注重幾何直觀 強(qiáng)化邏輯推理 豐富數(shù)學(xué)模型
——2018年杭州市中考數(shù)學(xué)第23題賞析及教學(xué)啟示

□易良斌

（杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院，浙江杭州 310020）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以數(shù)學(xué)知識為載體，關(guān)注學(xué)生縝密的思維過程形成，借助高質(zhì)量的學(xué)習(xí)資源培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.杭州中考數(shù)學(xué)試卷，特別重視科學(xué)設(shè)計考試內(nèi)容，強(qiáng)化能力立意與素養(yǎng)導(dǎo)向，優(yōu)化命題結(jié)構(gòu)，推動中學(xué)素質(zhì)教育.其知識點(diǎn)分布均衡，覆蓋面廣，考查了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題以及解決問題能力.尤其是對于問題的本質(zhì)需要學(xué)生深入研究，試卷重視基礎(chǔ)，核心考點(diǎn)突出.與以往的試題相比，今年的試題總體難度有所下降，學(xué)生對每道題都能夠動手，但是如果想要得到高分甚至滿分，需要有很好的基礎(chǔ)知識和很強(qiáng)的解題能力.幾何的考查更是重視學(xué)生的幾何直觀、推理能力、建立模型能力.下面以2018年杭州中考數(shù)學(xué)第23題為例，探討數(shù)學(xué)問題解決的有效路徑，分析數(shù)學(xué)問題解決在激活學(xué)生思維、發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力的獨(dú)特價值，進(jìn)而喚醒教師在教學(xué)中要注重幾何直觀意識，強(qiáng)化邏輯推理能力的培養(yǎng)，在解決問題的過程中豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)能力[1].

一、試題呈現(xiàn)

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，作DE⊥AG，于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F，設(shè)

（1）求證：AE=BF.

（2） 連 接 BE，DF，設(shè)∠EDF=α,∠EBF=β，

求證：tanα=ktanβ.

（3）設(shè)線段AG與對角線BD交于點(diǎn)H，△AHD和四邊形CDHG的面積分別為 S1和S2，求的最大值.

這是一道相當(dāng)成功的壓軸題，符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.前幾年，許多地區(qū)的中考壓軸題一般都在二次函數(shù)上做文章，但許多試題都是以二次函數(shù)圖象為考查中心，將圖象進(jìn)行變化（移動、翻轉(zhuǎn)），或架構(gòu)幾何圖形，這其實(shí)是解析幾何的內(nèi)容，并不在初中的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，是對函數(shù)教學(xué)目標(biāo)的一種誤解.此題看似一道常規(guī)的動態(tài)問題，體現(xiàn)了函數(shù)作為研究問題、解決問題的工具性本質(zhì)，準(zhǔn)確體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在二次函數(shù)方面的教學(xué)要求.

二、解題分析

第（1）題大部分學(xué)生能得滿分，少部分學(xué)生失分的主要問題有兩個：一是∠ADE和∠BAF相等的證明過程沒有寫清楚；二是用角角邊證△ADE≌△ABF時錯當(dāng)成HL證全等.這題考查了正方形的旋轉(zhuǎn)對稱性.

第（2）題的書寫很多，有的太簡單，思維跳躍；有的又太啰唆，過程不斷往結(jié)論靠，推理不嚴(yán)密，有些步驟是亂寫，想糊弄過關(guān).細(xì)想，過程為什么難寫？原因在線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化上：一是為什么可以轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的依據(jù)不清晰；二是轉(zhuǎn)化的關(guān)系太多，寫得比較混亂.這些亂的根源就在于思維的混亂，邏輯關(guān)系的不清晰.對于要求證的結(jié)果，我們不妨進(jìn)行一些變形，即證明，其實(shí)就是要證明，而證明線段成比例的方法最常用的就是相似了，于是到圖形中找BF，DE，BG，BC所在的三角形，馬上就能找到Rt△BFG∽Rt△DEA.利用執(zhí)果索因的辦法去思考，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，思路順暢，根本不需要花多少時間就能解決該題.

