基于觀測器的線性離散信息融合預(yù)見控制算法

高春雷 趙 賓,2 胡 洲

1.南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院，南京211156 2. 南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京211106 3. 四川航天系統(tǒng)工程研究所，成都 610100

最優(yōu)控制的二次型性能指標(biāo)函數(shù)中通常包含期望軌跡和控制能量的軟約束信息，信息融合預(yù)見控制算法通過融合這些軟約束信息以及系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的硬約束信息，獲得協(xié)狀態(tài)和控制量的最優(yōu)估計。文獻[1～5]利用信息融合估計方法求解線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。文獻[6]針對期望軌跡和干擾可預(yù)見的最優(yōu)跟蹤問題，提出了一種基于誤差系統(tǒng)的信息融合最優(yōu)控制方法。文獻[7]設(shè)計了欠驅(qū)動垂直起降飛行器懸停模式下的非線性信息融合控制方法，具有良好的控制效果和解耦性能。

信息融合控制算法本質(zhì)上是一種基于狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制方法，在利用該算法構(gòu)建控制系統(tǒng)時需要引入全狀態(tài)反饋。但在實際工程中，如吊車控制系統(tǒng)[8]、水面船舶控制系統(tǒng)[9]等的部分狀態(tài)變量無法直接測量得到，導(dǎo)致以上方法在實際應(yīng)用中都存在不同程度的局限性。針對這一問題，本文提出了基于觀測器的線性離散信息融合預(yù)見控制算法，證明了在該算法中運用觀測器設(shè)計狀態(tài)反饋仍然具有分離特性。

1 線性非時變離散系統(tǒng)的可控可觀性

線性非時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程式為：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(1)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

(2)

考慮狀態(tài)反饋：u(k)=-Kx(k)+v(k)，則在此反饋作用下，閉環(huán)系統(tǒng)為：

x(k+1)=(A-BK)x(k)+Bv(k)

(3)

針對系統(tǒng)(1)、(2)構(gòu)造系統(tǒng)的觀測器，即：

(4)

式中，x(k)是系統(tǒng)的n維狀態(tài)；u(k)是m維輸入；y(k)是實際系統(tǒng)的p維輸出，k為離散時間；A,B,C,D為適當(dāng)維度的常數(shù)矩陣；x(0)為系統(tǒng)初始狀態(tài)，x(0)=x0。

引理1 對于式(1)和(2)所組成的線性非時變離散系統(tǒng)，若A為非奇異，則此系統(tǒng)用狀態(tài)反饋(3)時能任意配置極點的充要條件是(A,B)能控，即rankU=rank[B,AB,…,An-1B]=n。如果A為奇異，則此僅為能控的充分條件[10]。

引理2 對于系統(tǒng)(1)和(2)，若A為非奇異，狀態(tài)觀測器(4)存在的充要條件是(A,C)能觀，即rankU=rank[C,ATCT,…,(An-1)TCT]T=n。如果A為奇異，則此僅為能觀的充分條件[10]。

2 線性離散信息融合預(yù)見控制算法

對于系統(tǒng)(1)和(2)，假設(shè)y*(k)表示p維期望輸出向量。提出如下控制問題：求取某一控制律,使系統(tǒng)實際輸出y(k)跟蹤期望輸出y*(k)，并使得性能指標(biāo)函數(shù)

(5)

取值最小。式中，信息權(quán)重矩陣Q(k+1)∈Rp×p，R(k)∈Rm×m為對稱正定陣[6]。控制量u(k)的最優(yōu)融合估計為：

(6)

(7)

(8)

帶觀測器的信息融合預(yù)見控制系統(tǒng)框圖如圖1。

圖1 帶觀測器的信息融合預(yù)見控制系統(tǒng)框圖

3 狀態(tài)觀測器設(shè)計

假設(shè)系統(tǒng)(1)和(2)可觀，構(gòu)造觀測器：

(9)

選擇“反饋增益矩陣”G，使(4)穩(wěn)定，即使A-GC的特征根全部在單位圓內(nèi)。由此可得：

(10)

由于A-GC的特征根全部在單位圓內(nèi)，所以式(5)穩(wěn)定，即有：

(11)

(12)

對于連續(xù)系統(tǒng)配置極點，極點越往左方遠離虛軸，則系統(tǒng)越穩(wěn)定，回到平衡位置的速度也越快。而對于離散系統(tǒng)，需要將極點配置在單位圓內(nèi)，極點越靠近原點越穩(wěn)定。通常將離散系統(tǒng)的所有極點直接配置在原點，以使所有狀態(tài)估計值達到最快的收斂速度。

e(z)=zn+an-1zn-1+…+a1z+a0

(13)

