為數(shù)學(xué)點(diǎn)贊
——名師列析數(shù)學(xué)文化（8）數(shù)列

■北京市教育學(xué)院豐臺(tái)分院 張 琦

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡(jiǎn)介:

張 琦 北京教育學(xué)院豐臺(tái)分院數(shù)學(xué)教研員,骨干教師,中國(guó)教育學(xué)會(huì)輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)教師專業(yè)水平等級(jí)認(rèn)證專家評(píng)委、命題專家。主編《高考復(fù)習(xí)三級(jí)跳》叢書數(shù)學(xué)卷,在全國(guó)知名學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表有影響的論文數(shù)十篇。

高慧明 首屆全國(guó)十佳班主任,全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國(guó)家教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”,全國(guó)著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國(guó)家教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家,受邀在全國(guó)各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多場(chǎng)專題報(bào)告。現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求高中數(shù)學(xué)要將“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”,并進(jìn)一步指出:“在教學(xué)活動(dòng)中,教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程……”同時(shí),課標(biāo)特別指出“在教學(xué)中可以組織學(xué)生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果,特別是我國(guó)古代的優(yōu)秀研究成果,如楊輝三角、《四元玉鑒》等”。

《數(shù)列》這一章的教材中,涉及了很多生活、生產(chǎn)中的數(shù)學(xué)問題。無論在東方還是在西方,古往今來,數(shù)列始終是數(shù)學(xué)研究的重要問題之一,歷史悠久,文化燦爛。

在古代中國(guó),《莊子》中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的說法,而《易經(jīng)》也有云“是故《易》有太極,是生兩儀;兩儀生四象,四象生八卦”,這里都包含了數(shù)列的含義。在西方,傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù),比如他們研究過1,3,6,10,…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形,他們就將其稱為三角形數(shù)（如圖1）。類似地,1,4,9,16,…被稱為正方形數(shù),因?yàn)檫@些數(shù)能夠表示成正方形（如圖2）。

圖1

圖2

在人教版教材高中A版數(shù)學(xué)必修5第2章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題A組中有這樣一道選擇題:

《萊因德紙草書》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。書中有一道這樣的題目:把100個(gè)面包分給5個(gè)人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,問最小的一份為（ ）。

這是一個(gè)“已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n=5,前五項(xiàng)和S=100,以及a+a=（a+a51234+a5）,求a1”的問題。設(shè)公差為d,根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d以及前n項(xiàng)和公式得解。

本題中提到的萊因德紙草書是古埃及人用一種由紙莎草（Papyrus）壓制成的草片集制而成的,最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟,1858年為蘇格蘭收藏家萊因德（H.Rhind）購(gòu)得,因此得名。萊因德紙草書問題40即是:“五人按等差數(shù)列分100片面包,最少的兩份之和是另外三份的七分之一。問:五人各得多少?”紙草書中的解答采用了假設(shè)法進(jìn)行解答,設(shè)最小的一項(xiàng)為1,則以后各項(xiàng)依次為1+d,1+2d,1+3d,1+4d。于是有2+為60,而已知各項(xiàng)之和為100,因此,各項(xiàng)乘會(huì)發(fā)現(xiàn),數(shù)列的歷史悠久,有關(guān)數(shù)列話題古老,阿拉伯、古印度、中國(guó)古代、古希臘等的數(shù)學(xué)歷史中都有數(shù)列的主題,分布廣泛,人類對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)很早,而且這些國(guó)家、地區(qū)對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)也比較深入。下面我們就通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行闡述。

（一）古巴比倫人的數(shù)學(xué)智慧

考古學(xué)研究表明,古巴比倫人當(dāng)時(shí)使用的是特殊的楔形文字,并把文字刻在泥板上曬干,曬干后的泥板變得和石頭一樣堅(jiān)硬,可以長(zhǎng)期保存;但歲月的侵蝕還是使得大部分泥板書消磨破損,保存下來的泥板書數(shù)量遠(yuǎn)不及埃及的紙草書。不過,這并不影響后人對(duì)古巴比倫燦爛文化的全面了解。古巴比倫人對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和記載,也是采用這種獨(dú)特的泥板書,在已經(jīng)挖掘出的50萬塊古巴比倫泥板中,純數(shù)學(xué)泥板有300塊左右。

從這些存世發(fā)掘的數(shù)學(xué)泥板書中人們發(fā)現(xiàn),古巴比倫人不僅早就形成“逢十進(jìn)一”的概念,而且掌握了每隔六十進(jìn)一的計(jì)數(shù)法。古代巴比倫人借助于圖3中的符號(hào),可以表示所有的整數(shù),如圖3所示。

