與等差（比）數(shù)列求和有關(guān)的三類問題

■天津市武清區(qū)英華國際學(xué)校 王續(xù)然

等差數(shù)列與等比數(shù)列,作為數(shù)列的基本類型,一直是高考命題的熱點(diǎn)。那么與等差（等比）數(shù)列求和有關(guān)的問題有哪些呢?下面舉例說明。

一、基本量法求和問題

例1 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a10=30,a20=50。

（1）求通項(xiàng)公式an;

（2）若Sn=242,求n。

解得n=11或n=-22（舍去）。

故n=11。

評注:（1）等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d或q,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想。

（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用,而a1和d（q）是等差（比）數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知量和未知量是常用方法。

二、等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用

例2 （1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=（ ）。

A.40 B.50 C.60 D.70

（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于（ ）。

A.80 B.30 C.26 D.16

解析：（1）因?yàn)镾10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,所以S30-30=10+2×10=30,S30=60,選C。

（2）由等比數(shù)列性質(zhì)得,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列,則（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n）。

所以（S2n-2）2=2×（14-S2n）。

又S2n＞0,解得S2n=6。

又（S3n-S2n）2=（S2n-Sn）（S4n-S3n）,所以（14-6）2=（6-2）（S4n-14）。

解得S4n=30,選B。

評注:（1）等差數(shù)列{an}中,公差為d,前k項(xiàng)的和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Smk-S（m-1）k,…構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列。

（2）等比數(shù)列{an}中,公比為q,前m項(xiàng)和為Sm（Sm≠0）,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,Skm-S（k-1）m,…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列。

三、與等差、等比數(shù)列求和有關(guān)的最值問題

（2）利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系,尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系,再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及所得的關(guān)系化簡不等式,進(jìn)而通過估算求得正整數(shù)n的取值范圍。

由題意得:

（a1q16）2=a1q23,a1q9=1。故a1=q-9。

把a(bǔ)1=q-9代入上式并整理,得:

因?yàn)閝＞1,所以qn-1＞0。故有qn-18＞q,即qn＞q19,從而n＞19。所求正整數(shù)n的取值范圍是n≥20,n的最小值為20。

評注:本例中的第一題屬等差數(shù)列的前n項(xiàng)和問題,依據(jù)等差數(shù)列求和公式,一般可考察其中間項(xiàng)來確定正負(fù)。本例第二題中數(shù)列與不等式兩方面的知識都用到了,主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識化簡,用不等式知識求得最后的結(jié)果。本題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用。