Huber-based濾波在非合作航天器相對(duì)導(dǎo)航中的應(yīng)用

施常勇 王 向

1. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109 2. 上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109

非合作航天器相對(duì)導(dǎo)航是完成在軌服務(wù)的前提，主要航天大國(guó)均開展了相關(guān)研究。在對(duì)非合作航天器的測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量設(shè)備的誤差通常較大，角閃爍、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等一些不確定因素也會(huì)對(duì)測(cè)量產(chǎn)生影響，為提高相對(duì)控制的精度，一般引入濾波處理。

目前，擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)是研究相對(duì)導(dǎo)航問題的主要手段，文獻(xiàn)[1]和[2]均采用EKF作為導(dǎo)航濾波器，且在文中假設(shè)噪聲輸入為嚴(yán)格的高斯過(guò)程，然而實(shí)際問題常常不滿足這一條件，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散。對(duì)于存在非高斯噪聲輸入的系統(tǒng)，通常采用的濾波方法有UKF濾波[3]、H∞濾波[4]、L2/L∞濾波和L1濾波[5]等。1964年Huber 提出了廣義極大似然估計(jì)，即M估計(jì)，并提出一種用于解決在Gaussian分布附近存在一定對(duì)稱干擾的隨機(jī)量(即混合高斯分布)問題的實(shí)用方法，即Huber方法[6]。該方法結(jié)合l1/l2兩種范數(shù)構(gòu)建代價(jià)函數(shù)，對(duì)于干擾為高斯分布的情形，可以使最大漸進(jìn)估計(jì)方差達(dá)到最?。黄漪敯粜詢?yōu)于基于l2范數(shù)的估計(jì)方法，盡量保持了純高斯分布時(shí)l2范數(shù)的估計(jì)效率，同時(shí)結(jié)合Kalman濾波的優(yōu)點(diǎn)，形成了Huber-based濾波(HBF)，該濾波器通過(guò)結(jié)合l1和l2范數(shù)估計(jì)器的特點(diǎn)，在處理對(duì)于量測(cè)噪聲為受污染的高斯白噪聲時(shí)具有較強(qiáng)的魯棒性，能夠很好地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。

本文將HBF應(yīng)用于非合作航天器相對(duì)導(dǎo)航中。仿真研究針對(duì)輸出噪聲為高斯和混合高斯分布的情況，考慮目標(biāo)存在機(jī)動(dòng)過(guò)程，對(duì)比了HBF濾波與EKF濾波的性能。具體安排如下：第1節(jié)，簡(jiǎn)要介紹HBF算法；第2節(jié)，給出相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)模型；第3節(jié)，針對(duì)不同工況進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真校驗(yàn)；第4節(jié)，對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

1 Huber-based濾波器

設(shè)系統(tǒng)方程為：

(1)

其中，x和z分別為狀態(tài)值和量測(cè)量;ω和ν分別為系統(tǒng)模型誤差和測(cè)量噪聲。

1.1 狀態(tài)預(yù)測(cè)

(2)

(3)

(4)

Fk=?f(x,u,ω)/?x|x=xk

(5)

其中,Φk/k-1為離散系統(tǒng)一步轉(zhuǎn)移矩陣;T為濾波周期;xk+1|k和Pk+1|k為預(yù)測(cè)狀態(tài)估計(jì)值和狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣。

1.2 測(cè)量更新

(6)

系統(tǒng)測(cè)量矩陣離散化后可寫成如下形式：

(7)

定義如下變量：

則：

yk=Mkxk+ξk

(8)

求解式(8)可采用線性回歸近似的Huber方法，定義代價(jià)函數(shù)ρ(·)，取其最小值， Huber代價(jià)函數(shù)定義如下：

(9)

(10)

(11)

求解上式可通過(guò)迭代解法：

(12)

(13)

Huber定義了一種代價(jià)函數(shù)的形式：

(14)

γ為調(diào)節(jié)參數(shù)，這種代價(jià)函數(shù)結(jié)合了l1，l2范數(shù)的性質(zhì)，具有較好的魯棒性，其中γ在1～2 之間取值，一般選擇調(diào)節(jié)因子為1.345[7-8]，Huber已證明，當(dāng)ρ(·)函數(shù)選擇式( 14) 的形式，選取該調(diào)節(jié)因子，HBF對(duì)受污染的高斯分布具有漸近最優(yōu)魯棒性。

狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣為

(15)

Xk+1=Xk+Ek

(16)

(17)

式中，Λ為待求矩陣。

2 相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)

相對(duì)導(dǎo)航中，兩航天器的關(guān)系如圖1所示。

圖1 相對(duì)導(dǎo)航坐標(biāo)系

設(shè)跟蹤航天器相對(duì)J2000慣性系的位置矢量為ro；目標(biāo)航天器相對(duì)J2000慣性系的位置矢量為rt；目標(biāo)航天器相對(duì)跟蹤航天器的位置矢量為ρ。

1)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[12]

(18)

其中，n為跟蹤航天器軌道角速度；fx，fy和fz為軌道調(diào)整或變軌過(guò)程中控制力引起的加速度，可以通過(guò)加速度計(jì)測(cè)量得到；ωx，ωy和ωz為干擾加速度，主要由方程推導(dǎo)過(guò)程中的近似處理以及各種攝動(dòng)加速度引起，用白噪聲近似。將式(18)寫成矩陣形式為：

(19)

2)相對(duì)測(cè)量設(shè)備測(cè)量量定義

相對(duì)導(dǎo)航常用的測(cè)量設(shè)備有微波雷達(dá)和激光雷達(dá)、光學(xué)相機(jī)與激光組合測(cè)量系統(tǒng)等，輸出形式如圖2所示。