圖3

在德國(guó)柏林博物館收藏的一塊古巴比倫數(shù)學(xué)泥板書上記載了這樣一道題目:兄弟10比倫的重量單位,其中1米那=60賽克爾）的銀子,相鄰的兄弟倆,比如老大和老二、老二和老三……所分銀子的差相等,而且已知老八分到的銀子是6賽克爾,求每人所得的銀子數(shù)量。通俗轉(zhuǎn)化的意思是:“10個(gè)兄弟分100兩銀子,一個(gè)比一個(gè)多,只知道每一級(jí)相差的數(shù)量都一樣,但究竟相差多少不知道,現(xiàn)在第八個(gè)兄弟分到6兩銀子,問每級(jí)間相差多少?！边@是一則涉及等差數(shù)列的問題,古巴比倫人給出的解題方法是如此巧妙簡(jiǎn)便,甚至連小學(xué)生也能理解。

他們的具體解答是:首先,要判斷出10個(gè)兄弟分得的銀子數(shù),從老大到老十要么越來越多,要么越來越少。如果10個(gè)兄弟平均分這100兩銀子,則每人應(yīng)該分到10兩。而現(xiàn)在第八個(gè)兄弟分到了6兩,說明只能是第二種情況,即老大分得多,往下是一個(gè)比一個(gè)少。其次,老大與老十的銀子數(shù)之和=老二與老九的銀子數(shù)之和=老三與老八的銀子數(shù)之和=老四與老七的銀子數(shù)之和=老五與老六的銀子數(shù)之和,這樣100兩銀子就分成了相等的5組,每組為20兩。最后,就從老三與老八的銀子數(shù)之和為20兩入手。由老八的銀子數(shù)6兩,可求出老三的銀子數(shù)為20-6=14（兩）,這就說明,老三比老八多得14-6=8（兩）。而老三與老八相差五級(jí),因此可求得一級(jí)相差d=8÷5=1.6（兩）。

上述問題如果用現(xiàn)在的符號(hào)語言來描述的話,相當(dāng)于已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n=10,和Sn=100,a8=6,求公差。通過分析可以看出,古代巴比倫人已經(jīng)總結(jié)出等差數(shù)列的性質(zhì):am+an=ap+aq（m,n,p,q∈N*,且m+

還有一個(gè)非常有意思的例子,地質(zhì)學(xué)家W.K.勞夫特斯于1854年發(fā)掘出兩塊泥板（稱為森開萊泥板）其中一塊上面刻著一個(gè)數(shù)列,用現(xiàn)代符號(hào)來寫,前七個(gè)數(shù)是1,4,9,16,25,36,49。顯然這是一個(gè)自然數(shù)平方的數(shù)列。49以后自然應(yīng)該是64,81,…。但記載的卻是1·4,1·21,…直到58·1。這一串?dāng)?shù)表示什么?猜測(cè)紛紛。事實(shí)上,這個(gè)問題只有在六十進(jìn)位計(jì)數(shù)制中才能得到妥善的解釋:

1·4=1×60+4=64=8×8;

1·21=1×60+21=81=9×9;

……

58·1=58×60+1=3 481=59×59。

（二）古埃及人的數(shù)學(xué)

古埃及人主要用紙草作為書寫材料,紙草是尼羅河三角洲沼澤地盛產(chǎn)的一種水生植物,把這種草的莖依縱向剖成小薄片,然后壓平曬干使之成為紙卷,可用于書寫。由于埃及地區(qū)氣候干燥,因此有些紙草能幸運(yùn)地保存至今。產(chǎn)生于公元前1700年左右的《莫斯科紙草書》和《萊因德紙草書》（RhindPapyrus）是現(xiàn)在我們研究古埃及數(shù)學(xué)的主要來源。

首先我們來看看《萊因德紙草書》中的一個(gè)例子:10人分10斗玉米,從第二人開始,各人所得依次比前一人少。紙草書上給出的解法是:“取10人所得的平均值,即1;從10中減去1,得9。取差數(shù)的一半,得,再乘以9,得加平均值1,然后依次從各份中減去差數(shù),直到最后一份。”10份依次是:

上述問題如果用現(xiàn)在的符號(hào)語言來描述的話,相當(dāng)于已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n=10,和法顯然具有一般性,用我們的記號(hào)表示,即人已經(jīng)總結(jié)出等差數(shù)列求和公式:Sn=na1+

