng)平行四邊形的底，長方形的寬對(duì)應(yīng)平行四邊形的高，因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

圖2

2.函數(shù)教學(xué)中的對(duì)應(yīng)思想

函數(shù)思想的本質(zhì)是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，脫離對(duì)應(yīng)思想，函數(shù)思想也不可能孤立存在。小學(xué)階段滲透函數(shù)思想，尤其在數(shù)的運(yùn)算中體現(xiàn)得更加淋漓盡致。教材往往通過圖表，使函數(shù)思想的核心——對(duì)應(yīng)關(guān)系直觀化。如在反比例關(guān)系圖像中，學(xué)生可以直接利用圖像上的點(diǎn)與數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系解決簡單的反比例問題，初步感受函數(shù)思想，體會(huì)一個(gè)集合中數(shù)經(jīng)過運(yùn)算得到另一集合的數(shù)，溝通兩個(gè)集合之間的聯(lián)系。

3.建模教學(xué)中的對(duì)應(yīng)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將模型思想列為十大核心概念，既確立了模型思想的重要地位，又凸顯了其在解決問題中的應(yīng)用價(jià)值。在具體問題情景中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立模型的過程中，“對(duì)應(yīng)思想”溝通聯(lián)系的特性使隱藏的數(shù)量關(guān)系更容易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)。以植樹問題為例，引導(dǎo)學(xué)生通過化曲為直的辦法畫出線段圖幫助思考，發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵樹一一對(duì)應(yīng)，通過與之前兩種植樹情況對(duì)比，學(xué)生不難概括出一端不栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)。

三、應(yīng)用得法──把握“對(duì)應(yīng)思想”的關(guān)鍵

中央教科所趙裕春提出：能力就是運(yùn)用已有知識(shí)和思想方法，解決沒有做過的問題。在解決問題過程中，要求學(xué)生能綜合應(yīng)用所學(xué)過的方法與策略，無疑“對(duì)應(yīng)思想”是解決問題的重要策略，如何應(yīng)用得法？也是學(xué)生今后形成能力的關(guān)鍵。

1.掌握數(shù)數(shù)與比多少

在第一學(xué)段數(shù)數(shù)與比多少解決問題中，教材時(shí)常會(huì)將兩個(gè)集合中元素以一一對(duì)應(yīng)的形式直觀呈現(xiàn)。如二上教材中的這道解決問題（見圖3），就是通過呈現(xiàn)畫圖的策略分析問題，進(jìn)而把握?qǐng)D形中的關(guān)鍵數(shù)量“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，學(xué)習(xí)掌握解決此類問題的步驟和策略。

2.優(yōu)化解決問題策略

巧妙應(yīng)用“對(duì)應(yīng)思想”是優(yōu)化解題策略、提升思維品質(zhì)的關(guān)鍵。如三上教材中有這樣一道思考題（見圖4）。如果用常規(guī)做法思考比較難，用一一對(duì)應(yīng)的思想來分析則相對(duì)簡單：2人一對(duì)一比賽一場(chǎng)淘汰一人，沒有比賽就不淘汰人，兩組一共32人，最后剩兩人進(jìn)行決賽，總共需要淘汰30人，也就是要進(jìn)行30場(chǎng)比賽，即比賽場(chǎng)次和淘汰人數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

圖4

3.破解正方體展開圖

“對(duì)應(yīng)思想”還有助于破解空間想象壁壘，發(fā)展空間觀念。判斷一個(gè)展開圖能否折疊成正方體，涉及到二維和三維之間的轉(zhuǎn)換，直接想象難度比較大。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將展開圖六個(gè)面用文字符號(hào)標(biāo)記，通過觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，展開圖中相對(duì)的面是對(duì)應(yīng)隔開的，即前后對(duì)應(yīng)、上下對(duì)應(yīng)、左右對(duì)應(yīng)，根據(jù)這一對(duì)應(yīng)關(guān)系容易進(jìn)行判斷。如圖5，先確定一個(gè)前面之后，右面沒有一個(gè)左面與之對(duì)應(yīng)，也就是右面重復(fù)了；雖然圖6圖形比較復(fù)雜，但由于每個(gè)面都有其對(duì)應(yīng)面存在，因此可以折疊成正方體。

