尋覓命題依據(jù) 把握教學(xué)方向*
——對2018年全國高考數(shù)學(xué)卷I理科第12題的探析

□王淼生 林晴嵐

（廈門第一中學(xué)，福建廈門 361003；福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建福州 350025）

萬眾矚目的2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標準已閃亮登場，期盼已久的新版高中數(shù)學(xué)教材呼之欲出.以立德樹人及學(xué)科核心素養(yǎng)為聚焦的課程改革正在穩(wěn)步推進，我們迎來了備受關(guān)注的2018年高考.本文對2018年全國高考數(shù)學(xué)卷I理科第12題進行探析，尋覓專家命題依據(jù)，從中洞察高考試題有哪些變化，折射怎樣的命題理念，又帶給我們什么教學(xué)啟示.

一、真題呈現(xiàn)

例題已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

二、命題依據(jù)

讓我們一起來回顧《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）第123～125頁中的案例，就能尋覓到專家命題的依據(jù).當我們用一個平面截正方體，截面的形狀會是怎樣的呢？

《新課標》首先提出：如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？還能截出哪些多邊形？為什么？

《新課標》進一步提出：能否截出正五邊形？為什么？能否截出直角三角形？為什么？有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形？為什么？是否存在正六邊形的截面？為什么？

《新課標》最后還提出：截面面積最大的三角形是什么形狀的三角形？為什么？

《新課標》之所以設(shè)計系列問題串，是為了教師在教學(xué)過程中，以人為本、以生為本，針對不同學(xué)生來設(shè)計不同的教學(xué)方式，在最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)，凸顯高中數(shù)學(xué)新課程理念：“人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”同時提醒一線教師，可以引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法實施研究.比如，通過切蘿卜塊觀察截面以啟發(fā)思路；通過往透明正方體盒子里面注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面形狀來操作實驗；還可以通過現(xiàn)代信息技術(shù)直觀快捷地展示各種可能的截面來觀察截面變化過程.

《新課標》之所以設(shè)計螺旋上升的問題串，意在讓學(xué)生經(jīng)歷逐漸深入的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等核心素養(yǎng)，積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗.

三、提出問題

例題題意清晰，短小精悍，優(yōu)雅高質(zhì)，一經(jīng)出爐立即吸引一線教師眼球，成為截面問題的完美典范.由于例題作為選擇題，參考答案僅僅只給出正確答案為A.閱卷得分數(shù)據(jù)表明此題得分較高.無論一線教師還是學(xué)生，通常都認為作為高考選擇題壓軸題，理應(yīng)有一定難度，甚至較大難度，縱使得分較低，甚至很低也屬正?，F(xiàn)象，歷年來的高考便是證明.

高考結(jié)束后，筆者求證不少考生，幾乎異口同聲地回答：“很簡單，截面就是正六邊形.”筆者特意請教不少同行，查閱相關(guān)期刊，同時關(guān)注網(wǎng)絡(luò)，幾乎都是沒有經(jīng)過任何推理論證而直接默認面積最大時的截面就是正六邊形.

然而，筆者一直在思考：為何面積最大時只能是正六邊形呢？為何正六邊形面積就是最大？如何證明正六邊形面積最大？為何想到正六邊形呢？為何不是正五邊形？為何不能是正四邊形（即正方形）？正如愛因斯坦教誨：“提出一個問題往往比證明一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個教學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?而提出新的問題，新的可能性，從新的角度看舊的問題，都需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學(xué)的真正進步.”

四、似曾相識

客觀地講，例題中所涉及的截面問題并不新穎.比如，我們在網(wǎng)絡(luò)、教輔書及各地模擬試卷中經(jīng)常遇見以下試題：

例1：用一平面截正方體后得到的截面不可能是以下哪種圖形____________.

①鈍角三角形；②直角三角形；③正三角形；④菱形；⑤不是矩形的平行四邊形；⑥正五邊形；⑦正六邊形.

例2：若一個平面與一個正方體各條棱所成的角均相等，則該角的正弦值為________.

例3：若一個平面與正方體6個面所成的銳二面角均相等，則該角的余弦值為 .