第（3）題首先要把圖形重新畫一下，把無用的內(nèi)容刪去，這樣圖形就變得更清晰，圖形之間的關(guān)系能理得更清楚.設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則BG=k，分別表示出△ABG，△ABD的面積，再根據(jù)求出S1及S2，再求出S1與S2之比與k的函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)k的取值范圍，即可求解.用的是代數(shù)中的二次函數(shù)模型來求最值.難點(diǎn)在哪？閱卷過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生根本無從下手，不知道用代數(shù)模型來解決，不知道用k來表示面積.很多學(xué)生都是猜想G在中點(diǎn)時，面積比最大，卻缺乏利用二次函數(shù)求最值的推理過程.用字母表示面積的過程稍微復(fù)雜，S1需要用到相似的面積比例關(guān)系，還要用到等底或等高的面積關(guān)系，難度較大.還有少部分學(xué)生對三角形面積公式?jīng)]掌握好，忘記乘以二分之一.

總體來說，今年的幾何壓軸題并不是很難，前兩小題的得分情況還可以，第三小題難度較大，對學(xué)生的代數(shù)式的計算能力要求較高.

三、解法賞析

關(guān)于第（1）問.

解法1：如圖1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=90°，即∠DAE+∠BAF=90°，因?yàn)镈E⊥AG，BF⊥AG，所以∠AED=∠AFB=90°，則 ∠DAE+∠ADE=90°，所 以 ∠BAF=∠ADE，所以△ADE≌△BAF，所以AE=BF.

解法2：如圖2，延長DE交AB于P點(diǎn)，可得△APD與△BGA全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，可得AE=BF.

圖1

圖2

關(guān)于第（2）問.

圖3

圖4

關(guān)于第（3）問.

解法1：如圖5，設(shè)BC=1，則BG=k，過H點(diǎn)作MN⊥AD，交AD于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)，易得

圖5

圖6

圖7

圖8

解法 3：如圖 7，設(shè)BC=1，則BG=k，連接DG，分別過A,G作AP⊥BD,GQ⊥BD,垂足為P,Q兩點(diǎn)，過H作HM⊥AD，垂足為M點(diǎn)，參照解法由解法1，可得接下來的方法同解法1.

解法 4：如圖 8，設(shè) BC=1，則 BG=k，連接HC，由正方形的對稱性可知，△AHD≌△CHD，下來的方法同解法1.

四、教學(xué)啟示

（一）注重畫圖、析圖和賞圖，加深對幾何問題的理解

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，幾何圖形是幾何的主要研究對象.在教學(xué)時，要花大力氣要求學(xué)生利用三角形、圓規(guī)等作圖工具精準(zhǔn)畫圖.其目的是促使學(xué)生將幾何學(xué)習(xí)中的文字語言、圖形語言和符號語言相互轉(zhuǎn)化，找準(zhǔn)題中的關(guān)鍵詞，如中點(diǎn)、任意一點(diǎn)、角平分線、中線、垂直、平行、平移等，加深對數(shù)學(xué)概念的理解，從而提升學(xué)生的審題能力，為順利解題打好堅實(shí)的基礎(chǔ).

對題中所給的較復(fù)雜的圖形，學(xué)會分解，拆分成基本圖形[2].如本文中的圖形中能拆分出單獨(dú)的圖形，如Rt△ADE，△ADF，正方形ABCD，直角梯形AGCD，四邊形DFGC等，也能拆分出基本圖形，如Rt△ABG和Rt△BGF組成的子母相似，Rt△ADE和Rt△ABF組成的“一線三垂直”，△ABE和△BEG是同高三角形，△AHD和△GHB組成的“8字形相似”，等等.使學(xué)生在解題時能集中精力，排除干擾，縮短學(xué)生思考時間，有效地解決問題.

在教學(xué)時，要有意識地指導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形，體會圖形的對稱美，變化美.如圖9的4個圖形中，可以指導(dǎo)學(xué)生從對稱性出發(fā)欣賞美，整體是中心對稱，部分是旋轉(zhuǎn)對稱.同時讓學(xué)生說出圖形之間的區(qū)別和聯(lián)系，通過怎樣的變換，圖形可以相互轉(zhuǎn)化.圖形的局部又是哪類基本圖形.這樣不僅培養(yǎng)了幾何直觀，體會了數(shù)學(xué)美，還加強(qiáng)了圖形之間的聯(lián)系，豐富了圖形的想象，為添加輔助線、解題思路的形成做好鋪墊.

