關(guān)注數(shù)學(xué)抽象，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

孫曉華 朱峰

【摘要】“數(shù)的概念”教學(xué)，要緊扣形象和抽象的融合點(diǎn)，以直觀可感的“形”為依托，以形感知，建立表象；以形促思，抽象本質(zhì)；以形建模，發(fā)展數(shù)感，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 抽象 表象 數(shù)感 建模

史寧中教授提出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)在小學(xué)階段，主要是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)模型三個(gè)方面。其中，數(shù)學(xué)抽象是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程?！睌?shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，而數(shù)是對數(shù)量抽象的結(jié)果，數(shù)的關(guān)系則來自于數(shù)量的關(guān)系，因此，數(shù)的概念教學(xué)和數(shù)學(xué)抽象是密切相關(guān)的。筆者以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊“數(shù)的概念”教學(xué)為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^數(shù)學(xué)抽象有效培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、以形感知，建立表象

表象是感性認(rèn)識(shí)的一種高級(jí)形式，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁，是形象思維的基礎(chǔ)。小學(xué)生獲得概念的方式離不開對具體材料的充分感知。所以，我們應(yīng)該提供有效并且足夠豐富的感性材料，讓學(xué)生剔除非本質(zhì)因素，把握數(shù)的本質(zhì)屬性，從而建立正確的表象。

對三年級(jí)學(xué)生而言，對小數(shù)的生活經(jīng)驗(yàn)還遠(yuǎn)未觸及小數(shù)的本質(zhì)，還要進(jìn)一步在已有認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)認(rèn)知。這時(shí)候，形的引入是極其必要的。

（1）喚起生活經(jīng)驗(yàn)：超市購物袋0.1元就是多少錢？這時(shí)候?qū)W生在小數(shù)和整數(shù)之間形成了初步聯(lián)結(jié)：0.1元就是1角。

（2）以正方形為載體，表示出0.1元：如果用1個(gè)正方形表示1元，你能畫一畫、涂一涂表示出0.1元嗎？

這時(shí)候?qū)W生會(huì)出現(xiàn)各種不同的表示方式，教師及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行辨析：有的學(xué)生說圖1不能表示出0.1元，只是大約涂了一塊，沒有平均分，看不出0.1元和1元之間的關(guān)系。有的學(xué)生認(rèn)為圖2平均分的份數(shù)不對，而圖3、圖4都把1元平均分成了10份，表示其中的1份確實(shí)是0.1元。

根據(jù)學(xué)生零零散散的描述，進(jìn)一步追問：從同學(xué)們的評(píng)價(jià)中，聽出了大家的意見，要表示出0.1元，先要平均分，把1元平均分成10份。你們是怎么想到平均分成10份的？

學(xué)生思路漸漸明朗起來：因?yàn)?.1元就是1角，1元=10角，1角就是這10角中的1份，所以要表示出0.1元，得把1元平均分成10份。圖3和圖4雖然平均分的方式不同，但都是把1元平均分成10份，表示這樣的1份，

（3）充允想象：看著涂色部分，還想到了什么？（1/10）

繼而，繼續(xù)用一個(gè)正方形表示1元，在正方形中表示出0.2元、0.3元，并想象0.4元、0.5元……0.9元以及相對應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

在這個(gè)過程中，借助正方形，由“分”“畫”“看”和“想”，充分調(diào)動(dòng)多種感官，厘清了0.1元和1元之間的關(guān)系，把0.1元和1元聯(lián)結(jié)起來。生活事例用數(shù)學(xué)中的形表達(dá)出來，學(xué)生獲得了豐富的直觀感知：零點(diǎn)幾元就表示十分之幾元，十分之幾元可以寫成零點(diǎn)幾元。

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)同樣如此，只有真正動(dòng)手去“圈”“畫”“分”，表示4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)以及更多桃的二分之一、三分之一、六分之一，等等，才能把一個(gè)整體平均分的直觀過程和抽象的分?jǐn)?shù)對應(yīng)起來，建立起清晰的表象，在具體事例和數(shù)學(xué)表象之間架起了橋梁。

二、以形促思。抽象本質(zhì)

數(shù)是符號(hào)，是對數(shù)量抽象結(jié)果的表征，以“形”來進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，是學(xué)生在對概念形成表象的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行概括與提煉、抽象出本質(zhì)內(nèi)涵，并最終實(shí)現(xiàn)符號(hào)化的有效方式。

用正方形來表示1元、1角，把4個(gè)桃、6個(gè)桃平均分，這時(shí)候的形是具體可感且直觀單一的，而抽象概括本身需要大量的事例，在不斷的變式比較中把非本質(zhì)的屬性剔除開來，所以隨之還需呈現(xiàn)變化多樣的形，在不斷凝練和濃縮、逐步升華中抽象出數(shù)的本質(zhì)屬性，

在認(rèn)識(shí)整體的幾分之一時(shí)，可以把4個(gè)桃、6個(gè)桃、8個(gè)桃、16個(gè)桃……100個(gè)桃，平均分成2份、3份、4份，等等，甚至可以出現(xiàn)一堆數(shù)也數(shù)不完的桃，讓學(xué)生來想象平均分的過程，并在描述中把實(shí)物的桃子圖逐步虛化抽象成下圖。

