雙SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及奇異性分析

申浩宇，劉艷梨，吳洪濤

（1.陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710300；2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

0 引言

當(dāng)前，機(jī)器人技術(shù)在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。其中，并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)具備著特有的高精度，高剛度，高承載力，自重負(fù)荷小等多方面優(yōu)點(diǎn)，自問(wèn)世以來(lái)，就引起了極大的關(guān)注。近些年，有關(guān)并聯(lián)機(jī)器人的研究熱潮更是被不斷地掀起[1～3]。

伴隨著研究的深入，并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型越來(lái)越多。在種種并聯(lián)機(jī)器人的構(gòu)型中，平面五桿機(jī)構(gòu)的機(jī)械結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，并且運(yùn)動(dòng)學(xué)分析難度較低。在一些特定的工業(yè)場(chǎng)合，例如涉及到大量微小零部件的裝配作業(yè)，平面五桿機(jī)構(gòu)便于控制，重復(fù)定位能力高，成本低等方面的優(yōu)勢(shì)能夠被更為明顯的體現(xiàn)出來(lái)[4～8]。因此，以平面五桿機(jī)構(gòu)為基本構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)器人的研究受到了越來(lái)越多研究人員的關(guān)注[9～11]。例如，由三菱電機(jī)公司開發(fā)的RP-AH系列“雙SCARA”機(jī)器人已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)業(yè)化和商業(yè)化，由加拿大ETS學(xué)院開發(fā)的DexTAR機(jī)器人也非常適用于裝配金屬球等小零件的作業(yè)[12,13]。伴隨著技術(shù)的不斷完善和發(fā)展，該平面并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)必然會(huì)被更為廣泛地應(yīng)用在工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)領(lǐng)域中。

并聯(lián)機(jī)器人的奇異性分析是一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，尤其在機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中占有非常重要的地位。當(dāng)機(jī)器人處于奇異位形時(shí)，會(huì)減少或增加一個(gè)或多個(gè)自由度，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀況會(huì)因此受到很大的影響。因此，奇異性分析在并聯(lián)機(jī)器人的研究中十分重要，可為機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供必要的依據(jù)。

本文在平面五桿機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了一種新型的雙SCARA機(jī)器人。針對(duì)該機(jī)器人，進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，得到了正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析解, 進(jìn)一步獲得了關(guān)節(jié)速度向量和末端速度向量之間的兩個(gè)雅可比矩陣。然后,在給定幾何參數(shù)的前提下，根據(jù)機(jī)器人雅可比矩陣的行列式對(duì)該平面并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了奇異性分析，利用關(guān)節(jié)變量得到了反映機(jī)器人奇異位形的奇異性曲面。

1 雙SCARA機(jī)器人結(jié)構(gòu)

圖1 雙SCARA機(jī)器人的CAD模型

雙SCARA機(jī)器人的結(jié)構(gòu)如圖1所示，由4個(gè)連桿及其支架，三個(gè)電機(jī)及末端手爪組成，連桿之間，連桿與支架之間均為旋轉(zhuǎn)副連接。該機(jī)器人有三個(gè)自由度，可以實(shí)現(xiàn)平面上沿著兩個(gè)坐標(biāo)軸（X軸、Y軸）方向上的平動(dòng)和繞著一個(gè)坐標(biāo)軸（Z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)。需要指出的是，X-Y平面內(nèi)的平動(dòng)是由該機(jī)器人機(jī)構(gòu)中的平面五桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而末端抓手的轉(zhuǎn)動(dòng)則是由軸3，通過(guò)安裝在連桿4上的一個(gè)電機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

2 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

在正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，即是給定機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量，求解出機(jī)器人末端的位置和姿態(tài)。對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人而言，通常情況下，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解與反向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解相比，難度更大。但是對(duì)于本文中提到的雙SCARA并聯(lián)機(jī)器人，由于其比較簡(jiǎn)單的機(jī)械結(jié)構(gòu)，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解可以通過(guò)解析的形式表達(dá)出來(lái)。

機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示，Oi表示連桿在支架上的固定點(diǎn)，Li表示連桿i的長(zhǎng)度，θi表示關(guān)節(jié)i的旋轉(zhuǎn)角度。機(jī)器人末端的位置和姿態(tài)由X=[XD，YD，α]來(lái)表示，關(guān)節(jié)變量由θ=[θ1，θ2，θ3]來(lái)表示。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問(wèn)題，即是給定關(guān)節(jié)變量θi，求解X=[XD，YD，α]。

圖2 雙SCARA機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)圖

通過(guò)圖2，可以得到以下的推導(dǎo)內(nèi)容。

機(jī)器人末端的位置D點(diǎn)的坐標(biāo)為：

其中：

兩個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)A和B的位置坐標(biāo)可以通過(guò)關(guān)節(jié)變量θi表示為以下形式：