圖9

（二）重視基本圖形分析，提升直觀想象能力

在本題的解決中，能迅速找到基本圖形，就可以更快更直接得到一些有用結(jié)論.同時，在很多經(jīng)典例題中，基本圖形也常常伴隨產(chǎn)生.因此，在平時的教學(xué)中，多積累一些基本圖形，有利用學(xué)生解題能力的提高[3].

在教學(xué)時，加強(qiáng)對基本圖形的結(jié)論進(jìn)行梳理和小結(jié)，如對于母子形相似這個基本圖形，可進(jìn)行如下的梳理.局部看：單獨(dú)一個直角三角形；從角看：兩銳角互余；從邊看：勾股定理，涉及一元二次方程；從邊角看：銳角三角函數(shù)；整體看：三角形相似，相等的角，比例線段（比例中項(xiàng)），周長比，面積比，面積法等.在作業(yè)講評時，經(jīng)常性追問學(xué)生：看到這個圖形，你能編一個什么問題？需要什么條件？還能想到什么？加強(qiáng)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，圖形和問題之間的預(yù)想和預(yù)判，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，完善知識間的重組，實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.

（三）開展問題的變式教學(xué)，滿足不同層次的學(xué)生需求

在幾何教學(xué)時，還應(yīng)對基本圖形的基本問題進(jìn)行精加工，深挖掘，以問題串的形式，豐富習(xí)題層次，引領(lǐng)學(xué)生思維向更深層次遞進(jìn)，滿足不同層次的學(xué)生需求[4].

變式1：如圖10，在正方形ABCD中，G是邊BC上的一點(diǎn)（不與B,C兩點(diǎn)重合），AG與對角線BD相交于H點(diǎn)，

（1）若AB=4，BG=1，則BH∶HD=______，HD=______，S△AHD=______.

（2）若AB=4，BG=a，則BH∶HD=______，HD=______，S△AHD=______（用含a的代數(shù)式表示）.

（3）設(shè)BG∶AB=x，S△AHD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.

（4）嘗試用列表法，畫出該函數(shù)的圖象，并寫出這個函數(shù)的兩個性質(zhì).

圖10

圖11

通過讓學(xué)生解題，然后比較前3小題之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生理解從具體的數(shù)到代數(shù)式，到函數(shù)表達(dá)式，它們的計算方法是一樣的，僅僅是運(yùn)算的對象發(fā)生了改變，運(yùn)算的結(jié)果符號化、一般化，體會從特殊到一般、從具體到抽象的過程，使知識融會貫通，完善知識體系，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).

變式2：如圖11，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，BD交于點(diǎn)H，∠BAG=α，

（2）在BD上取點(diǎn)P，使得∠GAP=45°，證明：SABCD=BP·DH.

第（1）題可以利用相似中的基本圖形，通過邊之間的轉(zhuǎn)化，最后與三角函數(shù)建立聯(lián)系，體現(xiàn)三角函數(shù)是溝通邊與角之間的橋梁.也可以將研究圖形的幾個要素——邊、角、面積通過三角函數(shù)建立聯(lián)系，體現(xiàn)幾何中邊、角、面積的關(guān)系不是單向的，是多元聯(lián)系的.

第（2）題可以由點(diǎn)動得到線段與角的關(guān)系，再由角動產(chǎn)生新的變化，得到面積與邊之間的關(guān)系.

近幾年杭州市的數(shù)學(xué)中考題讓學(xué)生套用現(xiàn)有模型解決問題的題型越來越少，反之，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查增多，學(xué)生失去現(xiàn)有模式，得憑借對數(shù)學(xué)的理解，臨場解決問題.因此，在平時的教學(xué)中，要重視學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累.教師可以讓學(xué)生先行，將學(xué)生思考的作品呈現(xiàn)，教師圍繞數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行總結(jié)和歸納，這樣的教學(xué)基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生學(xué)會的不僅僅是這堂課的知識內(nèi)容，更重要的是學(xué)會思考和解題，這樣就算下次遇到?jīng)]有見過的問題，學(xué)生也能自己獨(dú)立解決.