進(jìn)一步借助觀察比較得出：不管有多少個(gè)桃，只要平均分成兩份，每份就是這些桃的二分之一，平均分成三份，就是這些桃的三分之一……并追問：除了可以把一些桃平均分，還可以把什么平均分？隨著學(xué)生的回答：把一些橘子、一些本子、一個(gè)班的同學(xué)、一堆黃沙等平均分時(shí)，這個(gè)虛化的正方形的內(nèi)涵越來越豐厚，最終達(dá)到高度抽象：只要把一個(gè)整體平均分成幾份，每份就是這個(gè)整體的幾分之一。不斷抽象化的圖形和具體事例的逐步抽象相輔相成，最終平均分、平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程與分?jǐn)?shù)這個(gè)高度抽象化的符號(hào)之間形成完美對接。

同樣，在認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，可以用一個(gè)正方形表示1元，如果把正方形壓一壓，就變成了長方形，再壓一壓……最終方方正正的圖形變成了—條細(xì)細(xì)的線段。

教師進(jìn)一步提問：這樣一條線段能表示1元嗎？能表示1角嗎？還能表示什么？啟迪性的問題催生著學(xué)生的思考：這條線段除了可以表示1元，還可以表示1角、1米、1分米，等等。于是在這條線段上，學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識(shí)越來越深入：零點(diǎn)幾米表示十分之幾米，零點(diǎn)幾分米表示十分之幾分米，甚至零點(diǎn)幾角表示十分之幾角……最終得出：這條線段可以表示任何一個(gè)“1”，平均分成10份，依次都能找到0.1、0.2、0.3、0.4……0.9，這時(shí)候具體的1元、1角、1米、1分米等數(shù)量進(jìn)一步被抽象成了數(shù)：任何一個(gè)一位小數(shù)都表示分母是10的分?jǐn)?shù)，分母是10的分?jǐn)?shù)就可以寫成一位小數(shù)。一位小數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵在層層抽絲剝繭后被發(fā)掘出來，并形成0.1、0.2、0.3……0.9的符號(hào)化表達(dá)。

三、以形建模，發(fā)展數(shù)感

數(shù)感歸屬于數(shù)學(xué)抽象，是建立在明確的數(shù)概念和計(jì)算活動(dòng)基礎(chǔ)上的對數(shù)的感悟，良好數(shù)感的建立對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著極其重要的作用。小學(xué)階段數(shù)感的培養(yǎng)同樣離不開數(shù)與形的結(jié)合，從原生狀態(tài)的形到抽象意義的形，借助“形”承載“數(shù)”的實(shí)際意義，逐步建立數(shù)的模型，數(shù)感就是在形與數(shù)之間的穿梭承接中漸漸發(fā)展起來的。

無論是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)還是認(rèn)識(shí)小數(shù)，都需要以形建模，發(fā)展數(shù)感。當(dāng)一個(gè)個(gè)桃子用一個(gè)個(gè)圓形來表示，當(dāng)一堆桃子被抽象成虛化的圖形直至線段：當(dāng)1元用1個(gè)正方形表示，當(dāng)正方形承載更多的具象并不斷變化成長方形、線段，學(xué)生對分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)也隨之層層遞進(jìn)，外在的物理屬性被層層剝離后只剩下簡約的形與數(shù)一一對應(yīng)時(shí)，分?jǐn)?shù)、小數(shù)的模型呼之欲出了。這時(shí)候，教師不能停下腳步，而是要進(jìn)一步引著學(xué)生往下走——

結(jié)合線段圖提問：如果這是直線的一部分，我們把它向右延長，1右邊還有2，2右邊還有誰？3右邊呢？……這時(shí)候你還能找到哪些分?jǐn)?shù)和小數(shù)呢？

然后進(jìn)一步追問：老師也找一個(gè)，1.8，它在哪兒呢？怎么找的？2.6在幾和幾之間？它在2.5的左邊還是右邊？你能找到100.1嗎？在哪兒？

由線段到直線，由線段向右不斷延伸，這條被賦予了方向的直線成了數(shù)學(xué)意義上的數(shù)軸。在教師的連續(xù)追問下，大大小小的分?jǐn)?shù)和小數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，每兩個(gè)整數(shù)之間都能找到9個(gè)一位小數(shù)（即分母是10的分?jǐn)?shù)），0.1（1/10）和1的十進(jìn)制關(guān)系被清楚地展現(xiàn)出來，并且在數(shù)數(shù)找數(shù)的過程中，學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到越往右數(shù)越大，小數(shù)可以很小，也可以很大。數(shù)的大小關(guān)系在數(shù)軸上呈現(xiàn)出來時(shí)，數(shù)的模型便也成功建立，而學(xué)生的數(shù)感也在這個(gè)過程中得到很大程度的發(fā)展。

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)。”無論是本文中提到的符號(hào)意識(shí)還是數(shù)感培養(yǎng)，抑或是其他能力都不是一蹴而就的，正如數(shù)概念的建立不能一次完成一樣，只有遵循小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)不斷建構(gòu)、逐步完善，在系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)中以素養(yǎng)的形成來展開教學(xué)活動(dòng)，那么，學(xué)生終身受用的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)和能力才會(huì)漸次形成。