式(1)中，變量1δ由下式給定：

其中：

式(3)中的符號(hào)“±”表示機(jī)器人的兩種工作模式，從而該機(jī)器人擁有兩組正解，最后，機(jī)器人末端的姿態(tài)角α可以由下式給定：

此處：

式(1)和式(6)即為雙SCARA機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

3 基于雅克比矩陣的奇異性分析

根據(jù)Gosselin和Angeles提出的奇異性分析方法，由并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，該機(jī)器人的關(guān)節(jié)輸入向量和末端輸出向量之間存在著是一個(gè)非線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束關(guān)系：

在本文案例中，上式是一個(gè)三維方程，式(8)對(duì)時(shí)間進(jìn)行一階求導(dǎo)，即可得到輸入速度向量和輸出速度向量之間的關(guān)系：

此處，Jx和Jθ均是三維的雅克比矩陣。當(dāng)矩陣Jx和Jθ的發(fā)生奇異時(shí)，機(jī)器人處于奇異位形。在對(duì)Jx和Jθ進(jìn)行奇異性分析的基礎(chǔ)上，可以把并聯(lián)機(jī)器人的奇異位形分為三類：

第一類奇異：稱為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異, 顧名思義，即當(dāng)det(Jθ)=0時(shí)的奇異性。此時(shí)Jθ奇異，并聯(lián)機(jī)構(gòu)失去至少一個(gè)自由度。這種奇異位形發(fā)生在機(jī)構(gòu)的工作空間邊界，也稱為邊界奇異。

第二類奇異：稱為正運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異。即當(dāng)det(Jx)=0的奇異性。此時(shí)Jx奇異，當(dāng)所有的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)無(wú)輸入時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端依然可產(chǎn)生微小運(yùn)動(dòng)。從而，并聯(lián)機(jī)構(gòu)至少獲得了一個(gè)自由度。

第三類奇異：稱為綜合奇異。當(dāng)Jx和Jθ行列式同時(shí)為零時(shí)的奇異性。此時(shí)，所有關(guān)節(jié)均無(wú)輸入時(shí)，末端還能產(chǎn)生微小運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)所有的關(guān)節(jié)均有輸入時(shí)，末端可以依然靜止。

4 雅克比矩陣的建立

將該雙SCARA機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程改為式(8)所示的形式：

對(duì)式(10)進(jìn)行一階求導(dǎo)，得到式(9)的形式：

此處：

在給定機(jī)器人各個(gè)連桿的幾何參數(shù)的前提下通過(guò)雅克比矩陣Jθ和Jx行列式的值得表達(dá)式，即可得到使得雅克比矩陣行列式值為0的奇異位形曲面。

5 算例分析

取雙SCARA機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)：L1=L2=L3=L4=L5=1m，L6=1.5m。三個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍均為：0≤θ1，θ2，θ3≤2π。在Mathematics 9.0的軟件環(huán)境下編寫了程序，對(duì)矩陣Jθ和矩陣Jx的行列式值為零的曲面進(jìn)行了繪制，三個(gè)關(guān)節(jié)角使得矩陣Jθ的行列式值為零的變化曲面如圖3所示，三個(gè)關(guān)節(jié)角使得矩陣Jx的行列式值為零的變化曲面如圖4所示。

圖3 det(Jθ)為0時(shí)的三個(gè)關(guān)節(jié)角的變化曲面

圖4 det(Jx)為0時(shí)的三個(gè)關(guān)節(jié)角的變化曲面

當(dāng)關(guān)節(jié)角θ1，θ2，θ3的取值位于圖3所示曲面上時(shí)，det(Jθ)為0，雙SCARA機(jī)器人處于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異位形。當(dāng)關(guān)節(jié)角θ1，θ2，θ3的取值位于圖3所示曲面上時(shí)，det(Jx)為0，雙SCARA機(jī)器人處于正運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異位形。當(dāng)三個(gè)關(guān)節(jié)角的取值位于圖3和圖4曲面的相交面上時(shí)，即det(Jθ)和det(Jx)同時(shí)為0，此時(shí)，機(jī)器人處于綜合奇異位形。

6 結(jié)論

針對(duì)提出的雙SCARA并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，進(jìn)行了正向運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及雅克比矩陣的建立。利用雅克比矩陣的行列式值，對(duì)其奇異位形進(jìn)行了分類。最后，在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)的情況下，針對(duì)一個(gè)仿真案例，在Mathematic9.0中編制了奇異曲面繪制程序，繪制了該雙SCARA并聯(lián)機(jī)器人的奇異性曲面。通過(guò)該方法，可以在雙SCARA并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)過(guò)程中，及時(shí)對(duì)給定結(jié)構(gòu)參數(shù)下的機(jī)器人奇異位形進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃和工作空間優(yōu)化提供了依據(jù)。