圖5

圖6

四、理性創(chuàng)造──把握“對(duì)應(yīng)思想”的升華

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注意把握“對(duì)應(yīng)思想”的升華美和境界美，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、創(chuàng)造美，在充分認(rèn)識(shí)和感受數(shù)學(xué)外在形式的美好同時(shí)，提升對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)的理性欣賞，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。這不僅提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是對(duì)學(xué)生理性認(rèn)知上的一種升華。

1.創(chuàng)造對(duì)應(yīng)數(shù)字美

數(shù)學(xué)中的對(duì)應(yīng)數(shù)字美時(shí)常出現(xiàn)在探索運(yùn)算規(guī)律中，如圖7的算式就具有典型的對(duì)應(yīng)數(shù)字美。教學(xué)時(shí)可以先讓學(xué)生計(jì)算前幾個(gè)算式的得數(shù)，之后引導(dǎo)學(xué)生觀察，前幾個(gè)算式與得數(shù)又有什么特點(diǎn)？學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：左邊算式中乘法式子第一個(gè)因數(shù)是從“1”開始對(duì)應(yīng)依次末尾添“2”、添“3”……第二個(gè)因數(shù)都是9，加數(shù)則是從“2”開始依次對(duì)應(yīng)加1，而右邊得數(shù)“1”的個(gè)數(shù)與左邊加數(shù)的數(shù)字對(duì)應(yīng)相關(guān)。發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再運(yùn)用規(guī)律解決問題，容易得出后面幾個(gè)算式的得數(shù)。金字塔式的算式最終創(chuàng)造完畢，擺在學(xué)生面前，使學(xué)生體驗(yàn)到成功喜悅的同時(shí)，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)世界的奇妙多姿。［4］

圖7

2.創(chuàng)造對(duì)應(yīng)建構(gòu)美

數(shù)學(xué)“對(duì)應(yīng)”美是含蓄的、抽象的，它隱藏在數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)的過程中。用心體會(huì)和創(chuàng)造，就不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的美。例如，在一下總復(fù)習(xí)中加法表的建構(gòu)過程，既是對(duì)所學(xué)全部加法算式的全面整理，又是學(xué)生體會(huì)加法表中排列規(guī)律的豐富性和多樣性的重要途徑。（如圖8）每行與列的交叉點(diǎn)均對(duì)應(yīng)一個(gè)相應(yīng)的加法算式，從不同角度觀察加法表，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來抽象的加法算式通過列表建構(gòu)、直觀呈現(xiàn)，可以如此生動(dòng)形象，在和諧統(tǒng)一中相互關(guān)聯(lián)，賦予學(xué)生一種豁然開朗、理性升華的體驗(yàn)。

3.創(chuàng)造對(duì)應(yīng)圖形美

眾多經(jīng)典藝術(shù)作品都與圖形運(yùn)動(dòng)和變化有關(guān)，其中包含了平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是幾何圖形上的點(diǎn)集之間的一種映射，即已知圖形與變化后圖形之間呈“對(duì)應(yīng)”關(guān)系。在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)后，設(shè)計(jì)創(chuàng)造“對(duì)應(yīng)”的圖形。這樣的設(shè)計(jì)活動(dòng)，有助于學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，讓學(xué)生在提升綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)能力的同時(shí)，也為理性創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)之美所折服。

圖8

綜上所述，教師應(yīng)當(dāng)深入了解和把握“對(duì)應(yīng)思想”，并有意識(shí)地在教學(xué)中向?qū)W生滲透，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、分析問題和解決問題，全面提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。