基于均勻化理論分析磁流變彈性體(MR)磁致剪切模量

， ，，

(1.塔里木大學(xué) 機(jī)械電氣化工程學(xué)院，新疆 阿拉爾 843300； 2.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

1 前 言

磁流變彈性體(MR彈性體)是一種新型智能材料，在外磁場(chǎng)作用下力學(xué)性能會(huì)顯著增強(qiáng)[1]，對(duì)這類效應(yīng)開展研究已成為關(guān)注的重點(diǎn)[2]。在對(duì)磁流變彈性體各項(xiàng)性能的研究中，磁流變彈性體的剪切力學(xué)性能，特別是垂直于鐵磁顆粒形成鏈方向的剪切方向的力學(xué)性能，一直都是研究的焦點(diǎn)[3]。

磁流變彈性體磁致剪切模量的理論預(yù)測(cè)，通常選用磁偶極子理論[4-5]。磁偶極子理論，即在外加磁場(chǎng)作用下，將每一個(gè)磁化的鐵磁顆粒都當(dāng)做一個(gè)單獨(dú)的磁偶極子來(lái)處理；之后計(jì)算在外磁場(chǎng)作用下鐵磁顆粒間的相互作用能和磁能密度，進(jìn)一步處理后就可得到外場(chǎng)作用下同一條鏈上鐵磁顆粒間的相互作用[6-8]。Furst與Gast[9]在計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，充分考慮了同一條鏈上鐵磁顆粒間的相互作用，使得計(jì)算得到的磁場(chǎng)強(qiáng)度大為精確，最后通過(guò)能量變分求得磁致剪切模量。Shen等人[10]在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善了此磁偶極子耦合模型，較為精細(xì)地預(yù)測(cè)了磁致剪切模量。以上這些人都是在磁偶極子模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究。但磁偶極子模型在推導(dǎo)過(guò)程中，沒(méi)有考慮基體材料性能、基體變形能與顆粒磁能間相互作用等因素；且對(duì)于顆粒間距很小的情況，磁偶極子模型也沒(méi)有考慮到顆粒非線性磁化、磁偶極子與外場(chǎng)的關(guān)系等問(wèn)題[11]。

故此，需在研究磁流變彈性體的磁致剪切模量之前，先對(duì)在外加磁場(chǎng)作用下磁流變彈性體內(nèi)磁場(chǎng)的分布進(jìn)行深入研究。對(duì)磁流變彈性體內(nèi)磁場(chǎng)的求解可選取多種算法，其中運(yùn)用最廣泛的就是均勻化理論?；诰鶆蚧碚摰闹饕惴ㄓ校篗axwell推測(cè)法[12]、Rayleigh-Lam推測(cè)法[13-14]、Hashin-Shtrikman邊界法等[15]。Yin等[16-17]在Mura[18]等人的細(xì)觀力學(xué)研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用均勻化理論計(jì)算磁流變彈性體內(nèi)顆粒與基體上的平均的磁場(chǎng)分布。運(yùn)用這種方法計(jì)算出來(lái)的磁場(chǎng)，在考慮鐵磁顆粒間相互作用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到顆粒與基體之間磁場(chǎng)的相互影響，對(duì)研究磁流變彈性體內(nèi)的磁致力學(xué)性能有重要意義。但由于在求解過(guò)程中進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化與近似，故所得到的磁場(chǎng)分布與實(shí)際情況存在一定的差距。

本研究運(yùn)用均勻化理論計(jì)算在外加磁場(chǎng)作用下磁流變彈性體內(nèi)顆粒與基體的磁場(chǎng)分布，并求解磁流變彈性體內(nèi)的各種能量密度，之后再分析含有鏈狀結(jié)構(gòu)的磁流變彈性體的磁致剪切模量。最后將計(jì)算結(jié)果與偶極子方法在相同條件下得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并將兩者間的差異進(jìn)行分析、總結(jié)。

2 基于均勻化理論計(jì)算基體與顆粒磁場(chǎng)相互作用下的磁致剪切模量

2.1 基于均勻化理論計(jì)算磁流變彈性體內(nèi)基體和顆粒相互作用下的磁場(chǎng)分布

(1)

(2)

(3)

將(1)、(2)、(3)三式聯(lián)立，可得磁流變彈性體內(nèi)的顆粒平均場(chǎng)與基體平均場(chǎng)分別為：

(4)

(5)

(6)

則β變?yōu)棣隆洌?/p>

圖1 (a)加剪力前、(b)加剪力后磁流變彈性體內(nèi)鐵磁顆粒鏈的變化Fig.1 Variation of ferromagnetic particle chains in magnetorheological elastomers before shear stress imposed (a) and after shear stress imposed (b)

圖2 磁流變彈性體內(nèi)剪應(yīng)變與鐵磁顆粒的關(guān)系圖Fig.2 Relationship between shear strain and ferromagnetic particle in magnetorheological elastomer

(7)

此時(shí)整體的磁場(chǎng)分布為：

(8)

(9)

2.2 基于均勻化理論計(jì)算磁流變彈性體內(nèi)的磁致剪切模量

在單一方向均勻磁化作用下，可忽略磁疇內(nèi)的交換能與磁晶各向異性能。由于選取的材料不是磁致伸縮材料，故認(rèn)為磁致伸縮效應(yīng)的影響遠(yuǎn)小于磁致剪切效應(yīng)的影響，從而又可以忽略磁晶應(yīng)變能。此時(shí)顆粒內(nèi)總的磁能密度為靜磁能，設(shè)為ωα：