由式(6)容易看出，該控制量的求取表達式是一個關(guān)于x(k)的全狀態(tài)閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，由于本文所討論的是基于觀測器設(shè)計閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，則式(6)可變?yōu)?/p>

(14)

(15)

其中，y(k)為系統(tǒng)的輸出信息，在實際系統(tǒng)中，即為傳感器的量測信息。

4 分離特性證明

定理1 對于形如式(1)和(2)所表示線性離散信息融合預(yù)見控制系統(tǒng)，構(gòu)造如式(4)所示的觀測器，分離特性仍然成立。對于如式(6)所示的閉環(huán)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，其反饋狀態(tài)由觀測器估計狀態(tài)替代后，仍然保留系統(tǒng)原有的性質(zhì)。

證 由式(6)可表示為

可得：

(16)

又由

y(k)=Cx(k)

(17)

將式(16)和(17)代入式(15)中，可得：

(18)

將式(16)代入式(1)中，可得：

(19)

結(jié)合式(18)和(19)，可得到增廣系統(tǒng)方程如下：

(20)

(21)

式(21)表明，整個系統(tǒng)的特征多項式分別由(A-BK)和(A-GC)的特征多項式的乘積構(gòu)成。因此，觀測器的引入不影響由信息融合預(yù)見控制算法所配置的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征值λ(A-BK)，而狀態(tài)反饋也不影響觀測器的特征值λ(A-GC)。由此可以得出，連續(xù)線性系統(tǒng)具有的分離特性，在線性離散信息融合預(yù)見控制系統(tǒng)中同樣成立。證畢。

5 仿真實驗

為了驗證在信息融合控制中運用觀測器的有效性，本小節(jié)通過吊車這一實際系統(tǒng)進行仿真實驗。為了避免被控對象過于復(fù)雜，下面考慮一個典型的一維吊車系統(tǒng)的“擺動抑制控制問題”。根據(jù)文獻[8,11]，一維吊車系統(tǒng)的線性化動力學(xué)模型表示如下：

輸出方程中包含小車的運動位置和負載的擺角，構(gòu)造輸出方程如下：

假設(shè)觀測方程即為輸出方程，小車的運動位置和負載擺角可直接測量。系統(tǒng)完全可觀測，即：rankU=rank[C,ATCT,…,(A4-1)TCT]T=4，則存在：

使得A-GC的特征多項式(式13)為zn，代入A、C及相關(guān)的參數(shù)后求得：

為了清楚展現(xiàn)估計狀態(tài)的收斂過程，圖2～圖5的仿真時間取為2s。從上面的4個圖中可以看出，雖然仿真前僅假設(shè)了x2和x4的觀測值包含初始誤差，但在實際估計過程中，x1和x3的觀測值也包含了誤差。這是因為本文所采用的仿真模型是一個欠驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個狀態(tài)間存在嚴重耦合，所以導(dǎo)致在估計的過程中x1和x3的觀測值與真實值也會有所偏差，不過，這4個狀態(tài)的觀測誤差在經(jīng)過4步估計后就收斂到0了。

圖2 吊車位置估計誤差

圖3 吊車速度估計誤差

圖4 負載擺動角度估計誤差

圖5 負載擺動角速度估計誤差

圖6為吊車系統(tǒng)的小車位置跟蹤和負載擺角跟蹤誤差曲線，由仿真結(jié)果可以看出在負載吊運過程中，吊車系統(tǒng)在5s左右同時實現(xiàn)了小車位置跟蹤和擺角抑制。本文所采用的仿真對象模型及參數(shù)與文獻[8]基本相同，文獻[8]采用了部分反饋線性化方法，最后的仿真結(jié)果是吊車系統(tǒng)在7s左右同時實現(xiàn)了小車位置的跟蹤和負載擺動的抑制。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，本文所采用的方法具有更好的控制效果。

圖6 小車位置和負載擺角的跟蹤誤差

6 結(jié)論

針對線性離散信息融合預(yù)見控制算法在實際應(yīng)用中難以實現(xiàn)全狀態(tài)反饋的問題，提出了一種基于離散觀測器構(gòu)建其全狀態(tài)反饋的方法，并證明了對于利用觀測器設(shè)計的線性離散信息融合預(yù)見反饋控制系統(tǒng)，分離特性仍然成立，在觀測器的估計初值有誤差的情況下，最多經(jīng)過n步估計(n為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù))，觀測誤差就可以收斂到0。