“雞兔同籠”的一題多解

摘 要：《孫子算經(jīng)》中雞兔同籠問(wèn)題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何?！边@個(gè)問(wèn)題有各種各樣的解法，本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)中第九章數(shù)學(xué)廣角的雞兔同籠例題為例，運(yùn)用“盈不足術(shù)”、畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法和方程法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：“雞兔同籠”；一題多解；“盈不足術(shù)”

一、 一題多解

例：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

（一） “盈不足術(shù)”

《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”主要講了以盈虧問(wèn)題為中心的一種雙假設(shè)算法。例題可用這種方法計(jì)算。如：

假設(shè)雞有2只，則兔有6只，一共有2×2+6×4=28只腳，多了2只腳；若設(shè)雞有4只，兔4只，則腳共有4×2+4×4=24只，少了2只腳。

把第一次設(shè)的雞只數(shù)記為a1，腳盈部分記為b1；把第二次設(shè)的雞只數(shù)記為a2，腳虧部分記為b2，則可算出雞有a2b2+a2b2b2+b2=2×2+4×22+2只，兔有8-3=5只。

（二） 畫(huà)圖法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，提倡數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，然而畫(huà)圖法正是數(shù)形結(jié)合很好體現(xiàn)。解法如下：

圓表示頭，

豎杠表示腳，兩條豎杠就是雞，四條豎杠就是兔。題目中說(shuō)有8個(gè)頭，那第一步先畫(huà)8個(gè)圓；第二步就是分腿了，每個(gè)頭分兩條腿，剩余的再剛才的基礎(chǔ)上再分多兩條腿，即一個(gè)圓帶四條豎杠的就是兔子。

通過(guò)畫(huà)圖，可以直觀看出兔子有5只，雞有3只。

（三） 列表法

通過(guò)列表解決問(wèn)題，也就是把符合問(wèn)題的所有可能答案一個(gè)個(gè)列出來(lái)，并用表格進(jìn)行整理。解如下：

雞和兔一共8個(gè)頭，所以當(dāng)雞8只，則兔0只；當(dāng)雞7只，則兔1只……由此可以列出下表：

雞876543210

兔012345678

腳161820222426283032

通過(guò)列表，可以看出雞兔共26只腳時(shí)，雞有3只，兔有5只。

（四） 假設(shè)法

假設(shè)法是根據(jù)題目中給出已知條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。根據(jù)例題解題思路如下：

假設(shè)籠子里全部都是雞，先算出在假設(shè)條件下籠子里面一共有幾只腳，再拿假設(shè)得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比，看差多少，因?yàn)殡u和兔相差兩只腳，將所差的腳數(shù)除以二，就可以算出一共有多少只兔，最后算出有多少只雞。

解：假設(shè)全是雞，則共有腳：8×2=16（只）；

題目給的腳數(shù)與假設(shè)腳數(shù)的差：26-16=10（只）；

兔子個(gè)數(shù)：10÷2=5（只）；

雞的個(gè)數(shù)：8-5=3（只）。

答：雞有3只，兔有5只。

（五） 方程法

方程法把未知量設(shè)為字母，然后把字母作為已知量參與計(jì)算，最終得到等式的過(guò)程。所以根據(jù)題意方程法有兩種：

1. 只含一個(gè)未知數(shù)

解：設(shè)雞有x只，兔有（8-x）只，則雞腳有2x只，兔腳有4（8-x）只。2x+4（8-x）=26，求得x=3，故雞有3只；則兔有8-3=5（只）。

2. 未知數(shù)不止一個(gè)

解：設(shè)雞有x只，兔有y只，則雞腳有2x只，兔腳有4y只。

2x+4y=26

聯(lián)立方程組得2y=10；最后解得y=5，x=3；所以雞有3只，兔有5只。

二、 解題分析

根據(jù)上文的五種方法的介紹，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解題的靈活多樣性，第一種可以讓學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，后面四種方法是層層遞進(jìn)的，有利于對(duì)學(xué)生高層次認(rèn)知水平的培養(yǎng)。

“盈不足術(shù)”，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生較為抽象，介紹這種方法可以讓學(xué)生體會(huì)到古時(shí)候的人們也能有大智慧，使學(xué)生融入數(shù)學(xué)文化。

畫(huà)圖法：借助圖形來(lái)解題對(duì)于年級(jí)小、認(rèn)知水平較低的學(xué)生來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單些，還能激發(fā)數(shù)學(xué)興趣，并且有利于假設(shè)法的理解，但對(duì)于大數(shù)目題目時(shí)，畫(huà)圖就不切實(shí)際。

列表法：把符合問(wèn)題的所有可能答案逐個(gè)列出來(lái)，并用表格進(jìn)行整理。這種方法對(duì)于小數(shù)目的題目來(lái)說(shuō)方便快捷，數(shù)字大了，就顯得繁瑣，還容易出錯(cuò)。

假設(shè)法：對(duì)于小學(xué)學(xué)生來(lái)說(shuō)，較難理解，需要借助畫(huà)圖法，使題目呈現(xiàn)更直觀，才能進(jìn)一步理解。適用范圍大，不會(huì)因?yàn)閿?shù)目大小而受到限制。

方程法：通過(guò)一套流程來(lái)解題，但是要求用未知量來(lái)計(jì)算，對(duì)于小學(xué)生認(rèn)知要求較高，需要把未知當(dāng)已知來(lái)算。這種方法也是不受數(shù)目大小限制，解題方便快速。

解決“雞兔同籠”問(wèn)題，其實(shí)也是建立解題模型的問(wèn)題，這個(gè)模型不僅僅局限在雞和兔，可以把雞和兔換成龜和鶴、單車(chē)和三輪車(chē)等。

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作者簡(jiǎn)介：

劉婉悅，廣西壯族自治區(qū)桂林市，廣西師范大學(xué)。