五、各類截面

正方體是立體幾何中的重要模型之一，既是中心對稱又是軸對稱圖形.因正方體有六個面，因此用一個平面α去截正方體，縱使α與正方體所有面均相交，至多六條交線，因此不可能出現(xiàn)七邊以上的凸多邊形.據(jù)此可知用一個平面截正方體，其截面只可能為三角形、四邊形、五邊形及六邊形.為了便于說明問題，本文均以單位正方體ABCDA1B1C1D1為例.

（一）截面為三角形

在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，A1A上各取一點E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，即可得到截面三角形EFG.設(shè)A1E=m，

（1）若m，n，p互不相等，如圖1所示，由余弦定理得∠EFG，∠FGE與∠GEF均為銳角，說明截面△EFG為銳角三角形，不可能為直角三角形，也不可能為鈍角三角形.

（2）若m，n，p有且僅有兩個相等，如圖1所示，不妨設(shè)m=n，則FG=GE，則截面△EFG是以EF為底邊的等腰三角形.

（3）若m，n，p均相等，如圖1所示，則EF=FG=GE，故△EFG為正三角形.

特別地，當m=n=p=1，即E，F(xiàn)，G分別與B1，D1，A重合時，如圖2所示，此時△EFG面積是截面為三角形所能達到的最大值，且為，這正是例題中選項D.由此看來，命題專家設(shè)置選項D有理有據(jù)，并非空穴來風(fēng).

圖1

圖2

綜上所述，得到以下結(jié)論.

結(jié)論1：若一個平面截正方體，所得截面為三角形時，其截面只能為銳角三角形（含正三角形、等腰三角形），不可能為直角三角形，也不可能為鈍角三角形.

（二）截面為四邊形

（1）正方形：只要平面α與正方體任一面平行，此時平面α截正方體所得截面就是正方形，如圖3所示.

（2）矩形：只要平面α過正方體的一條棱且不與正方體的面重合，或者平面α與一條棱平行，所得截面就是矩形，如圖4、圖5及圖6所示.

圖3

圖4

圖5

圖6

（3）菱形：如圖7所示（只要E，F(xiàn)為中點即可）.

（4）非矩形的平行四邊形：如圖8所示.

（5）梯形：如圖9所示（只要平面α與平面ABCD斜交，且C1G≠C1F）.

圖7

圖8

圖9

圖10

值得注意的是：不可能為直角梯形.對于圖9，采用反證法：若為直角梯形，不妨設(shè)∠HGF為直角，則HG ⊥ GF，HG ⊥B1C1，依據(jù)線面垂直的判定定理可知HG與平面A1B1C1D1垂直，這與斜交相矛盾.

（6）等腰梯形：如圖9（只要C1G=C1F）、如圖10所示.

綜上所述，得到以下結(jié)論.

結(jié)論2：若一個平面截正方體，所得截面為四邊形時，其截面可能正方形、菱形、矩形、非矩形的平行四邊形、梯形（含等腰梯形），但不可能為直角梯形.

（三）截面為五邊形

必須指出的是：無論對于圖11，還是對于圖12，不可能為正五邊形.以圖11為例，若為正五邊形，由對稱性，則需要保證AE=EF=FG，利用勾股弦定理容易得到矛盾.

結(jié)論3：若一個平面截正方體，所得截面為五邊形時，其截面不可能為正五邊形.

圖11

圖12

（四）截面為六邊形

結(jié)論4：若一個平面截正方體，所得截面為六邊形時，其截面可能六邊形、正六邊形（只要取棱的中點），如圖13所示.

根據(jù)上述詳細剖析，我們得到例1的答案為①②⑥.