圖2 相對(duì)測(cè)量設(shè)備輸出定義

ρ為目標(biāo)星相對(duì)于追蹤星的視線距離；

臨床教學(xué)重視理論、實(shí)踐相結(jié)合，教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題的能力，學(xué)習(xí)疾病基礎(chǔ)知識(shí)。因婦產(chǎn)科學(xué)實(shí)踐性和理論性較強(qiáng)，婦產(chǎn)科患者疾病涉及隱私部位，患者自我保護(hù)意識(shí)較強(qiáng)，普遍存在讓抗拒帶教學(xué)生進(jìn)行檢查現(xiàn)象，加大治療難度[7]。傳統(tǒng)教學(xué)模式學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性下降，重復(fù)學(xué)習(xí)情況嚴(yán)重，學(xué)生探究性不強(qiáng)；老師教授什么知識(shí)就學(xué)什么，學(xué)習(xí)較為隨意，沒有意識(shí)到婦產(chǎn)科學(xué)學(xué)習(xí)的重要性；傳統(tǒng)教學(xué)模式也是以老師為主的“填鴨式”教學(xué)，老師為主導(dǎo)，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)，獨(dú)立學(xué)習(xí)意識(shí)和思考意識(shí)缺乏。該種教學(xué)方式培養(yǎng)出的醫(yī)師已經(jīng)不能適應(yīng)多變的臨床情況和復(fù)雜的醫(yī)療環(huán)境，可能出現(xiàn)診斷失誤或其他醫(yī)療事故，嚴(yán)重威脅患者安全[8]。

α為目標(biāo)星在追蹤星相對(duì)導(dǎo)航敏感器測(cè)量坐標(biāo)系中的方位角，定義為目標(biāo)星相對(duì)追蹤星視線在測(cè)量系XY平面的投影與X軸之間的夾角，偏向+Y軸方向?yàn)檎?/p>

β為目標(biāo)星在追蹤星相對(duì)導(dǎo)航敏感器測(cè)量坐標(biāo)系中的高低角，定義為目標(biāo)星相對(duì)追蹤星視線與其在測(cè)量系XY平面投影之間的夾角，偏向-Z軸方向?yàn)檎?/p>

具體定義為：

3)量測(cè)與量測(cè)方程

(20)

其中：

相對(duì)導(dǎo)航量測(cè)方程為：

Z=HX+DV

(21)

間接測(cè)量的量測(cè)噪聲方差矩陣為：

E(DV, (DV)T)=D·E(V,VT)·DT=DRDT

(22)

3 仿真校驗(yàn)

為校驗(yàn)HBF在相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)的可用性和適應(yīng)性，采用高精度軌道動(dòng)力學(xué)仿真2顆航天器的空間飛行軌跡，敏感器的誤差設(shè)置如表1，對(duì)高斯分布型噪聲、混合高斯噪聲及目標(biāo)機(jī)動(dòng)等3種工況，分別采用HBF和EKF進(jìn)行仿真校驗(yàn)。

相對(duì)導(dǎo)航周期：T=0.4s。

表1 敏感器誤差參數(shù)設(shè)置值(3σ)

3.1 正常誤差工況

采用表1中設(shè)置的敏感器誤差參數(shù)，HBF和EKF仿真曲線如圖3～4所示，從圖中可以看出，HBF相對(duì)EKF處理誤差小，且較平滑，其中HBF導(dǎo)航精度為2.03m，速度精度0.04m/s，而EKF相對(duì)導(dǎo)航位置精度為3.59m，相對(duì)速度精度為0.11m/s。

圖3 三軸相對(duì)位置估計(jì)誤差

圖4 三軸相對(duì)速度估計(jì)誤差

3.2 混合高斯噪聲模型工況

為檢驗(yàn)HBF和EKF在混合高斯模型下的仿真性能，相對(duì)測(cè)量設(shè)備的誤差采用混合高斯噪聲模型，其表達(dá)式[15]為：

f(υk)=(1-ε)N(0,σ1)+εN(0,σ2)

(23)

仿真時(shí)，ε取0.6，σ2=2σ1，由表2可見，無(wú)論是高斯還是混合高斯分布情況下，HBF均表現(xiàn)出較好的導(dǎo)航性能：

表2 各算法運(yùn)行結(jié)果

3.3 目標(biāo)機(jī)動(dòng)工況

采用表1參數(shù)，在t=500s時(shí)，目標(biāo)星以0.1m/s的速度遠(yuǎn)離跟蹤星(x向)，則兩型濾波器的濾波誤差曲線如圖5～6所示：

圖5 三軸相對(duì)位置估計(jì)誤差(目標(biāo)機(jī)動(dòng))

圖6 三軸相對(duì)速度估計(jì)誤差(目標(biāo)機(jī)動(dòng))

從圖中可以看出，EKF比較快速地敏感到速度的增加，而HBF則有一定的延遲，但HBF相對(duì)較平滑地實(shí)現(xiàn)了位置和速度的濾波估計(jì)，且最終精度依舊比EKF高。

4 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)Kaman濾波在輸入噪聲為非高斯噪聲時(shí)導(dǎo)航精度下降、甚至發(fā)散的問題，研究了Huber-based濾波器在空間非合作航天器相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用技術(shù)，采用間接濾波方法，搭建仿真模型，對(duì)所設(shè)計(jì)的相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，并將其與EKF進(jìn)行對(duì)比分析。仿真表明，HBF性能較EKF優(yōu)，且具有較好的魯棒性和穩(wěn)定性，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。