(10)

(11)

設(shè)磁流變彈性體內(nèi)整體的平均磁能密度為ω，則有：

(12)

設(shè)磁流變彈性體內(nèi)整體的平均磁致剪切模量為ΔG。在均勻材料內(nèi)，假設(shè)只有剪應(yīng)變，則磁致剪切模量可表示為磁能密度對(duì)剪應(yīng)變的二階導(dǎo)。故平均磁致剪切模量ΔG為：

(13)

(14)

(15)

(16)

3 均勻化方法、磁偶極子理論各自算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比及分析

圖3 不同方法獲得的相對(duì)磁致剪切模量與顆粒體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系(a) 磁偶極子法; (b) 均勻化方法Fig.3 Curves of relative magnetic shear modulus and particle volume fraction obtained by different methods (a) magnetic dipole method; (b) homogenization method

圖3為在磁導(dǎo)率μ分別為μ=102、μ=103、μ=104、μ=105時(shí)，相對(duì)磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2與顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的關(guān)系圖，這是由于磁流變彈性體中的顆粒為鐵磁顆粒，而鐵磁體的磁導(dǎo)率一般在102～105之間。由圖3(a)可知，采用磁偶極子方法獲得的相對(duì)磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的增加而持續(xù)增加，且四種磁導(dǎo)率下對(duì)應(yīng)的四條相對(duì)磁致剪切模量與顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的關(guān)系曲線重合為一條曲線。由圖3(b)可知，基于均勻化理論獲得的相對(duì)磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，最后趨于穩(wěn)定，且四種磁導(dǎo)率下對(duì)應(yīng)的磁致剪切模量與顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的關(guān)系曲線的變化趨勢(shì)一致。

對(duì)比圖3(a)與圖3(b)可知，其共同之處為：在不同顆粒磁導(dǎo)率μ作用下，各曲線間的相對(duì)磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2變化不大；當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)φ≤30%時(shí)，兩者的相對(duì)磁致剪切模量都隨顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的增加而增大。兩者的不同之處：當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)φ≥30%時(shí)，磁偶極子方法獲得相對(duì)的磁致剪切模量持續(xù)增大，而均勻化方法獲得相對(duì)的磁致剪切模量出現(xiàn)拐點(diǎn)，具有最大值，且兩者在數(shù)值上相差較大。

圖4 不同方法獲得的磁致剪切模量與磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)系曲線Fig.4 Curves of magnetic shear modulus and magnetic flux density obtained by different methods: magnetic dipole method, homogenization method and experiment method

M.Lokander[20]使用丁腈橡膠作為基體，微米級(jí)不規(guī)則形狀的純鐵顆粒作為填充顆粒，在無(wú)場(chǎng)條件下，制備含不同體積分?jǐn)?shù)純鐵顆粒的磁流變彈性體試樣。之后測(cè)試在磁飽和狀態(tài)(0.8T)下，含不同體積分?jǐn)?shù)磁流變彈性體試樣的磁致剪切模量。依據(jù)實(shí)驗(yàn)，在B=0.8T,μ=103，γ=0.1條件下，獲得ΔG%～φ的曲線圖(ΔG%為磁致剪切模量ΔG和基體剪切模量G的比值，試驗(yàn)中認(rèn)為基體剪切模量G為常數(shù)，取G=12MPa)。如圖5所示，磁偶極子方法所得ΔG%隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的增大而持續(xù)增加，并在φ=30%之后大于實(shí)驗(yàn)值，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較差；而基于均勻化方法所得ΔG%隨著顆粒體積分?jǐn)?shù)φ的增大而增大，并在φ=30%處達(dá)到最大值，且與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為接近。當(dāng)φ≥30%時(shí)，ΔG%明顯小于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這是由于顆粒體積分?jǐn)?shù)φ≥30%時(shí)，不同鐵磁顆粒鏈之間的間距會(huì)減小，需要考慮不同顆粒鏈間相互作用的影響，而文中只考慮了同一條顆粒鏈間的作用。

圖5 不同方法獲得的磁致剪切模量與顆粒體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系曲線Fig.5 Curves of magnetic shear modulus and particle volume fraction obtained by different methods: magnetic dipole method, homogenization method and experiment method

磁流變彈性體的磁場(chǎng)分布，除鐵磁顆粒間的相互作用外，還需考慮顆粒與基體之間磁場(chǎng)的相互影響。本文基于均勻化理論計(jì)算磁流變彈性體的磁致剪切模量，并與磁偶極子模型在相同條件下計(jì)算出來(lái)的結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。具體結(jié)論如下：

1.由圖3可知，磁流變彈性體中的填充物為鐵磁顆粒時(shí)，顆粒磁導(dǎo)率的變化對(duì)磁致剪切模量的影響不大。

2.當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)小于 30%時(shí)，均勻化方法與磁偶極子理論兩者得到的磁致剪切模量都隨顆粒體積分?jǐn)?shù)的增加而增大，且兩者的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都比較接近。

3.當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)增加到30%時(shí)，基于均勻化理論得到的磁致剪切模量出現(xiàn)最大值，其整體變化規(guī)律與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，可以預(yù)測(cè)磁致剪切模量最大時(shí)的顆粒體積分?jǐn)?shù)。

4.基于磁偶極子理論計(jì)算的磁致剪切模量隨顆粒體積分?jǐn)?shù)的增加而持續(xù)增加，不會(huì)出現(xiàn)最大值，且當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)大于 30%時(shí)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度較差。