圖13

六、規(guī)范解答

我們知道正方體有12條棱，要使12條直線與平面α所成角均相等，是一件困難的事情，但注意到正方體中有些棱所在直線相互平行，因此只要保證3條直線（即共同一頂點的三條直線）與平面α所成角相等即可.這正是例2所要研究的問題，如圖2所示，顯然此時三棱錐A1-AB1D1為正三棱錐，不難求得該角的正弦值為.正是基于三棱錐A1-AB1D1為正三棱錐，因此截面AB1D1與正方體6個面所成銳二面角相等，截面AB1D1正是上述案例4所要尋找的截面中的一個，不難求得該角的余弦值為

正是圖2中的截面AB1D1與12條棱所成的角均相等，因此我們只要平行移動平面AB1D1，得到的任何截面都與12條棱所成的角相等，這正是例題的核心，于是我們只要尋找其中截面面積最大的截面即可.當從圖2中的截面平移到圖1的截面時，顯然截面面積越來越小；當從圖2平移到圖13時面積越來越大.一旦達到臨界面（面積最大）以后，其截面面積又開始逐步變小，因此我們利用圖13來研究并得到以下解法.

解法2：依據(jù)正方體的對稱性，不妨設(shè)AI=AJ=B1E=B1F=D1H=D1G=t，則 有，利用相似性易得顯然HE=由圖14可得截面六邊形EFGHIJ是由兩個等腰梯形EFGH與HIJE構(gòu)成，而且可以求出等腰梯形EFGH的高為等腰梯形HIJE的高為據(jù)此可得

圖14

圖15

七、啟示教學(xué)

（一）研究試題變化

《新課標》除內(nèi)容、結(jié)構(gòu)調(diào)整以外，最大亮點就是以立德樹人為根本宗旨，以學(xué)科核心素養(yǎng)為主要抓手.作為六大核心素養(yǎng)中的直觀想象，高考考查的主要載體就是立體幾何.前些年，各省市自主命題試卷，尤其全國卷，涉及復(fù)雜的組合體的三視圖問題成為必考試題，甚至有逐年加大難度的趨勢.2018年高考，無論是全國卷I、III，還是相關(guān)省市自主命題卷，無論是文科還是理科，明顯降低難度.比如，全國卷I（理7、文9）考查圓柱三視圖；全國卷III（理3、文3）本質(zhì)就是長方體三視圖；北京卷（理5、文6）、浙江卷（第3題）均為考查底面為直角梯形的四棱錐三視圖.有些試卷甚至根本就沒有考查三視圖，比如，全國卷II、天津卷、江蘇卷等.2018年高考凸顯的這些變化足以說明三視圖明顯在弱化，并為最終在2021年高考中進一步降低難度甚至取消三視圖考查做好鋪墊.作為六大核心素養(yǎng)中的直觀想象該如何體現(xiàn)與考查呢？命題專家通過解答題中的空間圖形翻折或旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)這一目標.比如，2018年高考全國卷I（理18）就是正方形翻折，全國卷I（文18）就是平行四邊形翻折，全國卷III（理19、文19）就是從正方體一邊為直徑的半圓的翻折，等等.

（二）摒棄冷戰(zhàn)思維

長期“冷戰(zhàn)思維”導(dǎo)致一線教師普遍認為全國卷就是難，壓軸題就該難倒盡量多的考生，于是教學(xué)中、考試中人為地加大、加深難度，似乎不難倒所有考生就不是好題，就不能顯示命題水平，甚至個別試題全軍覆沒，最終結(jié)果是學(xué)生苦不堪言，教師身心俱疲.仔細研讀教材，正方體（長方體的特殊情況）是立體幾何最為重要的載體，是立體幾何教學(xué)的出發(fā)點、命題的歸宿處.事實上，教材多處強調(diào)正方體截面問題，這就要求一線教師重視教材、回歸課本、夯實基礎(chǔ)、吃透課標、不忘初心，這才是取勝高考的法寶，這才是數(shù)學(xué)教育的根本.

（三）精準把握動向

俗話說得好：“傷其十指不如斷其一指.”研究高考試題，應(yīng)該知其然，更知其所以然.高考試題是命題專家精心設(shè)計、仔細推敲、反復(fù)打磨的結(jié)晶，凝聚專家集體智慧，因而高考試題具有權(quán)威性、輻射性、典型性、功能性及導(dǎo)向性，需要教師結(jié)合學(xué)生實際情況，深思熟慮，將一些經(jīng)典試題的內(nèi)在規(guī)律、本質(zhì)特征呈現(xiàn)在學(xué)生面前，正如波利亞指出：“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”可以說例題正是上述波利亞名言的最佳詮釋 .