淺談等比數(shù)列中常見的錯(cuò)解剖析

■河南省駐馬店平輿縣第一高級(jí)中學(xué)高三八班 魏子龍

在等比數(shù)列學(xué)習(xí)中,我們有時(shí)會(huì)遇到一些似是而非的問題,此類問題往往是由于我們對(duì)某些概念或公式理解上的模糊認(rèn)識(shí),從而造成一些看起來正確而實(shí)際上錯(cuò)誤的判斷,使我們的解題思維走入誤區(qū)。

誤區(qū)一：對(duì)等比數(shù)列的概念理解不透徹,而造成的失誤。

例1 若a,b,c是實(shí)數(shù),則b2=ac是a,b,c成等比數(shù)列的（ ）條件。

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要條件 D.既不充分也不必要

因此,b2=ac是a,b,c成等比數(shù)列的充要條件。故選C項(xiàng)。

剖析：當(dāng)a,b,c成等比數(shù)列時(shí),b2=ac成立;由于a,b,c是實(shí)數(shù),當(dāng)b=c=0時(shí),b2=ac雖成立,但b,c均為零,不可能是等比數(shù)列的項(xiàng),即a,b,c不成等比數(shù)列。

故選B項(xiàng)。

誤區(qū)二：忽視等比數(shù)列的公比不等于0的隱含條件而致錯(cuò)。

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1+kan（k≠1）,判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列。

錯(cuò)解：當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=1+kan-（1+kan-1）=kan-kan-1。

整理得kan-1=（k-1）an。

剖析：上述解法只適合k≠0的情形,因?yàn)榈缺葦?shù)列中隱含條件q≠0,所以在解題過程中應(yīng)考慮公比是否為0。

正解：

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=1+kan-（1+kan-1）=kan-kan-1。

整理得kan-1=（k-1）an。

若k≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;若k≠0,則Sn=1,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列。

誤區(qū)三：忽視了an=Sn-Sn-1成立的條件,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足log2（1+Sn）=n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

錯(cuò)解：因?yàn)閘og2（1+Sn）=n+1,所以1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1。

故an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n。

剖析：此解法忽視了起始項(xiàng),即當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1才成立。因此上面求出的通項(xiàng)公式an=2n只適用于n≥2的情況,上述結(jié)果是不完整的。

正解：因?yàn)閘og2（1+Sn）=n+1,所以1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1,Sn-1=2n-1。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n。

a1=S1=21+1-1=3≠21,不滿足上式。

評(píng)注:公式an=Sn-Sn-1中隱含條件n≥2,所以當(dāng)a1符合an（n≥2）的表達(dá)式時(shí)可合并一個(gè)通項(xiàng)公式;當(dāng)a1不符合an（n≥2）的表達(dá)式時(shí)通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示。