雖然紙草書中的問題絕大部分是實(shí)用性質(zhì)的,但也有例外,例如《萊茵德紙草書》第79題:“7座房,49只貓,343只老鼠,2 401顆麥穗,1 6807赫卡特?！保ㄈ鐖D4）有人認(rèn)為這是當(dāng)時(shí)的一個(gè)數(shù)謎:7座房子,每座房里養(yǎng)7只貓,每只貓抓7只老鼠,每只老鼠吃7顆麥穗,每顆麥穗可產(chǎn)7赫卡特糧食,問房子、貓、老鼠、麥穗和糧食各數(shù)值總和。也有將房子、貓等解釋為紙草書作者賦予不同冪次的名稱,即房子表示一次冪,貓表示二次冪,老鼠表示三次冪,等等。無論如何,這是一個(gè)沒有任何實(shí)際意義的幾何級(jí)數(shù)求和問題,帶有虛構(gòu)的數(shù)學(xué)游戲性質(zhì)。

到中世紀(jì),意大利斐波那契在1202年發(fā)表了《算盤全書》,書中有這樣一題:有七老婦人同往羅馬,每人有七騾,每騾負(fù)七袋,每袋盛有七個(gè)面包,每個(gè)面包有七小刀隨之,每小刀配有七鞘,問列舉之物全數(shù)共有幾何。顯然都是與上述問題類似的等比數(shù)列的求和問題。

圖4

（三）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)

中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中有著豐富的數(shù)列知識(shí),本文僅對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理。約成書于公元1世紀(jì)的我國(guó)古代最著名的數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》（如圖5）,它是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著,其內(nèi)容十分豐富,對(duì)戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)。

我們就對(duì)《九章算術(shù)》均輸章中的第17題、第19題進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析總結(jié)。

均輸17:今有金棰,長(zhǎng)五尺。斬本一尺,重四斤。斬末一尺,重二斤。問次一尺各重幾何。意思是:五尺長(zhǎng)的金鞭,各尺重量依次成等差數(shù)列,靠根的一尺斬下來稱得重四斤,靠梢的一尺斬下來稱得重二斤。求中間三尺各重多少。

術(shù)曰（后面給的解題方法）:令末重減本重,馀即差率也。又置本重,以四間乘之,為下第一衰。副置,以差率減之,每尺各自為衰。副置下第一衰以為法,以本重四斤遍乘列衰,各自為實(shí)。實(shí)如法得一斤。翻譯成今天的數(shù)學(xué)符號(hào)語言就是:先求差率D=a5-a1,以“間數(shù)”4乘a5作為首項(xiàng),然后從此項(xiàng)中依次減去D,得數(shù)列4a5,4a5-D,4a5-2D,4a5-3D,4a5-4D,再將所得數(shù)列各項(xiàng)同除以首項(xiàng)4a5,又同乘以a5,即得所求數(shù)列的各

圖5

這個(gè)例子告訴我們,《九章算術(shù)》中已經(jīng)有了樸素的等差數(shù)列公差的求法:d=+（n-1）d。

均輸19:今有竹九節(jié),下三節(jié)容四升,上四節(jié)容三升。問中間二節(jié)欲均容,各多少。意思是:有一根竹子,共9節(jié),各節(jié)的容積依次成等差數(shù)列。已知較粗的下3節(jié)共容4升,較瘦的上4節(jié)共容3升。問各節(jié)的容積分別是多少。

術(shù)曰:以下三節(jié)分四升為下率,以上四節(jié)分三升為上率。上下率以少減多,馀為實(shí)。置四節(jié)、三節(jié),各半之,以減九節(jié),馀為法。實(shí)如法得一升,即衰相去也。下率一升少半升者,下第二節(jié)容也。簡(jiǎn)單梳理解法就是:先求,之后可求得公差（“衰四升,所以易得下第二節(jié)的容積。

這個(gè)例子告訴我們,《九章算術(shù)》中已經(jīng)有等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì):2an=an-1+an+1,以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的一條性質(zhì):若等差數(shù)列前m項(xiàng)和為Sm,最后k項(xiàng)和為Sk,則:

在中國(guó)古代,除《九章算術(shù)》以外,《孫子算經(jīng)》（如圖6）也是一部重要的數(shù)學(xué)著作。其成書大約在四、五世紀(jì),也就是大約1500年前,作者生平和編寫年不詳。傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。這里面最著名的一道題目大概就是“雞兔同籠”問題了,今天我們不研究“雞兔同籠”問題,而是看另外一道題目:

圖6

“出門望九堤”:今有出門望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色。問各幾何。

這個(gè)問題是一個(gè)等比數(shù)列的問題,隱含著等比數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1·qn-1的知識(shí)。

在課堂教學(xué)中我們一起去欣賞古今中外的數(shù)學(xué)史料和故事,感受數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,不僅可以增進(jìn)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,而且可以使我們了解到不同文化背景下的數(shù)學(xué)思想,理解數(shù)學(xué)的多元文化。當(dāng)數(shù)學(xué)沿著歷史的臺(tái)階走下神壇時(shí),也揭開了數(shù)學(xué)文化神秘的面紗,真正向我們展示數(shù)學(xué)文化應(yīng)有的人文價(jià)值。