例談數(shù)列中的難度較大的綜合應(yīng)用題

■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波

數(shù)列是高考中的核心考點(diǎn),在歷年的高考中都占有重要的地位。因此,如何高效學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容變得至關(guān)重要。數(shù)列知識(shí)考點(diǎn)繁多,處理問題的思想方法較為靈活,問題的綜合程度較高,在高考中已經(jīng)形成了很多經(jīng)典問題。下面通過對高考中數(shù)列綜合應(yīng)用問題的分析,可溝通數(shù)列的所有重要的知識(shí)與思想方法,同時(shí)也能體會(huì)到數(shù)列與其他重要知識(shí)點(diǎn)的精彩交匯,以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的交匯

例1 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,最上面4節(jié)的容積共3升,最下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為____升。

解析：設(shè)竹子從上到下的容積依次為a1,a2,…,a9,由題意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4。設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則有4a1+6d=3①,3a1+21d=4②。

點(diǎn)評:此題是數(shù)學(xué)文化題,關(guān)鍵是提取其中的重要信息,可發(fā)現(xiàn)此題實(shí)際上是等差數(shù)列問題。

二、an與Sn的關(guān)系問題

例2 設(shè)數(shù)列an｛｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知an＞1,a2n+3an=6Sn-2（n∈N*）。

由題意知:

整理得（an+1+an）（an+1-an）=3（an+1+an）。因?yàn)閍n＞1,所以an+1+an≠0,an+1-an=3。

所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),以3為公差的等差數(shù)列。

因此,an=2+（n-1）×3=3n-1。

點(diǎn)評:對含有an與Sn的關(guān)系式的數(shù)列問題,可利用公式an=Sn-Sn-1（n≥2）實(shí)現(xiàn)問題的求解。

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

點(diǎn)評:本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),解題的關(guān)鍵是對基本概念、公式的理解。

四、數(shù)列中的最值問題

解得6≤n≤7。

又n∈N*,所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)。

五、數(shù)列中的比較大小問題

當(dāng)n≥3時(shí),f（n+1）-f（n）＞0,故當(dāng)n≥3時(shí),f（n）單調(diào)遞增。

因此,當(dāng)n≥4時(shí),f（n）≥f（4）=1。

而g（n）＜1,所以當(dāng)n≥4時(shí),f（n）＞g（n）。

經(jīng)檢驗(yàn)n=1,2,3時(shí),f（n）＞g（n）仍成立。

點(diǎn)評:比較大小是數(shù)列中的常見問題,常見的解法有:直接作差法,借助中間變量法,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而利用其單調(diào)性等方法。結(jié)合此題的特點(diǎn),可借助中間變量進(jìn)行比較。

六、數(shù)列中的恒成立問題

（2）若對任意的n∈N*,不等式3n2-2n-5＜（2-λ）an恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

點(diǎn)評:含有參數(shù)的恒成立問題,分離參數(shù)是常見的解題策略,本題在分離參數(shù)后,通過借助數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最大項(xiàng),從而實(shí)現(xiàn)問題的求解。

七、數(shù)列中的不等式證明問題

點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵是通過倒數(shù)變換,然后通過拆項(xiàng),再利用累加法實(shí)現(xiàn)問題的求解。對代數(shù)變形能力要求較高,較為隱蔽,在證明不等式的過程中使用了常見的放縮法。

八、函數(shù)背景下的數(shù)列問題

點(diǎn)評:這是一道極為經(jīng)典的倒序求和問題,這類試題往往給出一個(gè)優(yōu)美的函數(shù),然后借助該函數(shù)蘊(yùn)含的一個(gè)奇妙性質(zhì)進(jìn)行求和,而這個(gè)蘊(yùn)含的奇妙性質(zhì),往往需要對所需求和的式子進(jìn)行觀察而獲得。

九、解析幾何背景下的數(shù)列問題

例9 設(shè)C1、C2、…、Cn、…是坐標(biāo)平面上的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸數(shù)n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半徑,并且{rn}為遞增數(shù)列。

（1）證明:{rn}是等比數(shù)列;

而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,將λn=2rn代入,解得rn+1=3rn。

故{rn}是公比q=3的等比數(shù)列。

（2）由于r1=1,q=3,故rn=3n-1。

點(diǎn)評:本題以解析幾何為背景,通過數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題,第二問考查了錯(cuò)位相減求和法。

十、平面向量背景下的數(shù)列問題

例10 設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量分別是i、j,坐標(biāo)平面上點(diǎn)An、Bn（n∈

（2）若四邊形AnBnBn+1An+1的面積是an,求an（n∈N*）的表達(dá)式。

（3）對于（2）中的an,是否存在最小的自然數(shù)M,對一切n∈N*都有an＜M成立?若存在,求出M;若不存在,說明理由。

因此,存在最小的自然數(shù)M=6,對一切n∈N*,都有an＜M成立。

點(diǎn)評:本題通過向量的回路法,轉(zhuǎn)化為已知條件的向量進(jìn)行表示,并通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題。